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复变函数积分的计算方法
复变函数积分的计算方法
摘要:
在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的（因此，掌握复积分的计算方法对于学好复变函数至关重要（本文从不同角度讨论了复变函数的积分，对计算复积分的几种方法进行了整理、归类，并以典型的例题加以说明（其中包括利用定义、牛顿-莱布尼茨公式、柯西积分定理及公式、高阶导数公式、留数定理等计算复积分的方法（还重点介绍了运用级数法、拉普拉斯变换法计算复积分和利用对数留数与辐角原理计算复积分的方法（
关键词:
柯西积分定理;柯西积分公式;留数定理;拉普拉斯变换
引言
复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数（复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美（它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用（复数起源于求代数方程的根（复变函数论产生于十八世纪（1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程（而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们（因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”（到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”（复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学（当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一（为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱（后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯（二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献（复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决
1
的（比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的（比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献（复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论（它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响（从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了（它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分（它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程（现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用（通过对复变函数发展历史的研究，可以更加深入的理解复变函数的内容以及基本理论，了解复变函数在生活中的具体应用以及未来的发展前景从而更熟练地掌握复变函数的理论基础以及实际运用（
很多文献对复变函数的积分的计算问题进行了讨论，参考文献[1]讨论了计算复积分的七种常规计算方法，如利用定义直接计算复积分，利用柯西积分定理以及柯西积分公式求复积分，用解析函数的高阶导数公式等，参考文献[2]着重介绍了运用留数定理和辐角定理求解复积分的方法，参考文献[3]则主要介绍了通过变量变换、柯西积分公式、柯西积分定理及留数定理求解的方法，也揭示了诸多方法的内在联系，参考文献[4]探析了沿封闭曲线的复积分计算方法，参考文献[5]则介绍了沿不封闭曲线的复积分的计算方法（由于解析函数的特性，形成了丰富的复积分理论知识和多种求解方法，以上几个文献都只以有限的篇幅介绍了几种比较一般的方法，参考文献[8]重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算的方法，对常用复积分计算方法进行了补充，具有一定的技巧性和简捷之处（
从复变函数的发展史以及上述文献可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性（解析函数的许多重要性质不用复积分也很难证明的（因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用
2
复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要（本文对不同类型的复变函数的积分的计算方法进行了系统的总结和归纳，并总结出求解复积分的一些技巧，这样，遇到一个复积分，我们可以先分析积分的特点，由此特点来选择合适的方法，方法得当，可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷，因此该课题具有一定的应用价值（
1（复变函数积分的常规计算方法
1.1利用定义来直接计算复积分
[1]DDA复积分的定义设函数w,f（z）定义在区域内，为在内起点为终C
B的一条光滑的有向曲线（把曲线任意分成个弧段，设分点为点为Cn
A,z,z,z,,,,z,z,,,,z,B，012k,1kn
在弧段到（k,1,2,？
n）上任取一点，并作和式z,zkkk,1
nn
S,,f,（）（z,z）,,f（,）,z，记，,z,z,znkkk,1nkkkk,1k,1k,1
,（k,1,2,？
n）弧段到z的长度,,max,S，当时，不论对C的分法z,,0kkk,11,,kn
f（z）即,的取法如何，S有唯一极限，则称该极限值为函数沿曲线C的积分，kn
为
n
f（z）dz,lim,f（,）,z（（1.1）kk,c,,0k,1
例1.1计算积分1）;2），其中积分路径表示连接点及点b的任dzzdza,,cc
一曲线（
C解对进行分割，并近似求和，以下符号与上述复积分的定义一致（
n
S,,（z,z）,b,adz,0Cf（z）,1
（1）当为闭曲线时，（因为，，nkk1,Ck,1所以
S,b,a，limnm,,max|,|,0Sk
即
（dz,b,a,c
dz,0f（z）,zCC
（2）当为闭曲线时，（，沿连续，则积分存在，zdz,,CC
3
设，则,,zkk,1
n
,,z（z,z），1k,1kk,1k,1
又可设，则,,zkk
n
,,z（z,z），2kkk,1k,1
,因为的极限存在，且应与及极限相等，所以S12n
n1112222，S,（,，,）,,z（z,z）,（b,a）nkkk,121k,1222所以
122（zdz,（b,a）,C2
说明当积分曲线C分为小段时，可以考虑用定义法计算复积分（但这种n
方法并不简便，所以不常用（
1.2化复积分计算为实曲线积分的计算方法
Df（z）C假定复变函数定义在区域上，是上可求长曲线（或逐段光滑曲D
f（z）,u（x,y），iv（x,y）线），并设存在（设，沿曲线C连续，则f（z）dz,c
f（z）dz,udx,vdy，iudy，vdx（（1.2）,,,ccc
C按曲线的参数方程特点，式（1.2）可化为下面三种具体计算公式:
1.2.1形式1
x,x（t）,y,y（t）（,,t,,,或,,t,,）当光滑曲线的参数方程为且
C（分别对应的起点和终点，则式（1.2）可化为t,,,,
,,=[（（）,（））（）（（）,（））（）]uxtytxtvxtytytdtf（z）dz,,,c,
,,+（（1.3）iuxtytytvxtytxtdt[（（）,（））（）（（）,（））（）]，,,
2C1，i例1.2求（为（），方向从指向（00,t,1x,t,y,t（x,y，ix）dz,c
2解，由式（1.3）有u,x,y,v,x
222（x,y，ix）dz=+（x,y）dx,xdyi（x,y）dy，xdx,,,cc
4
1122=[（t,x）,1,t,1]dt，i[（t,x）,1，t]dt,,00
1122=,tdt，itdt,,00
1,（1,i）=（3
1.2.2形式2
C当光滑曲线方程为，（则式（1.2）可化为y,y（x）a,x,b
b,=[（,（））（,（））（）]uxyxvxyxyxdx,f（z）dz,,ca
b,+（（1.4）iuxyxyxvxyxdx[（,（））（）（,（））]，,a
2（xy，yi）dzC例1.3求，为抛物线（y,x（0,x,1）,
112222解（xy，yi）dz,[x,x,x,2x]dx，i[x,x,2x，x]dx,,,c00
11342=,xdx，i（2x，x）dx,,00
111,,，i=（fzdzfztztdt（）（（））（）,,,c,415
1.2.3形式3
CCz,z（t）（,,t,,,或,,t,,），t,,,,当光滑曲线方程为分别对应于的
起点，终点（则式（1.4）可表示为
,（（1.5）fzdzfztztdt（）（（））（）,,,c,
i说明利用式（1.5）计算复积分，只需将看作一般常数，按定积分计算式
（1.5）右端（在方法上常常来的更简单（
1C1，i例1.4求（为连接到再到的折线（0Rezdz,c
1z,t（0,t,1）1，i解从到的直线段方程为（从到的直线段方程为01
z,1，it（0,t,1）（即（故由式（1.5）z,（1,t），（1，i）t（0,t,1）
11Rezdz,Retdt，[Re（1，it）]idt,,,c00
111tdt，idt，i==（,,002
5
i,,,argz,,z,Re（,,,,,）说明当C为圆弧，时，C可表示为，|z|,R1212则
2i,i,f（z）dz,f（Re）ied,（（1.6）,,c,1
C.5求（为单位圆上的上半圆周，方向为从到（例11,1zzdz,c
i,2z,e,0,,,,C解:
（由（故|z|,zz,1
i,,i,0i,e,e,e,,2=（zzdz,1,ied,0,,0c
1.3利用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分
,2Df（z）z,z,DF（z）牛顿-莱布尼茨公式设在单连通域内解析（，为12f（z）的原函数（则
z1f（z）dz,F（z）,F（z）（（1.7）21,z2
，2iz例1.6计算积分cos（dz,02
，2iz,,,，2i解（cosdz,zsin,2sin（，i）,2cosi0,0222
Df（z）说明利用牛顿-莱布尼茨公式需要的条件:
（1）须是单连通的;
（2）
F（z）积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关;（3）式（1.7）适合于原函数是初等函数（
1.4利用柯西积分定理及其推论计算积分
C假定复积分路径恒为可求长（或逐段光滑）的简单闭曲线，方向为正方向（1.4.1单连通区域上的柯西积分定理
,6DDf（z）C柯西积分定理设在单连通区域内解析，为任一条周线，则
（（1.8）f（z）dz,0,C
dz|z|,1例1.7计算，为单位圆周（C2,Cz，2z，2
1f（z）,|z|,1解是的解析区域内的一条闭曲线，由柯西积分定2z，2z，2
理有
dz（,02,Cz，2z，2
6
说明此题可用化复积分计算为实曲线积分的计算方法，但计算要复杂的多，而用柯西积分定理很简单（
f（z）CC柯西积分定理的等价形式设是一条周线，为之内部，在闭域D,D，C上解析，则
（（1.9）f（z）dz,0,C
coszdzC例1.8求，其中为圆周|z，3i|,1（,cz，i
coszCC解圆周为|z,（,3z）|,1，被积函数的奇点为，在的外部，于是,iz，iC以为边界的闭圆|z，3i|,1上解析，故由柯西积分定理的等价形式得
coszdz,0（,cz，i
1.4.2多连通区域上的柯西积分定理
DD为多连通区域，有如下定理设是由复周线如果C,C，C，C，...C012n
Df（z）D,D，C所构成的连通区域，在内解析，在上连续，则
（f（z）dz,0,C
dz例1.9计算积分（1,z,z（3z，1）6
113解函数在积分路径的内部上共有两个奇点Fz（）,,,Czzzz（31）31，，
111和（在内分别作以与以为心，充分小半径的圆z,,z,0z,,z,0r,C336
1,:
|z|,r周及,:
|z,（,）|,r，将二奇点挖去，新边界构成复周线123
C，,，,（|z|,1）（12
dzdzdzdz,，=,,,,,,z,1,，,1212z（3z，1）z（3z，1）（3z，1）z（3z，1）
dz3dzdz3dz,,，,,,,,,,,,1122z3z，1z3z，1
dzdzdzdz,d,，,=0（,,,,,,,,111122zzz,（,）z,（,）33
7
说明在积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿-莱布尼茨公
式计算（
1.5利用柯西积分公式计算复积分
DDCf（z）柯西积分公式设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，
1f（）D,D，C在上连续，则有f（z）,d,（z,D），即,C2i（,z）,,
f（）（（1.10）d,,2,if（z）,C（,z）,
22,，1zz例1.10计算积分dz的值，其中（C:
|z|,2,C,1z
2zzz,,,1:
||2,,|z|,2解因为在上解析，（由柯西积分f（z）,2z,z，1
公式得
22z,z，12dz,2,i（2z,z，1）（,z,|2z,1
1dzC例1.11计算的值，为包含圆周|z,i|,2的任何正向简单闭23,C（,）zzi
曲线（
11C|z|,解在内部有两个奇点，，，取C为，C为z,0z,i1212233z（z,i）
1由复围线柯西积分定理|z,i|,3
111，dzdzdz=（232323,,,CCC12（,）（,1）（,1）zzizzzz又有
1
21z,dzdz233,,CC1（,）（,）zzizi
1,,2,i[],,6,i（z,03（z,i）
8
1
21z,dzdz233,,CC2（,）（,）zzizi
2i1,,（,（）,6,iz,022!
z故
1dz=0（23,C（,）zzi1.6利用解析函数的高阶导数公式计算复积分
,4DDf（z）DC高阶导数公式设在内解析，在上连续，为的边界，，z,D0
有
f（z）2i,（）n（1.11）dz,f（z）,n,1,2,？
0，1n,（z,z）n!
0
zcos,z,0C例1.13求，为包含圆周|z|,1的任何正向简单闭曲线，，dz13,Cz
11zi,|z|,|z,i|,（取为，为（CC21233
解在内部，由式（1.11）f（z）,cos,z,z,0C0
zcos,2i,,dz（cos,z）,z,03,C2!
z
23=（,i（,,cos,z）,,,iz,0
1dz1.7利用的结果计算复积分n,C（,）zz0
2i,n,1,,,1zC,
（1）当属于内部时，（1.12）,0n,C0,n,1.（z,z）,0
1zCdz,0
（2）当属于外部时，（（1.13）0n,C（z,z）0
2,，5,51zzC|z,1|,例1.14求，为（dz2,C2（,2）（,1）zz
9
2,，,zz5511,,解，在C内部，不在内部，由式（1.13）1222
（1）
（1）
（2）1zzzz,,,,
有
2,，5,511zz,dz,dz,0,2,i,,2,i（dz22,,,CCC（z,1）z,1（,2）（,1）zz
1.8利用留数定理计算复积分
,6Da,a,？
af（z）C留数定理在复周线或周线所围的区域内，除外解12n
D,D，C析，在闭域上除外连续，则aa？
a1,2,n
n
（（1.14）f（z）dz,2,i,Resf（z）,C1k,z,ak
（z）,f（z）,（z）,（a）,0设为的阶极点，f（z）,，其中在点解析，，anan（z,a）
（n,1）（a）,（0）（n,1）（n,1）Resf（z）,,（a）则（这里符号代表，且有（,（a）,（a）,lim,（z）z,az,a（n,1）!
52z,dz例1.15计算积分（2,z,||2zz
（1）,
5z,2解被积函数f（z）,在圆周的内部只有一阶极点及二|z|,2z,02z（z,1）
阶级点（z,1
z5,2sfzRe（）,,,2，z,02z,0z（,1）
z5,22,sfzRe（）,（）,,2z,1z,12z,1zz
因此，由留数定理可得
5z,2dz,2,i（,2，2）,0（2,|z|,2z（z,1）
zcos例1.16计算积分（dz3,|z|,1z
coszf（z）,解只以为三阶极点，z,03z
11，,,sfzz,,,Re（）（cos）z,0z,02!
2
10
故由留数定理得
cosz1（dz,2,i（,）,,,i3,|z|,1z2
说明
（1）柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式都是留数定理的特殊情况;
（2）凡是能用柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能用留数定理来计算（
2（运用级数法计算复积分
，,,,8CC逐项积分定理设在曲线上连续（n,1,2,3,,,），在上f（z）f（z）n,nn1,
f（z）f（z）CC一致收敛于，则在曲线上连续，并且沿可逐项积分:
，,
f（z）dz,f（z）dz（（2.1）,n,,cc1n,
将函数展开成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分的有关问题（
1n（）zdzC:
|z|,例2.1计算积分，（,,C21n,,
111n|z|,z,，解在内，，则,2z1,zn1,,
11n（z）dz,（，）dz,2,i，0,2,i（,,,CCz1,z1n,,
3（利用洛朗展式计算复积分
zzsin,Idz例3.1计算积分（z3,,||1z,
（1）e
fz（）解若在圆环HrzaRrR:
||（0,）,,,,,，,内可展成洛朗展式
，,nfzCza（）（）,,，,nn,,,
则
1（）f,,Cd，,,,,,:
||（）,,,ark，,n，1n,,2（）ia,,
11
从而
（fdiC（）2,,,,,1,,
令
zzsinfz（）,，z3
（1）,e
在内的洛朗展式为则fz（）Hz:
0||,,，,
2435zzzz2z
（1）,，,zz（）,，，3!
5!
3!
5!
fz（）,2z33z3,，，z
（1）,，，（）z2!
2!
24zz1,，,113!
5!
,,,,，
（1）zz3z
（1），，2!
1（,,，z
故
IiCi,,,22,,（,1
4（运用拉普拉斯变换法计算复积分
,8拉普拉斯变换法设是定义在[0,，,]上的实值函数或复值函数，如果f（t）
，,,pt含复变量在p的某个区域内存在，则由P,,，is（,,s为实数）的积分f（t）edt,0
，,,ptF（p）,f（t）edt此积分定义的复函数成为函数的拉普拉斯变换（简称拉f（t）,0
氏变换），简记为
F（p）,L[f（t）]（
计算该类复积分时，可运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化
F（p）为的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果（
11,pzcos例4.1计算积分（edz,02az,az
11f（az）cos解令，则,2aza,z
12
11,pz，L[f（az）],cosedz,02az,az
由于
1pL[f（az）],F（），aa
由拉普拉斯变换表得
p,pp1a,Fe（）cosaap，
a
所以
p,,1111pp,pza,,cos（）cosedzFe,02azaaa,azp（aa
5（利用对数留数与辐角原理计算复积分
fz1（）f（z）f（z）Cdz如果在简单曲线上解析且不为零，则积分称为关,C,ifz2（）
C于曲线的对数留数（由它推出的辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法（特别是，可以借此讨论在一个指定区域内多项式零点的个数问题（5.1利用对数留数定理计算复积分
f（z）CC如果在简单曲线上解析且不为零，在的内部除去有限个极点外也处处解析，则
1（）fzdz,N,P（（4.1）,C2,（）ifz
f（z）f（z）PCCNC其中为在内零点的总个数，为在内极点的总个数，且取正
9,,向（在计算零点与极点的个数时，级的零点或极点算作个零点或极点（mm
5.2利用辐角原理计算复积分
f（z）CCC辐角原理如果在简单闭曲线上与内解析，且在上不等于零，
1f（z）f（z）zCC则在内零点的个数等于乘以当沿的正向绕行一周时辐角的2,
改变量，即
13
1（（4.2）Nargfz,,，（）c,2
结合对数留数定理与辐角原理，通过例题来说明该方法在复积分计算中是如何使得计算变得简单的（
9z例5.1计算积分（10,|z|,4z,1
f（z）解在|z|,4的内部解析，有10个零点，没有极点，即（由N,10,P,0
1（）fzdz,N,P，有,C2,（）ifz
9910,1101（,1）zzz,,dzdzdz101010,,,|z|,4|z|,4|z|,4,110,110,1zzz
1（,，2,i（10,0）,2,i10
2,sinz（z,1）1（）fzdzf（z）,例5.2计算积分，其中（,2z5|z|,52,（）ifzz（1,e）
在|z|,5上解析且不等于零（又f（z）在|z|,5的内部解析，零点个数
，极点个数（N,1，2,3P,5，2,7
由对数留数定理有
1（）fzdz=（N,P,3,7,,4,|z|,52,（）ifz
此题无法用柯西积分公式，但可以用留数定理和对数留数定理来解，而两者相比，显然前者繁琐，后者简捷，故用对数留数定理来解（
小结
本文共介绍了四大类计算复积分的方法，各种方法各有利弊，在做题的过程中分析好积分路径与被积函数的特点，可更快地解决问题（
将积分曲线分为小段时，可以直接计算复积分（不常用）;当被积函数在简单光滑曲线上连续时，计算积分时常用参数方程法，参数方程法是计算复积分的基本方法;如果被积函数在包含积分曲线的某一单连通域内处处解析，则可用牛顿-莱布尼茨公式进行计算;涉及到围线积分，想到利用Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、留数定理，其中留数定理应用最广;高阶导数公式也可以计算某种特
14
定形式的复积分（在以上各种方法中，用高阶导数公式计算积分时，如果被积函数的阶数过高，会太过繁琐，这时运用留数定理及其计算规则来计算复积分，就简便的多，在此不再赘述（
级数法、拉普拉斯变换法及运用对数留数与辐角原理进行复积分计算，是对复积分常用计算方法的补充，具有一定的技巧性，文中以例题说明了其具体运用的巧妙之处，灵活运用这些计算技巧，可以使复杂的积分过程得以简化（
总之，在解有关复变函数积分的问题时，对方法的选择要因题而异（首先从积分路径和被积函数入手，确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线，然后再对
D被积函数在已给区域内的解析性加以分析判断后，再决定采取什么方式方法来解决你所面对的积分问题（按照这样一个基本步骤来寻找
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