普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题三 文.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题三文
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【2019-2020】普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题三文
撰写人：
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第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（）
A．B．C．D．
2.设函数，则（）
A．B．C．1D．3
3.若向量，，，则（）
A．4B．5C．3D．2
4.若实数，满足约束条件，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
5.命题：
若复数（为虚数单位），则复数对应的点在第二象限，命题：
若复数满足为实数，则复数一定为实数，那么（）
A．是真命题B．是真命题
C．是真命题D．是假命题
6.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）
A．80B．96C．112D．120
7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）
A．B．C．D．
8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，侧棱底面，从，，，四点中任取三点和顶点所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（）
A．B．C．D．
9.如图，为经过抛物线焦点的弦，点，在直线上的射影分别为，，且，则直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为，则图中的（）
A．1B．C．D．
11.已知数列满足，且对任意的都有，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
12.若存在，不等式成立，则实数的最大值为（）
A．B．C．4D．
第Ⅱ卷
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分.
13.已知是等差数列，是其数列的前项和，且，，则．
14.已知圆的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值为．
15.观察三角形数组，可以推测：
该数组第八行的和为．
16.已知双曲线：
，曲线：
，是平面内一点，若存在过点的直线与，都有公共点，则称点为“差型点”.下面有4个结论：
①曲线的焦点为“差型点”；
②曲线与有公共点；
③直线与曲线有公共点，则；
④原点不是“差型点”.
其中正确结论的个数是．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知的外接圆半径为，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，求角；
（2）若为锐角，，求的面积.
18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.
（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？
（2）在抽取的名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：
平均学习时间不超过9小时
平均学习时间超过9小时
总计
不近视
近视
总计
（3）根据
（2）中的列联表，判断是否有的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？
附：
，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，在棱上，且.
（1）求证：
；
（2）求三棱锥的体积.
20.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点.
（1）若直线与椭圆的长轴垂直，，求椭圆的离心率；
（2）若直线的斜率为1，，求椭圆的短轴与长轴的比值.
21.已知曲线在点处的切线斜率为.
（1）求函数的极小值；
（2）当时，求证：
.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为，.
（1）将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程；
（2）当时，直线与交于，两点，与交于，两点，求.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数的最小值为（，，为正数）.
（1）求的最小值；
（2）求证：
.
文数（三）
一、选择题
1-5:
BDAAB6-10:
DCBCA11、12：
DA
二、填空题
13.14.15.129616.3
三、解答题
17.解：
（1）∵，
由正弦定理，可得，
即.
∵，∴.
∵，∴.
又（为外接圆半径），，，
∴，∴或（舍）.
∴.
（2）由
（1）知，或，
又为锐角，∴.
由余弦定理，可得，
即.
∵，∴，
∴，
∴.
∴.
18.解：
（1）由图1可知，高中生占学生总数的，
∴学生总数为人，
∴样本容量为.
∵抽取的高中生人数为人，
由于近视率为，
∴抽取的高中生近视人数为人.
（2）列联表如下：
平均学习时间不超过9小时
平均学习时间超过9小时
总计
不近视
18
6
24
近视
24
12
36
总计
42
18
60
（3）由列联表可知，，
∵，
∴没有的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关.
19.解：
（1）取的中点，连接，.
∵为的中点，∴.
∵平面，
∴平面，∴.
又∵，，
∴平面，∴.
又∵是的中点，
∴.
（2）由图可知，三棱锥体积与三棱锥体积相等.
∵，，，
∴平面.
∵，且，
∴.
在中，，
∴.
∴，
即三棱锥的体积为.
20.解：
（1）由题意，直线的方程为,
∴，
即，
故.
（2）设，则直线的方程为，
联立，
得，
.
设，，
则，.
∴
.
∴，∴，
∴，即椭圆的短轴与长轴之比为.
21.解：
（1）由题得，的定义域为，
，∴.
∵曲线在点处的切线斜率为，
∴，∴.
∴，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的极小值为.
（2）由
（1）可知，在处取得最小值0，
设，，
则，
∵，∴，
∴在区间上单调递减，
从而，
∴.
22.解：
（1）由直线的参数方程（为参数），
得直线的极坐标方程为.
由曲线的极坐标方程，
得直角坐标方程为，
∴曲线的参数方程为（为参数）.
（2）当时，直线的极坐标方程为.
当时，，，
∴.
23.解：
（1）∵（当且仅当时取等号），
由题意，得.
根据柯西不等式，可知，
∴.
∴的最小值为36.
（2）∵，，，
∴，
∴.
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