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立方和与立方差公式
Revisedasof23November2020
立方和与立方差公式
第一阶梯
[例1]我们来计算（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：
（1）（2x+3y）（2x-3y）
（2）（1+2a）（1-2a）（3）（2x3+5y2）（2x3-5y2）（4）（-a2-b2）（b2-a2）
提示：
刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如
（1）（2x+3y）（2x-3y）=（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：
（1）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2
（2）（1+2a）（1-2a）=12-（2a）2=1-4a2
（3）（2x3+5y2）（2x3-5y2）=（2x3）2-（5y2）2=4x6-25y4
（4）（-a2-b2）（b2-a2）=（-a2-b2）（-a2+b2）=（-a2）2-（b2）2=a4-b4
说明：
平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的特征是：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：
即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：
①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算
（1）（x+5）2
（2）（2-y）2（3）（3a+2b）2
（5）（-a+2b）2
提示：
在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。
参考答案：
（1）（x+5）2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
（2）（2-y）2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2
（3）（3a+2b）2=（3a）2+2·3a·2b+（2b）2=9a2+12ab+4b2
（5）（-a+2b）2=（-a）2+2·（-a）·2b+（2b）2=a2-4ab+4b2
说明：
1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：
左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算（a+b）（a2-ab+b2）和（a-b）（a2+ab+b2），可知（a+b）（a2-ab+b2）=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）（a2
ab+b2）=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：
（1）（x+2）（x2-2x+4）;
（2）（3-y）（9+3y+y2）;
（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）;
（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）
提示：
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。
参考答案：
（1）（x+2）（x2-2x+4）=（x+2）（x2-x·2+22）=x3+23=x3+8
（2）（3-y）（9+3y+y2）=（3-y）（32+3·y+y2）=33-y3=27-y3
（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）=（3x-4y）[（3x）2+3x·4y+（4y2）]=（3x）3-（4y）3=27x3-64y3
（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）=（3x2-2y2）[（3x2）2+3x2·2y2+（2y2）2]=（3x2）3-（2y2）3=27x6-8y6
说明：
1、注意对公式的理解和记忆
（1）项数特征：
两项乘三项→积为二项，
（2）符号特征：
二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[例1]利用乘法公式计算：
（1）（x+3）（x-3）（x2+9）
（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）
（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16）（4）（a-b）（a2+ab+b2）（a6+a3b3+b6）
提示：
（1）小题可两次使用平方差公式；
（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；
（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式
（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：
（1）（x+3）（x-3）（x2+9）=（x2-9）（x2+9）=（x2）2-92=x4-81
（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）=（a2-b2）（a2-b2）=（a2-b2）2=（a2）2-2a2b2+（b2）2=a4-2a2b2+b4
（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16）=（x2-4）（x4+4x2+16）=（x2）3-43=x6-64
（4）（a-b）（a2+ab+b2）（a6+a3b3+b6）=（a3-b3）（a6+a3b3+b6）=（a3）3-（b3）3=a9-b9
说明：
遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：
（1）（a+b+c）（a-b-c）
（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）
（3）（x+2y+z）2（4）（2x-3y-4z）2
提示：
（1）
（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：
（1）（a+b+c）（a-b-c）=[a+（b+c）][a-（b+c）]=a2-（b+c）2=a2-（b2+2bc+c2）=a2-b2-2bc-c2
（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2-12bc-9c2
（3）（x+2y+z）2=[x+（2y+z）]2=x2+2x（2y+z）+（2y+z）2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2
（4）（2x-3y-4z）2=[2x-（3y+4z）]2=（2x）2-2·2x·（3y+4z）+（13y+4z）2=4x2-4x（3y+4z）+（19y2+24yz+16z2）=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2
说明：
进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算：
（1）（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）
（2）（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）
提示：
（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式
（2）小题类似。
参考答案：
（1）
解法一：
（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）
=（x2-1）[（x2+1）2-x2]
=（x2-1）（x4+2x2+1-x2）
=（x2-1）（x4+x2+1）
=（x2-1）[（x2）2+x2-1+12]
=（x2）3-13=x6-1
解法二：
（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）
=[（x+1）（x2-x+1）[（x-1）（x2+x+1）]
=（x3+1）（x3-1）
=（x3）2-12
=x6-1
（2）
解法一：
（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）
=（a2-b2）[（a2+b2）2-（ab）2]
=（a2-b2）（a4+2a2b2+b4-a2b2）
=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）
=（a2）3-（b2）3
=a6-b6
解法二：
（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）
=[（a+b）（a2-ab+b2）][（a-b）（a2+ab+b2）]
=（a3+b3）（a3-b3）
=（a3）2-（b3）2
=a6-b6
说明：
进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。
第三阶梯
[例1]
（1）化简化求值：
（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1），其中
（2）解方程：
（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0
提示：
用乘法公式进行化简
参考答案：
（1）
（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1）
=x3+8+x3-1
=2x3+7
当
时，
（2）（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0
解：
（4x2+4x+1）-（x2-1）-3x2+3x=0
4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0
7x=-2
说明：
在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。
[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
（1）a2+b2
（2）a2-ab+b2（3）（a-b）2（4）a3+b3
提示：
由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=（a+b）2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入
（2），（3），（4），可求出
（2），（3），（4）式的值。
注意，第（4）小题应逆用立方和公式。
参考答案：
（1）a2+b2=（a+b2）-2ab=32-2×（-8）=9+16=25
（2）a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-（-8）=25+8=33
（3）（a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2×（-8）=25+16=41
（4）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）（a2+b2-ab）=3×[25-（-8）]=3×33=99
说明：
灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。
[例3]若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和
提示：
设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和
参考答案：
解：
设这两个连续自然数是x,x+1
根据题意得，
（x+1）2-x2=17
x2+2x+1-x2=17
2x+1=17
2x=16
x=8
∴x+1=8+1=9
∴x+（x+1）=8+9=17
答：
这两个自然数的和是17。
说明：
解方程时还可逆用平方差公式（x+1）2-x2=（x+1+x）（x+1-x）=2x+1
四、检测题
A组
选择题
1．下列各式能用平方差公式进行计算的是（）
A.（a+2）（-a-2）
B.（-x-y）（y-x）
C.
D.（2x+y）（x-2y）
2．若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）
D.±72
3．a3-27b3的一个因式是（）
+3ab+9b2
+3ab+9b2
+b2
+b2
4．若x+y=9,xy=16，则x2+y2=（）
填空题
1、（3x+2y）=（）=9x2-4y2
2、（-1+2a）（-1-2a）=（）
3、（+y）2=（）
4、x2+x+（）=
5、9x2-（）+49y2=（3x-7y）2
6、（2a+3b）（4a2-6ab+9b2）=（）
7、（）（m4-m2+1）=m6+1
8、a2+b2=（a+b）2-（）
9、（a+b）2=（a-b）2+（）
10、（p2-q）（）=p6-q3
B组
1、计算：
（1）（x+2）（x-2）（x2+4）
（2）（x-y+1）（x+y-1）
（3）（a+b+c）2
（4）（x+3）（x-3）（x2-3x+9）（x2+3x+9）
（5）
（6）2022
2、化简求值：
3、解方程：
4（x-3）2-（2x+1）2=（3x+1）（1-3x）+9x2
答案：
A组答案：
选择题
1、B2、D3、A4、C
填空题
1、3x-2y
2、1-4a2
3、++y2
4、
5、42xy
6、8a3+27b3
7、m2+1
8、2ab
9、4ab
10、p4+p2q+q2
B组答案：
1、
（1）x4-16
（2）x2-y2+2y-1（3）a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc
（4）x6-729
（6）40804
2、-39
3、
4、
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