高中高考数学计数原理学习知识汇总.docx
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高中高考数学计数原理学习知识汇总
计数原理
课表要求
1、会用两个数原理剖析解决的；
2、理解摆列观点，会推摆列数公式并能用；
3、理解合观点，会推合数公式并能解决；
4、合用摆列合知解决的；
5、会用二式定理解决与二睁开式有关的；
6、会用二式定理求某的二式系数或睁开式系数，会用法求系数之和。
打破方法
1．加基知的复，深刻理解分数原理、分步数原理、摆列合等基本观点，坚固掌握二式定理、二睁开式的通、二式系数的性。
2．加数学方法的掌握和用，特是解决摆列合用性，着重方法的取。
比方：
直接法、接法等；几何、涂色、数字、其余等；掌握每种方法使用特色及使用范等。
3．重数学思的，着重数学思想的用，在解程中着重化与化
思想的用，将不一样背景的同一个数学模型求解；着重数形合、分思想、整体思想等，使化易。
知识点
1、分加法数原理
达成一件事，有n不一样方案，在第1方案中有种不一样的方法，在第2
法中有种不一样的方法，⋯⋯在第n法中有种不一样的方法。
那么完
成件事共有：
N=++⋯⋯+种不一样的方法。
注意：
（1）分加法数原理的使用关是分，分必明确准，要求
每一种方法必属于某一方法，不一样的随意两种方法是不一样的方法，分
中所要求的“不重复”、“不漏”。
（2）达成一件事的n法是相互独立的。
从会合角度看，达成一件事分
A、B两法，AB=,AB=I（I表示全集）。
（3）明确目中所指的“达成一件事”是指什么事，达成件事能够有哪
些法，怎才算是达成件事。
2、分步乘法数原理
达成一件事，需要n个步，做第1步有种不一样的方法，做第2步有种
不一样的方法，⋯⋯做第n步有种不一样的方法，那么达成件事共有：
N=··⋯⋯·种不一样的方法。
注意：
（1）明确目中所指的“做一件事”是什么事，独用中所的某
种方法能否是能达成件事，能否是要几个步才能达成件事。
（2）达成件事需要分红若干个步，只有每个步都达成了，才算达成
件事，缺乏哪一步，件事都不行能达成。
（3）依据意正确分步，要求各步之必，只有依照几步逐渐去
做，才能达成件事，各步之不可以重复也不可以漏。
3、分加法数原理与分步乘法数原理的系与区
系：
两个数原理，都是对于达成一件事的不一样方法种数的。
区：
分数原理与分有关，各样方法相互独立，用此中任何一种方法都能够达成件事；分步数原理与分步有关，各个步相互依存，只有各个步都达成了，件事才算达成。
分数原理与分步数原理体认识决将其分解的两种常用方法，
即分步解决或分解决，是推摆列数与合数算公式的依照。
要注意“”
相互独立，“步”相互系。
4、解决基本数原理所用的思想方法及技巧
（1）建模法：
成立数学模型，将摆列合化数学，是数方法中的基本方法。
（2）枚法：
利用枚法（如状）能够使的剖析更直、清楚，便于律，进而形成适合的分或分步的思想。
之，于一些复的既要用分加法数原理又要用分步乘法数原理的，适合地画出表格，合理建模或用状枚所有果是解决的基本思想方法。
5、两个原理的合运用
（1）必分清楚两个原理的条件和。
假如达成一件事情有两方案，两方案相互之是相互独立的，无哪一方案中的哪一种方法都能独达成件事情，求达成件事情的方法种数，
就用分类计数原理。
假如达成一件事情需要分红几个步骤，各个步骤都是不行缺乏的，需要挨次达成所有步骤，才能达成这件事情，而达成每一个步骤有若干种不一样的方法，求达成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
（2）在解决详细问题时，第一一定弄清楚是“分类”仍是“分步”，接着还要清楚“分类”或许“分步”的详细标准是什么简单地说“分类互斥”“分步互依”，重点是看可否独立达成这件事。
与此同时还要注意分类、分步不可以重复和遗漏。
（3）对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，
我们能够依据题意适合合理的画出表示图或列出表格，使问题的本质直观地展现
出来，进而便于我们解题。
（4）分类计数原理和分步计数原理是摆列、组合问题的最基本的原理，同
时也是推导摆列数、组合数公式的理论依照，仍是求解摆列、组合问题的基本思
想方法。
6、摆列与摆列数公式
从n个不一样元素中，任取m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同）依照必定的次序排成一列，叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列。
注意：
（1）摆列定义包括两个基本内容：
一是“拿出元素”，二是“依照一
定次序”摆列。
（2）定义中“必定次序”就是说与地点有关，在本质问题中，要由详细问
题的性质和条件决定，这一点是与组合的根本差别。
7、摆列数
从n个不一样元素中拿出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不一样元素中取
出m个元素的一个摆列.从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列数，用符号
Anm表示。
摆列数公式：
Am
n（n1）
（n
m
1）
n!
（m
n,n,mN）
（n
m）!
注意：
我们把正整数由
1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！
表示。
规定
0！
=1。
当m=n时，n个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做
n个不一样元素的一个
全摆列，记为Ann
n（n
1）（n
2）
21
n!
注意：
（1）摆列数公式
Am
n（n1）
（nm
1）
n!
mnnmN
m较
合用于详细计算以及解当
（
,
（nm）!
小时含摆列数的方程和不等式。
在运用该公式时要注意它的特色：
第一个因数是
n，最后一个因数是n-m+1，共m个连续自然数的连乘积。
（2）摆列数公式=，合用于与摆列数有关的证明、解方程、
解不等式等，在详细运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐
含条件“m≤n，m，n”的运用。
8、摆列的应用
8.1解摆列应用题的基本思想：
解简单的摆列应用题第一一定仔细剖析理解题意，看可否把问题归纳为摆列问题，即能否有次序。
假如是的话，再进一步剖析，这里n个不一样的元素指的是什么，以及从n个不一样的元素中任取m个元素的每一种摆列对应的是什么事情，而后才能运用摆列数公式求解。
8.2对于有限制条件的摆列应用题，要注意：
（1）摆列的有序性；
（2）对受限制条件的地点与元素第一摆列，并适入采纳直接发或间接法；（3）从地点出发的“填空题”和不相邻问题的“插空法”是解答摆列应用题中常用的方法。
某些元素的相邻问题，常用“捆绑法”，先当作一个元素；
（4）要注意经过摆列应用题，神话对分类计数原理和分步计数原理的理解，培育“全局分类”和“局部散布”意识。
在有些摆列问题中，某些元素的前后次序是固定的（但不必定相邻）。
解决这种某些元素次序确立的问题的基本方法有两种：
一是整体法，即如有m+n个元素排成一列，此中有m个元素之间的次序固定不变，将这m+n个元素随意排
成一列，共有种不一样的排法，而后任取一个摆列，固定其余的n个元素的
地点不动，把着m个元素互换次序，共有种排法，此中只有一个摆列是我们
需要的，因此共有种不一样的排法。
二是插空法，即逐渐插空法。
9、组合
从n个不一样的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个组合.
注意：
（1）拿出的m个元素不讲究次序，也就是说元素没有地点的要求，
无序性是组合的本质。
（2）组合与摆列的异同：
组合与摆列的相同点是“从n个不一样元素中随意
拿出m个不一样元素”；不一样点是组合“不论元素的次序并成一组”，而摆列要求
元素“依照必定的次序排成一列”，所以划分某一问题是组合仍是摆列，重点是
看拿出的元素有无次序。
10、组合数与组合数公式
从n个不一样元素中拿出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从
n个不
同元素中拿出m个元素的组合数，用符号
表示。
组合数公式：
m
Anm
n（n1）（n2）（nm1）m
n!
Cn
m
或Cn
（n,mN,且mn）
Am
m!
m!
（nm）!
规定：
=1。
注意：
（1）组合与组合数是两个不一样的观点。
（2）在公式中，我们规定0！
=1，因此有==1，相同=1.
11、组合数的两个性质
性质1：
CnmCnnm
一般地，从个不一样元素中拿出一一对应，所以从
n个不一样元素中拿出m个元素后，剩下nm个元素．因为从nm个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合n个不一样元素中拿出m个元素的组合数，等于从这n个元素中
拿出nm个元素的组合数，即：
CnmCnnm．在这里，主要表现：
“取法”与“剩
法”是“一一对应”的思想
注意：
（1）该性质反应了组合数的对称性。
（2）若m＞，往常不直接计算，而改为计算。
性质2：
Cnm1＝Cnm+Cnm1
一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不一样元素中拿出m个元素的组合数是
Cnm
1，这些组合能够分为两类：
一类含有元素
a1，一类不含有a1．含有a1的组
合是从a2,a3,,an1这n个元素中拿出m
1个元素与a1构成的，共有Cnm1个；
不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中拿出m个元素构成的，共有Cnm
个．依据分类计数原理，能够获得组合数的另一个性质．在这里，主要表现从特别到一般的概括思想，“含与不含其元素”的分类思想．
注意：
（1）左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；上标左端与右端的
一个相同，右端的另一个比它们少1.
（2）要注意性质Cnm1＝Cnm+Cnm1的顺用、逆用、变形应用，顺用是将一个
组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”。
（3）变形：
Cnm
1
＝Cnm
1-Cnm。
12、几个常用组合数公式
Cn0Cn1Cn2
Cnn2n
Cn0Cn2Cn4
Cn1Cn3Cn5
2n1
m
m
m
m
m1
Cn
Cm1
Cm2
Cmn
Cmn1
kCnknCnk
11
1Cnk
1Cnk
11
k
1
n1
13、组合的应用
13.1有限制条件的组合应用题
（1）有限制条件的组合问题的限制条件主要表此刻拿出的元素中“含”或“不含”某些元素，往常用直接法或间接法。
解决该类问题用“直接法”时，要
注意合理分类，用“间接法”时，要注意“起码”“最多”“恰巧”等词语的含义，做到既不重复又不遗漏。
（2）有关摆列、组合的混淆问题，应依照先选后排的原则。
（3）解答摆列组合应用题的整体思路是：
①整体分类；②局部散布；③辩证地对待元素的地点；④一些详细问题有时需要把它抽象成组合模型。
13.2几何中的组合应用问题
（1）解决几何图形中的组合问题，第一应注意运用办理组合问题的惯例方
法剖析、解决问题，其次要从不一样种类的几何问题中抽象出组合问题，常常找寻一个组合的模型加以办理。
（2）图形多少的问题往常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情况，防备多算。
常用直接法，也可采纳清除法。
（3）在办理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解
决。
13.3分组、分派问题
分组问题和分派问题是有区其余：
在分组问题中，组与组之间只需元素个数
相同即可；而在分派问题中，即便两个组元素个数相同，但因人不一样，仍旧是可
划分的。
对于这种问题，一定依照先分组后摆列，若均匀分m组，则分法=.13.4若干会合中选用元素问题
对照较复杂的在若干会合中选用元素的问题，一般需分类求解。
只需能运用分类思想正确地对待所选法分类，又能正确地依据题目要求合理地观察步骤，就能够顺利地求得答案。
在分类时，要注意做到既不重复又不遗漏。
14、解决摆列组合综合题常用的方法与技巧
14.1对于摆列组合问题的一些解题技巧：
①特别元素优先安排；②合理分类与正确分步；③摆列、组合混淆问题先选后排；④相邻问题捆绑办理；⑤不相邻问题插空办理；⑥定序问题除法办理；⑦分排问题直排办理；⑧“小公司”摆列问题先整体后局部；⑨结构模型；⑩正难则反、等价转变。
对于无穷制条件的摆列组合问题应依照两个原则：
一是按元素的性质分类，
二是准时间发生的过程进行分步。
对于有限制条件的摆列组合问题，往常从以下
三个门路考虑：
①以元素为主考虑，即先知足特别元素的要求，再考虑其余元素；
②以地点为主考虑，即先知足特别地点的要求，再考虑其余地点；③先不考虑限
制条件，计算出摆列或组合数，再减去不切合要求的摆列或组合数。
14.2摆列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）清除法；
（3）捆绑法：
在特定要求的条件下，将几个有关元素看作一个元向来考虑，
待整体排好以后再考虑它们“局部”的摆列。
它主要用于解决“元素相邻问题”
；
（4）插空法：
先把一般元素摆列好，而后把待定元素插排在它们之间或两
端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：
从元素的特别性上讲，对问题中的特别元素应优先摆列，然
后再排其余一般元素；从地点的特别性上讲，对问题中的特别地点应优先考虑，
而后再排其余节余地点。
即采纳“先特别后一般”的解题原则；
（6）调序法：
当某些元素序次一准时，可用此法；
（7）均匀法：
若把
kn个不一样元素均匀分红
k组，每组n个，共有
n
n
n
Ckn
C（k1）n
Cn
Akk
；
（8）隔板法：
常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：
从n个不一样元素中每次拿出
k个不一样元素作摆列规定某
r
个元素都包括在内，而且都排在某r个指定地点则有ArrAnk
rr
；
（10）指定元素摆列组合问题：
①从n个不一样元素中每次拿出k个不一样的元素作摆列（或组合），规定某r个元素都包括在内。
先C后A策略，摆列CrrCnkrrAkk；组合CrrCknrr；
②从n个不一样元素中每次拿出k个不一样元素作摆列（或组合），规定某r个元素都不包括在内。
先C后A策略，摆列CnrkAkk；组合Cnkr；
③从n个不一样元素中每次拿出k个不一样元素作摆列（或组合），规定每个摆列（或组合）都只包括某r个元素中的s个元素。
先C后A策略，摆列CrsCnkrsAkk；
sks
组合CrCnr。
15.二项式定理
一般地，对于随意正整数n，都有
（ab）n
Cn0an
Cn1anb
Cnranrbr
Cnnbn（nN）
这个公式就叫做二项式定理，右侧的多项式叫做
（ab）n的二项睁开式。
其
中各项的系数Cnr（r
0,1,2,,n）叫做二项式系数。
注意：
（1）二项睁开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项睁开式系数是两个不一样的观点；
（3）每一项的次数是相同的，即为n次，睁开式依a的降幕摆列，b的升
幕摆列睁开；
（4）二项式定理往常有以下变形：
①（ab）nCn0anC1nan1b
（1）rCnranrbr
（1）nCnnbn；
②（1x）n1Cn1x1Cn2x2Cnrxrxn；
（5）要注意逆用二项式定理来剖析问题、解决问题。
16、二项睁开式的通项公式
二项睁开式的第
n+1
项
Tr1
＝
r
nrCrr
（r
0,1,2,,n）
叫做二项睁开式的
Cna
bn
通项公式。
它表现了二项睁开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求睁开式的某些特定的项及其系数方面有着宽泛的应用。
注意：
（1）通项公式表示二项睁开式的第r+1项，该项的二项式系数是，
而不是；
（2）字母b的次数和合数的上相同；
（3）a与b的次数之和n。
17、二式系数的性
（1）称性：
与首末两头“等距离”的两个二式系数相等，即=，
=，=，⋯，=。
（2）增减性与最大：
当k＜，二式系数是逐增大的。
由称
性知，它的后半部分是逐减小的，且在中取最大。
当n偶数，中
一的二式系数最大；当n奇数，中的二式系数
等，且同获得最大。
求睁开式系数的最大，第一要划分“睁开式系数最大”
与相
“二式系数最
大”以及“最大”等；其次要注意睁开式系数是失散型量，所以在系数均
正数的前提下，它的最大只需比相两个的大小，依据通公式正确地列
出不等式即可。
n
0
1
2
r
n
=2n。
奇数
（3）各二式系数（1的和1）：
Cn
Cn
Cn
Cn
Cn
0
2
13
2
n1
的二式系数之和与偶数的C二式nC系数之和相nC等且nC都等于n
。
注意：
（1）求二式所有的系数和，能够采纳“特别代替法”，往常令
字母量的1，即（11）nCn0C1nCn2CnrCnn=2n。
一般地，多式f（x）=+x+x2+⋯+的各系数和f
（1），奇次方系
数和［f
（1）-f（-1）］，偶次系数和［f
（1）+f（-1）］。
（2）对于合恒等式的明，常采纳“结构法”——结构函数或结构同一
的两种算法。
18、二式定理的用
（1）要注意二式定理的双向功能：
一方面可将二式（ab）n睁开，另一
方面可将睁开式归并为二项式（ab）n，即二项式定理从左到右使用为睁开，从
右到左使用能够化简、乞降或证明，这种公式的逆用不行忽略。
（2）因为二项式定理是一个恒等式，所以经过对a、b取不一样的特别值，可获得一些给解决某些问题带来方便的特例恒等式。
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