二次函数与最值专题.docx

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二次函数与最值专题

重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练二

——二次函数最值问题

班级______姓名_______等级________

一、基本模型与方法

问题1：

“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？

”

即在l上找一点P，使得PA+PB和最小.

（1）A，B两点在直线异侧时，连接AB交l于P，则PA+PB和最小.

（2）A，B两点在直线同侧时，在l上找一点P，使得PA+PB和最小.

作B点关l的对标点B’，连接AB’交l于点P，即为所要找的P点，使PA+PB和最小.

（3）变式讨论：

在l上找一P点，使得△PAB周长最小.

问题2：

在l上找一点P，使得lPA一PBl最大

（1）A，B两点在直线同侧时，连接AB井延长交l于P，则lPA一pBl最大

（2）A，B两点在直线异侧时，作B点关于l的对称点B’，连接AB’并延长交l于点P，即为所要找的P点，使lPA一PBl最大.

问题3：

（1）在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN周长最小

做法：

分别作点P关于直线l1、l2的对称点P1，P2连接P1，P2与l1，l2交点即为M，N

（2）变式：

在直线l1，l2上分别求点M、N，使四边形PMQN周长最小.

做法：

分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P’，Q’，连接P’，Q’与l1，l2交点即为M，N

问题4：

点在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PD+CD最小

做法：

做点P关于直线OB的对称点P’，过P’向直线OA作垂线与OB的交点为所求点D，垂足即为点C

问题5：

（1）直线l1∥l2，并且l1与l2之间的距离为d，点A和点B分别在直线l1、l2的两

侧，在直线l1、l2上分别求一点M、N，使AM、MN、AB的和最小.

作法：

将点A向下平移d个单位到A1，连结A1B交l2于点N，过N作MN⊥l1，垂足为M，连结AM，则线段AM，MN，NB的和最小，点M，N即为所求.

（2）直线l的同侧有两点A，B，在直线l上求两点C、D，使得AC，CD，DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧.

作法：

将点A向右平移a个单位到A1，作点B关于直线的对称点名B1，连结A1，B1交直线l于点D，过点A作AC//A1D交直线l于点G，连结BD，则线段AC、CD、DB的和最小.

点C、D即为所求

二、基本题型训练

1.已知：

如图所示，抛物线

交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C.

（1）求点A、B、C的坐标.

（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q，求线段PQ的最大值.

变式1：

点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作x轴的平行线交直线AC于点M，求线段PM的最大值.

变式2：

点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），求点P到直线AC距离的最大值.

变式3：

点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q，过P作直线AC的垂线，垂足为H.①求ΔPQH周长的最大值；②求ΔPQH面积的最大值.

变式4：

点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），求ΔPAC面积的最大值.

（3）在直线AC上求点G，使ΔOBG周长最小，并求出周长的最小值.

（3）

点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ//AB与抛物线交于点Q，过Q作QN⊥x轴于点N（点P在点Q的左边）.当矩形PMNQ的周长最大时，求ΔAEM的面积.

2.如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

3.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,边AB在x轴上,且AB=6,D（0,9）,以C为顶点的抛物线经过A、B两点,直线l过点C,交y轴于点E（0,12）

（1）求抛物线的解析式;

（2）（“两点一线”线段和最小模型）若抛物线的对称轴上存在点Q,使得△QAE周长最小,求Q的坐标以及△QAE周长的最小值;

（3）若P是线段BD上方抛物线上的一个动点,求△PBD的最大面积.

（4）在（3）的基础上:

①直接写出P到直线BD的最大距离是_________；

②过P作PM//CD交BD于M,作PN//y轴交BD于N,求PM+PN的最大值.

4.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；

（3（“两点两线”四边形周长最小模型）若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．

5.如图，已知直线

与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线

与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）（“线段的差最大”模型）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．

6如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于点A，点B，.与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点.

（1）求A、B、C、D的坐标；

（2）过点P作BD的平行线，交AB与点Q，连接DQ，当△PDQ的面积最大时，在对称轴上找一点K，使得△KAC的周长最大，请求出K的坐标及△KAC的周长的最大值.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴的交点为E.

（1）求直线BC的解析式以及顶点为D的坐标.

（2）点P是第三象限内抛物线的一点，连接PC、PA，当△PBC的面积最大时，在对称轴上找一点K，使得|KP-KA|值最大，请求出K点的坐标及|KP-KA|的值.

8.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．

（1）直接写出A、B、C的坐标；

（2）求证：

ΔBDE是等腰三角形；

（3）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE的面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值.

9.如图1，已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）已知E（0，

），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为

的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标.