云南省保山市第九中学届高三第三次月考数学理试题.docx
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云南省保山市第九中学届高三第三次月考数学理试题
云南省保山市第九中学2021届高三第三次月考数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，
，
中元素个数为（）
A．2B．3C．4D．5
2．复数
的共轭复数是（）
A．
B．ｉC．
D．
3．执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
A．120B．720C．1440D．5040
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A．
B．
C．
D．
5．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为
A．
B．
C．
D．
6．如果等差数列
中，
+
+
=12，那么
+
+…+
=（）
A．14B．21C．28D．35
7．某一考场有64个试室，试室编号为001﹣064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）
A．029，051B．036，052C．037，053D．045，054
8．在
中，角
的对边为
，则“
”成立的必要不充分条件为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知
是周期为2的奇函数，当
时，
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
10．若函数
的图像关于点
中心对称，则
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
11．已知抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于（）
A．
B．
C．－
D．－
12．在下列区间中，函数
的零点所在的区间为（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知正方形
的边长为
，
为
的中点，则
__________．
14．设
满足约束条件
，则
的最大值为______．
15．已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .
16．设函数
，则使得
成立的
的取值范围是__________．
三、解答题
17．
设数列
的前
项和为
已知
（I）设
，证明数列
是等比数列.
（II）求数列
的通项公式.
18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．
（1）证明：
PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
19．
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记
表示抽取的3名工人中男工人数，求
的分布列及数学期望.
20．已知点P（2,2）,圆
，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
（1）求点M的轨迹方程;
（2）当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
21．设函数
有两个极值点
、
，且
．
（
）求
的取值范围，并讨论
的单调性．
（
）证明：
．
22．在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
为参数）
是曲线
上的动点，点
满足
.
（1）求点
的轨迹方程
；
（2）在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与曲线
交于不同于原点的点
求
.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：
由已知，
的值为：
，即
，故选．
考点：
1．集合的概念；2．集合的基本关系．
2．A
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.
【详解】
，故其共轭复数为
.所以选A.
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.
3．B
【解析】
框图表示
，且
所求
720，选B
4．A
【解析】
每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=
选A
5．D
【解析】
【分析】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【详解】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：
．
【点睛】
本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
6．C
【解析】
试题分析：
等差数列
中，
，则
考点：
等差数列的前
项和
7．C
【解析】
【分析】
根据系统抽样性质，第一个是
，故后面编号为
可得答案.
【详解】
每八个抽取一个，第一个是
，故后面编号为
，当
时，编号为037
当
时，编号为
.
故选：
C.
8．D
【解析】
【分析】
根据必要不充分条件的定义可逐项分析排除可得答案.
【详解】
在
中，
对与A，当
时，所以
；当
时，由
得到
，是“
”成立的充要条件，错误；
对于B，当
时，所以
；当
时，由
得到
，是“
”成立的充要条件，错误；
对于C，当
时，
，得到
；当
时，由正弦定理得到
，即
，所以
，由于
，得到
，所以是“
”成立的充要条件，错误；
对于D，当
时，
，得到
；当
时，由正弦定理得
，即
，由于
，所以
或
，即
或者
，所以是“
”成立的必要不充分条件，正确.
故选：
D.
【点睛】
结论点睛：
本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若
是
的必要不充分条件，则
对应集合是
对应集合的真子集；
（2）
是
的充分不必要条件，则
对应集合是
对应集合的真子集；
（3）
是
的充分必要条件，则
对应集合与
对应集合相等；
（4）
是
的既不充分又不必要条件，
对的集合与
对应集合互不包含．
9．D
【解析】
【分析】
根据周期性和奇偶性可得
和
，由
和已知条件可得答案.
【详解】
因为
是周期为2的函数，所以
是周期为2的函数，即
，
由
是奇函数，所以
，即
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
故选：
D.
【点睛】
关键点点睛：
是周期为2的函数，所以
是周期为2的函数，
是奇函数，所以
.
10．C
【解析】
【分析】
根据函数
的图像关于点
中心对称，由
求出
的表达式即可.
【详解】
因为函数
的图像关于点
中心对称，
所以
，
所以
，
解得
，
所以
故选：
C
【点睛】
本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．D
【解析】
方法一：
由
得
或
令B（1，－2），A（4,4），又F（1,0），
∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3
．
∴cos∠AFB＝
＝
＝－
．
方法二：
由方法一得A（4,4），B（1，－2），F（1,0），
∴
＝（3,4），
＝（0，－2），
∴|
|＝
＝5，|
|＝2．
∴cos∠AFB＝
＝
＝－
．
12．C
【解析】
【分析】
先判断函数
在
上单调递增，由
利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数
在
上连续单调递增，
且
所以函数的零点在区间
内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：
（1）函数是否为单调函数；
（2）函数是否连续.
13．2
【解析】
·
=（
+
）·（
-
）
=
-
·
+
·
-
·
=22-
×22=2.
14．3；
【解析】
【详解】
【分析】
做出可行域可知，当
的时候
有最大值3.
【学科网考点定位】本题考查线性规划知识，考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.
15．
【解析】
如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=
R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,
又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+
即R2=
.由球的表面积公式,得S=4πR2=
.
16．
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得结果.
【详解】
当
时，由
得
，所以
；
当
时，由
得
，所以
．
综上，符合题意的
的取值范围是
．
故答案为：
【点睛】
本题考查解分段函数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．：
（I）见解析（II）
【解析】
【分析】
由递推式进行递推，可以寻找规律，根据（I）要求（即提示）变形即可.证明数列最常用的方法是定义法，想到这一点，第（I）题就解决了.根据两个小题的联系，进一步变形寻找规律，求出通项.
【详解】
18．
（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】
【详解】
试题解析：
（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，
由余弦定理得BD=
AD，
从而BD2+AD2=AB2
故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，
故PA⊥BD
（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系
则A（1，0，0），B（0，
，0），C（-1，
，0），P（0，0，1）
设平面PAB的法向量
，则
，解得
平面PBC的法向量
，则
，解得
考点：
本题考查线线垂直二面角
点评：
解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性
19．⑴在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】
⑴根据分层抽样的抽取比例可以确定各组抽取的人数，容易求.⑵从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么还需抽取1名男工人，根据古典概型公式，即可.⑶抽取的3名工人中男工人数可以是0，1，2，3，有四种情况，一一列出，构成分布列，根据数学期望公式完成计算.
【详解】
⑴按照抽取的比例
，甲组和乙组抽取的人数分别为
，
所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.
⑵设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P（A）=
.
⑶依题意
由
得
的分布列如下表：
0
1
2
3
P
所以
的数学期望
20．
（1）
；
（2）直线
的方程为
，
的面积为
.
【解析】
【分析】
求得圆
的圆心和半径.
（1）当
三点均不重合时，根据圆的几何性质可知
，
是定点，所以
的轨迹是以
为直径的圆（除
两点），根据圆
的圆心和半径求得
的轨迹方程.当
三点有重合的情形时，
的坐标满足上述求得的
的轨迹方程.综上可得
的轨迹方程.
（2）
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