高中高考数学计数原理学习知识汇总.docx

1、高中高考数学计数原理学习知识汇总 计数原理课表要求1、会用两个 数原理剖析解决 的 ；2、理解摆列观点，会推 摆列数公式并能 用；3、理解 合观点，会推 合数公式并能解决 ；4、 合 用摆列 合知 解决 的 ；5、会用二 式定理解决与二 睁开式有关的 ；6、会用二 式定理求某 的二 式系数或睁开式系数， 会用 法求系数之和。打破方法1加 基 知 的复 ，深刻理解分 数原理、分步 数原理、摆列 合等基本观点，坚固掌握二 式定理、二 睁开式的通 、二 式系数的性 。2加 数学方法的掌握和 用，特 是解决摆列 合 用性 ，着重方法的 取。比方：直接法、 接法等；几何 、涂色 、数字 、其余 等；掌握

2、每种方法使用特色及使用范 等。3重 数学思 的 ，着重数学思想的 用，在解 程中着重化 与 化思想的 用， 将不一样背景的 同一个数学模型求解； 着重数形 合、 分 思想、整体思想等，使 化 易。知识点1、分 加法 数原理达成一件事， 有 n 不一样方案， 在第 1 方案中有 种不一样的方法， 在第 2 法中有 种不一样的方法，在第 n 法中有 种不一样的方法。那么完成 件事共有： N= + + + 种不一样的方法。注意：（1 ）分 加法 数原理的使用关 是分 ，分 必 明确 准， 要求每一种方法必 属于某一 方法， 不一样 的随意两种方法是不一样的方法， 分 中所要求的“不重复” 、“不 漏

3、”。（2）达成一件事的 n 法是相互独立的。从会合角度看，达成一件事分A、 B 两 法， A B= ,A B= I （I 表示全集）。（3）明确 目中所指的“达成一件事”是指什么事，达成 件事能够有哪 些 法，怎 才算是达成 件事。2、分步乘法 数原理达成一件事，需要 n 个步 ，做第 1 步有 种不一样的方法，做第 2 步有 种不一样的方法，做第 n 步有 种不一样的方法，那么达成 件事共有：N= 种不一样的方法。注意：（1）明确 目中所指的“做一件事”是什么事， 独用 中所 的某种方法能否是能达成 件事，能否是要 几个步 才能达成 件事。（2）达成 件事需要分红若干个步 ，只有每个步 都达

4、成了，才算达成 件事，缺乏哪一步， 件事都不行能达成。（3）依据 意正确分步，要求各步之 必 ，只有依照 几步逐渐去做，才能达成 件事，各步之 不可以重复也不可以 漏。3、分 加法 数原理与分步乘法 数原理的 系与区 系：两个 数原理，都是对于达成一件事的不一样方法种数的 。区 ：分 数原理与分 有关， 各样方法相互独立， 用此中任何一种方法都能够达成 件事； 分步 数原理与分步有关， 各个步 相互依存， 只有各个步 都达成了， 件事才算达成。分 数原理与分步 数原理体 认识决 将其分解的两种常用方法，即分步解决或分 解决，是推 摆列数与 合数 算公式的依照。要注意“ ” 相互独立，“步” 相

5、互 系。4、解决基本 数原理 所用的思想方法及技巧（1）建模法：成立数学模型，将摆列 合 化 数学 ，是 数方法中的基本方法。（2）枚 法：利用枚 法（如 状 ）能够使 的剖析更直 、清楚，便于 律，进而形成适合的分 或分步的 思想。 之， 于一些 复 的既要用分 加法 数原理又要用分步乘法 数原理的 ，适合地画出表格， 合理建模或用 状 枚 所有 果是解决 的基本思想方法。5、两个原理的 合运用（1）必 分清楚两个原理的条件和 。假如达成一件事情有两 方案， 两 方案相互之 是相互独立的， 无 哪一 方案中的哪一种方法都能 独达成 件事情，求达成 件事情的方法种数， 就用分类计数原理。假如达

6、成一件事情需要分红几个步骤， 各个步骤都是不行缺乏的， 需要挨次达成所有步骤， 才能达成这件事情， 而达成每一个步骤有若干种不一样的方法， 求达成这件事情的方法种数就用分步计数原理。（2）在解决详细问题时，第一一定弄清楚是“分类”仍是“分步” ，接着还要清楚“分类”或许“分步”的详细标准是什么简单地说“分类互斥” “分步互依”，重点是看可否独立达成这件事。与此同时还要注意分类、分步不可以重复和遗漏。（3）对于较为复杂的既要用分类计数原理，又要用分步计数原理的问题，我们能够依据题意适合合理的画出表示图或列出表格， 使问题的本质直观地展现出来，进而便于我们解题。（4）分类计数原理和分步计数原理是摆

7、列、组合问题的最基本的原理，同时也是推导摆列数、 组合数公式的理论依照， 仍是求解摆列、 组合问题的基本思想方法。6、摆列与摆列数公式从n 个不一样元素中，任取 m（m n）个元素（这里的被取元素各不相同）依照必定的次序排成一列，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。注意：（ 1）摆列定义包括两个基本内容：一是“拿出元素” ，二是“依照一定次序”摆列。（2）定义中“必定次序”就是说与地点有关，在本质问题中，要由详细问题的性质和条件决定，这一点是与组合的根本差别。7、摆列数从n 个不一样元素中拿出 m(mn)个元素排成一列，称为从 n 个不一样元素中取出m 个元素的一个摆列 .从

8、 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列数， 用符号Anm 表示。摆列数公式：Amn(n 1)(nm1)n!(mn, n, m N)(nm)!注意：我们把正整数由1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n！表示。规定0！=1。当 m=n 时， n 个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做n 个不一样元素的一个全摆列，记为 Annn(n1)(n2)2 1n!注意：（1 ）摆列数公式Amn(n 1)( n m1)n!m n n m Nm 较合用于详细计算以及解当(, ,( n m)!小时含摆列数的方程和不等式。 在运用该公式时要注意它的特色： 第一个因数是n ，最后一个因数是 n-m+1 ，

9、共 m 个连续自然数的连乘积。 （2）摆列数公式 = ，合用于与摆列数有关的证明、 解方程、解不等式等，在详细运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“ m n ，m ， n ”的运用。8、摆列的应用8.1 解摆列应用题的基本思想：解简单的摆列应用题第一一定仔细剖析理解题意， 看可否把问题归纳为摆列问题，即能否有次序。假如是的话，再进一步剖析，这里 n 个不一样的元素指的是什么，以及从 n 个不一样的元素中任取 m个元素的每一种摆列对应的是什么事情，而后才能运用摆列数公式求解。8.2 对于有限制条件的摆列应用题，要注意：（1）摆列的有序性；（2）对受限制条件的地点与元素第一摆

10、列，并适入采纳直接发或间接法；（3）从地点出发的“填空题”和不相邻问题的“插空法”是解答摆列应用题中常用的方法。某些元素的相邻问题，常用“捆绑法” ，先当作一个元素；（4）要注意经过摆列应用题， 神话对分类计数原理和分步计数原理的理解，培育“全局分类”和“局部散布”意识。 在有些摆列问题中，某些元素的前后次序是固定的（但不必定相邻） 。解决这种某些元素次序确立的问题的基本方法有两种：一是整体法，即如有 m+n 个元素排成一列， 此中有 m个元素之间的次序固定不变， 将这 m+n个元素随意排成一列，共有 种不一样的排法，而后任取一个摆列，固定其余的 n 个元素的地点不动，把着 m 个元素互换次序

11、，共有 种排法，此中只有一个摆列是我们需要的，因此共有 种不一样的排法。二是插空法，即逐渐插空法。9、组合从n 个不一样的元素中任取 m(mn) 个元素并成一组， 叫做从 n 个不一样元素中拿出 m个元素的一个组合 .注意：（ 1）拿出的 m 个元素不讲究次序，也就是说元素没有地点的要求，无序性是组合的本质。 （2）组合与摆列的异同：组合与摆列的相同点是“从 n 个不一样元素中随意拿出 m 个不一样元素”；不一样点是组合“不论元素的次序并成一组” ，而摆列要求元素“依照必定的次序排成一列” ，所以划分某一问题是组合仍是摆列，重点是看拿出的元素有无次序。10、组合数与组合数公式从 n 个不一样元

12、素中拿出 m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中拿出 m个元素的组合数，用符号表示。组合数公式：mAnmn(n 1)(n 2) (n m 1)mn!Cnm或 C n(n, m N , 且m n)Amm!m!( n m)!规定： =1。注意：（ 1）组合与组合数是两个不一样的观点。（2）在公式 中，我们规定 0！=1 ，因此有 = = 1，相同 =1.11、组合数的两个性质性质 1： C nm C nn m一般地，从个不一样元素中拿出一一对应，所以从n 个不一样元素中拿出 m 个元素后，剩下 n m 个元素因为从 n m个元素的每一个组合，与剩下的 n m个元素的每一个组合 n

13、 个不一样元素中拿出 m个元素的组合数， 等于从这 n 个元素中拿出 n m个元素的组合数， 即：C nm C nn m 在这里， 主要表现：“取法” 与“剩法”是“一一对应”的思想注意：（ 1）该性质反应了组合数的对称性。（2）若 m ，往常不直接计算 ，而改为计算 。性质 2： C nm 1 C nm +C nm 1一般地，从 a1 , a2 , , an 1 这 n+1 个不一样元素中拿出 m 个元素的组合数是C nm1 ，这些组合能够分为两类：一类含有元素a1 ，一类不含有 a1 含有 a1 的组合是从 a2 , a3 , , an 1 这 n 个元素中拿出 m1 个元素与 a1 构成

14、的，共有 C nm 1 个； 不含有 a1 的组合是从 a2 , a3 , , an 1 这 n 个元素中拿出 m个元素构成的，共有 Cnm个依据分类计数原理，能够获得组合数的另一个性质在这里，主要表现从特别到一般的概括思想， “含与不含其元素”的分类思想注意：（1 ）左端下标为 n+1 ，右端下标都为 n ，相差 1 ；上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少 1.（2）要注意性质 C nm 1 C nm +C nm 1 的顺用、逆用、变形应用，顺用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一” 。（3）变形： C nm1 C nm1 - C nm 。12、几个常用组合数公式C n0 C

15、 n1 C n2C nn 2nCn0 C n2 C n4Cn1 Cn3 C n52n 1mmmmm 1C nCm 1C m 2Cm nC m n 1kC nk nC nk111 C nk1 C nk11k1n 113、组合的应用13.1 有限制条件的组合应用题（1）有限制条件的组合问题的限制条件主要表此刻拿出的元素中“含”或“不含”某些元素，往常用直接法或间接法。解决该类问题用“直接法”时，要注意合理分类，用“间接法”时，要注意“起码” “最多”“恰巧”等词语的含义，做到既不重复又不遗漏。（2）有关摆列、组合的混淆问题，应依照先选后排的原则。（3）解答摆列组合应用题的整体思路是：整体分类；局部

16、散布；辩证地对待元素的地点；一些详细问题有时需要把它抽象成组合模型。13.2 几何中的组合应用问题（1）解决几何图形中的组合问题，第一应注意运用办理组合问题的惯例方法剖析、解决问题， 其次要从不一样种类的几何问题中抽象出组合问题， 常常找寻一个组合的模型加以办理。（2）图形多少的问题往常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情况，防备多算。常用直接法，也可采纳清除法。（3）在办理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决。13.3 分组、分派问题分组问题和分派问题是有区其余： 在分组问题中， 组与组之间只需元素个数 相同即可；而在分派问题中，即便两个组元素个数相同，但因人不一

17、样，仍旧是可划分的。对于这种问题，一定依照先分组后摆列， 若均匀分 m组，则分法 = . 13.4 若干会合中选用元素问题对照较复杂的在若干会合中选用元素的问题， 一般需分类求解。 只需能运用分类思想正确地对待所选法分类， 又能正确地依据题目要求合理地观察步骤， 就能够顺利地求得答案。在分类时，要注意做到既不重复又不遗漏。14、解决摆列组合综合题常用的方法与技巧14.1 对于摆列组合问题的一些解题技巧：特别元素优先安排； 合理分类与正确分步； 摆列、组合混淆问题先选后排；相邻问题捆绑办理；不相邻问题插空办理；定序问题除法办理；分排问题直排办理；“小公司”摆列问题先整体后局部；结构模型；正难则反

18、、等价转变。对于无穷制条件的摆列组合问题应依照两个原则：一是按元素的性质分类，二是准时间发生的过程进行分步。 对于有限制条件的摆列组合问题， 往常从以下三个门路考虑： 以元素为主考虑， 即先知足特别元素的要求， 再考虑其余元素；以地点为主考虑， 即先知足特别地点的要求， 再考虑其余地点； 先不考虑限制条件，计算出摆列或组合数，再减去不切合要求的摆列或组合数。14.2 摆列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）清除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下， 将几个有关元素看作一个元向来考虑，待整体排好以后再考虑它们“局部”的摆列。它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素摆列好

19、，而后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题” ；（5）占位法：从元素的特别性上讲，对问题中的特别元素应优先摆列，然后再排其余一般元素；从地点的特别性上讲，对问题中的特别地点应优先考虑，而后再排其余节余地点。即采纳“先特别后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素序次一准时，可用此法；（ 7）均匀法：若把kn 个不一样元素均匀分红k 组，每组 n 个，共有nnnC knC ( k 1) nC nA kk；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从 n 个不一样元素中每次拿出k 个不一样元素作摆列规定某r个元素都包括在内，而且都排在某 r 个指定

20、地点则有 Arr Ankrr；（10）指定元素摆列组合问题： 从 n 个不一样元素中每次拿出 k 个不一样的元素作摆列（或组合） ，规定某 r 个元素都包括在内。先 C 后 A 策略，摆列 C rr C nk rr A kk ；组合 C rr C kn rr ；从 n 个不一样元素中每次拿出 k 个不一样元素作摆列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包括在内。先 C 后 A 策略，摆列 C n rk Akk ；组合 C n kr ；从 n 个不一样元素中每次拿出 k 个不一样元素作摆列（或组合） ，规定每个摆列（或组合）都只包括某 r 个元素中的 s 个元素。先 C后 A 策略，摆列 C rs

21、C nk rsAkk ；s k s组合 C r C n r 。15.二项式定理一般地，对于随意正整数 n，都有(a b) nCn0 anCn1a nbCnr an r brC nn bn (n N )这个公式就叫做二项式定理，右侧的多项式叫做(a b)n 的二项睁开式。其中各项的系数 C nr (r0,1,2, , n) 叫做二项式系数 。注意：（ 1）二项睁开式有 n+1 项；（2）二项式系数与二项睁开式系数是两个不一样的观点；（3）每一项的次数是相同的，即为 n 次，睁开式依 a 的降幕摆列， b 的升幕摆列睁开；（4）二项式定理往常有以下变形： (a b) n Cn0a n C 1n a

22、 n 1b ( 1)r Cnr a n r br ( 1) n C nn bn ； (1 x)n 1 Cn1 x1 Cn2 x2 Cnr xr xn ；（5）要注意逆用二项式定理来剖析问题、解决问题。16、二项睁开式的通项公式二项睁开式的第n+1项Tr 1rn r Cr r(r0,1,2, , n)叫做二项睁开式的Cn ab n通项公式。它表现了二项睁开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求睁开式的某些特定的项及其系数方面有着宽泛的应用。注意：（1 ）通项公式表示二项睁开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 ，而不是 ； （2）字母 b 的次数和 合数的上 相同；（3）a

23、 与 b 的次数之和 n 。17、二 式系数的性 （1） 称性：与首末两头“等距离”的两个二 式系数相等，即 = ，= ， = ， = 。（2）增减性与最大 ：当 k ，二 式系数是逐 增大的。由 称性知，它的后半部分是逐 减小的，且在中 取最大 。当 n 偶数 ， 中 一 的二 式系数最大；当 n 奇数 ， 中 的二 式系数等，且同 获得最大 。求睁开式系数的最大 ，第一要划分“睁开式系数最大”与 相“二 式系数最大”以及“最大 ”等；其次要注意睁开式系数是失散型 量，所以在系数均 正数的前提下， 它 的最大 只需比 相 两个的大小， 依据通 公式正确地列出不等式 即可。n012rn= 2n

24、 。奇数 （3）各二 式系数(1的和1)：C nCnC nCnCn02132n 1的二 式系数之和与偶数 的C二 式nC系数之和相nC等且nC都等于n。注意：（ 1）求二 式所有 的系数和，能够采纳“特别 代替法” ，往常令字母 量的 1 ，即 (1 1)n C n0 C 1n C n2 C nr C nn = 2n 。一般地，多 式 f(x)= + x+ x2+ + 的各 系数和 f(1) ，奇次方系数和 f(1)-f(-1) ，偶次 系数和 f(1)+f(-1) 。（2）对于 合恒等式的 明，常采纳“结构法”结构函数或结构同一 的两种算法。18、二 式定理的 用（1）要注意二 式定理的双向功能：一方面可将二 式 (a b) n 睁开，另一 方面可将睁开式归并为二项式 (a b)n ，即二项式定理从左到右使用为睁开，从右到左使用能够化简、乞降或证明，这种公式的逆用不行忽略。（2）因为二项式定理是一个恒等式，所以经过对 a、b 取不一样的特别值，可获得一些给解决某些问题带来方便的特例恒等式。