盘点数学里十大不需要语言的证明.docx

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盘点数学里十大不需要语言的证明

信不信，数学可以很轻盈、很精致、很有爱，就像一个女孩一样。

这种美甚至不需要语言来表达，因为这种美直抵心灵最深处。

死理性派盘点了数学里十大不需要语言的证明，让你领略数学的简约而令人惊心的美丽

盘点数学里十大不需要语言的证明

physixfan 2011-08-0817:

01

当谈到复杂数学定理的证明时，很多人常常为之色变，认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程。

这当然是一个让笔者感到纠结的误解。

因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述。

所以我在这里盘点了数学里十大不需要语言的证明（proofswithoutwords）。

让读者在领略数学所包含的无与伦比的精巧之外，更从此爱上数学。

0.勾股定理

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。

我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。

而路明思（ElishaScottLoomis）在《毕达哥拉斯命题》（PythagoreanProposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。

这里给出一个不需要语言的证明方法。

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

1.关于反正切的恒等式

关于反正切，有如下两个很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩

2.几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式：

它也可以通过图形来证明。

注意到△ABC∽△DBA,可以很轻松地得到AB=√ab。

剩下的就显而易见了。

3.1+3+5+…+（2n-1）=n 2

这是奇数的求和公式，下图是当n=8时的情形

4.平方数的求和公式

5.立方数的求和公式

6.斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，F n+1 =F n +F n-1 。

它的通项公式是

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

而且当n无穷大时F n-1 /F n 越来越逼近黄金分割数0.618。

正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。

关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的

这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

7.结果为1/3的一组分子式

下面是一组分子式，他们的结果都等于1/3：

8.最受数学家喜爱的无字证明

1989年的《美国数学月刊》（AmericanMathematicalMonthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：

下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。

把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。

三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。

这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。

死理性派曾经讨论过 这个问题 。

同时它还是死理性派logo的出处。

9.棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。

如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。

每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。

所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。

而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？

假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？

我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。

建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

上图就是那个漂亮的证明。

不妨对它再赘述两句。

粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。

从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。

在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。

从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（RalphGomory）找到的。

它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

数学里，有一种证明方法叫做Proofswithoutwords。

诚然，这种证明方法算不上严格，但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。

本文列举了十个经典的例子。

你还见过什么高明的吗，可以在回帖中写出来。

如果有很漂亮的，我会在这里推荐出来。

资料来源：

mathoverflow

七夕特献：

数学家们的爱情故事

matrix67 2011-08-0607:

07

笛卡尔的故事

笛卡尔（RenéDescartes），17世纪著名的法国哲学家，曾经提出“我思故我在”的哲学观点，有着“现代哲学之父”的称号。

笛卡尔对数学的贡献也是功不可没，中学时大家学到的平面直角坐标系就被称为“笛卡尔坐标系”。

传闻，笛卡尔曾流落到瑞典，邂逅美丽的瑞典公主克里斯蒂娜（Christina）。

笛卡尔发现克里斯蒂娜公主聪明伶俐，便做起了公主的数学老师，于是两人完全沉浸在了数学的世界中。

国王知道了这件事后，认为笛卡尔配不上自己的女儿，不但强行拆散他们，还没收了之后笛卡尔写给公主的所有信件。

后来，笛卡尔染上黑死病，在临死前给公主寄去了最后一封信，信中只有一行字：

r=a（1-sinθ）。

自然，国王和大臣们都看不懂这是什么意思，只好交还给公主。

公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，终于解开了这行字的秘密——这就是美丽的心形线。

看来，数学家也有自己的浪漫方式啊。

a=1时的心形线

事实上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。

不过，笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到的瑞典，并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典女王。

并且，笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题。

有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。

天气寒冷加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎，这才是笛卡尔真正的死因。

心形线的故事究竟几分是真几分是假，还是留给大家自己判断吧。

伽罗瓦的故事

伽罗瓦（ÉvaristeGalois），19世纪最伟大的法国数学家之一，唯一被我称为“天才数学家”的人。

他16岁时就参加了巴黎综合理工学院的入学考试，结果面试时因为解题步骤跳跃太大，搞得考官们不知所云，最后没能通过考试。

在数学历史上，伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家，没有“之一”。

18岁时，伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的顶级难题：

为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。

他把这一研究成果提交给了法国科学院，由大数学家柯西（Augustin-LouisCauchy）负责审稿；然而，柯西建议他回去仔细润色一下（此前一直认为柯西把论文弄丢了或者私藏起来，最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪）。

后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶（JosephFourier），但没过几天傅立叶就去世了，于是论文被搞丢了。

1831年伽罗瓦第三次投稿，当时的审稿人是泊松，他认为伽罗瓦的论文很难理解，于是拒绝发表。

因为一些极端的政治行动，伽罗瓦被捕入狱。

即使在监狱里，他也不断地发展自己的数学理论。

他在狱中结识了一名医生的女儿，并很快坠入爱河；但好景不长，两人的感情很快破裂。

出狱后的第二个月，伽罗瓦决定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗，不幸中枪，第二天便在医院里死亡。

伽罗瓦死前的最后一句话是对他的哥哥艾尔弗雷德（Alfred）说的：

“不要哭，我需要足够的勇气在20岁死去。

”

仿佛是预感到了自己的死亡，在决斗的前一夜，伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所有的数学思想，并把它们和三篇论文手稿一同交给了他的好友谢瓦利埃（Chevalier）。

在信的末尾，伽罗瓦留下遗嘱，希望谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可比（CarlGustavJacobJacobi）和高斯（CarlFriedrichGauss），让他们就这些数学定理公开发表意见，以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。

谢瓦利埃遵照伽罗瓦的遗愿，将论文手稿寄给了雅可比和高斯，不过都没有收到回音。

直到1843年，数学家刘维尔（JosephLiouville）才肯定了伽罗瓦的研究成果，并把它们发表在了他自己主办的《纯数学与应用数学杂志》（JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées）上。

人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为了“伽罗瓦理论”。

伽罗瓦用群论的方法对代数方程的解的结构做出了独到的分析，多项式方程的根、尺规作图的不可能性等一系列代数方程求解问题都可以用伽罗瓦理论得到一个简洁而完美的解答。

伽罗瓦理论对今后代数学的发展起到了决定性的作用。

塞凯赖什夫妇的故事

1933年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（GeorgeSzekeres）还只有22岁。

那时，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。

这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什（PaulErdős）大神。

不过当时，埃尔德什只有20岁。

在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩（EstherKlein）的美女同学提出了这么一个结论：

在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。

塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。

于是，美女同学得意地宣布了她的证明：

这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。

前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

平面上五个点的位置有三种情况

众人大呼精彩。

之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。

最终，他们于1935年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：

对于任意一个正整数n≥3，总存在一个正整数m，使得只要平面上的点有m个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸n边形。

埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”（HappyEndingproblem），因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在1937年6月13日结了婚。

对于一个给定的n，不妨把最少需要的点数记作f（n）。

求出f（n）的准确值是一个不小的挑战。

由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此f（3）=3。

爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为f（4）=5。

利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明f（5）等于9。

2006年，利用计算机的帮助，人们终于证明了f（6）=17。

对于更大的n，f（n）的值分别是多少？

f（n）有没有一个准确的表达式呢？

这是数学中悬而未解的难题之一。

几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。

不管怎样，最后的结局真的很幸福。

结婚后的近70年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。

2005年8月28日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。