圆和相似结合初三.docx
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圆和相似结合初三
圆和相似（初三）
一.解答题（共18小题）
1.（2012?
铜仁地区）如图，已知OO的直径AB与弦CD相交于点E,AB丄CD,OO的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
（1）求证:
CD//BF;
（2）若OO的半径为5,cos/BCD=，求线段AD的长.
5
2.（2013?
河东区一模）如图，已知CD是OO的直径，ACLBC,垂足为C,点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A,且/A+2/AED=90.
（I）证明：
直线AB是OO的切线；
（H）当BC=1,AE=2求tan/OBC的值.
3.（2011?
湛江）如图，在Rt△ABC中，/C=90°点D是AC的中点，过点A,D作OO,使圆心O在AB上，OO与AB交于点E.
（1）若/A+ZCDB=90，求证：
直线BD与OO相切；
（2）若ADAE=4:
5,BC=6求OO的直径.
4.（2012?
丰润区一模）如图，已知OO的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E,过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3cosZBCD0.
4
（1）求证：
BF为OO的切线.
（2）求OO的半径.
（3）
（I）求证：
△ADC^ACB
（H）如果把直线CD向下平行移动，如图
（2）,直线CD交OO于C,G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4
BG=3求越的值.
AC
6.（2012?
德州）如图，点A,E是半圆周上的三等分点，直径作AG//BE交BC于G
（1）判断直线AG与OO的位置关系，并说明理由.
（2）求线段AF的长.
BC=2,AD丄BC,垂足为D,连接BE交AD于F,过A
7.（1997?
湖南）已知：
如图，AB是OO的直径，PB切OO于点B,PA交OO于点C,ZAPB是平分线分别交BC,AB于点D、E,交OO于点F,/A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2二=0的两根（k为常数）.
（1）求证：
PA?
BD=PBAE;
（2）求证：
OO的直径长为常数k;
（3）
求tan/FPA的值.
8（2005?
柳州）已知，如图，直线l与OO相切于点D,弦BC//l，与直径AD相交于点G,弦AF与BC交于点E,弦CF与AD交于点H
（1）求证：
AB=AC
（2）如果AE=6,EF=2,求AC
9.（2006?
黄冈）如图，ABAC分别是OO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交OO于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.
（1）若PC=PF求证：
AB丄ED;
2
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么？
10.已知：
如图，在半径为4的OO中，ABCD是两条直径，M为OB的中点，CM勺延长线交OO于点E,且EM>MC连接DE,DE=—.
（1）
求证：
AM?
MB=EMMC
PE是OO的切线.
11.（2012?
临沂）如图，点A、BC分别是OO上的点，/B=60°,AC=3CD是OO的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC
（1）求证：
AP是OO的切线；
（2）求PD的长.
P
12.（2012?
陕西）如图，PAPB分别与OO相切于点AB,点M在PB上，且OM/AP,MN丄AP,垂足为N.
（1）求证：
OM=AN
（2）若OO的半径R=3,PA=9,求OM的长.
13.（2012?
东营）如图，AB是OO的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切OO于点E,交AM于点D,交BN于点
C,
（1）求证：
OD//BE
（2）如果OD=6cmOC=8cm求CD的长.
14.（2013?
黄石）如图，AB是OO的直径，AM和BN是OO的两条切线，E是OO上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C,且OD//BE,OF//BIN
（1）求证：
DE与OO相切；
（2）求证：
OF=CD
2
15.（2012?
枣庄）如图，AB是OO的直径，弦CD!
AB于点E,过点B作OO的切线，交AC的延长线于点F.已知
OA=3AE=2
（1）求CD的长;
（2）求BF的长.
16.（2012?
达州）如图，C是以AB为直径的OO上一点，过O作OELAC于点E,过点A作OO的切线交OE的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P.
（1）求证：
PC是OO的切线.
（2）若AF=1,OA=匚，求PC的长.
17.（2012?
衢州）如图，在Rt△ABC中，/C=90°,ZABC的平分线交AC于点D,点0是AB上一点，OO过B、D两点，且分别交ABBC于点E、F.
（1）求证：
AC是O0的切线；
（2）已知AB=10,BC=6求OO的半径r.
18.（2012?
怀化）如图，已知AB是OO的弦，OB=4/OBC=30，点C是弦AB上任意一点（不与点AB重合），连接CO并延长CO交OO于点D,连接ADDB.
（1）当/ADC=18时，求/DOB的度数；
（2）若AC=2二，求证：
△AC3AOCB
（2013?
天津）已知直线I与OO,AB是OO的直径，ADLI于点D.
（I）如图①，当直线I与OO相切于点C时，若/DAC=30，求/BAC的大小；
（n）如图②，当直线I与OO相交于点E、F时，若/DAE=18，求/BAF的大小.
圆和相似结合（初三）
参考答案与试题解析
一.解答题（共18小题）
1.（2012?
铜仁地区）如图，已知OO的直径AB与弦CD相交于点E,AB丄CD,OO的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
（1）求证:
CD//BF;
（2）若OO的半径为5,cos/BCD=，求线段AD的长.
5
切线的性质；圆周角定理；解直角三角形.
压轴题.
BF丄AB,又由AB丄CD即可得CD//
（1）由BF是OO的切线，AB是OO的直径，根据切线的性质，即可得
BF；
（2）又由AB是OO的直径，可得/ADB=90，由圆周角定理，可得/BAD*BCD然后由OO的半径为5,cos/BCD=，即可求得线段AD的长.
5
（1）证明：
TBF是OO的切线，AB是OO的直径，
•••BF丄AB,…3分
•/CDLAB,
•CD//BF;…6分
（2）解：
TAB是OO的直径，
•••/ADB=90，…7分
TOO的半径5,
•AB=10,…8分
•••/BAD玄BCD…10分
4AH
•cos/BAD=cos/BCD==,
5AB
4
•AD=cos/BAD?
AB=X10=8,
5
•AD=8.…12分
此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质•此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用.
2.（2013?
河东区一模）如图，已知CD是OO的直径，ACLBC,垂足为C,点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A,且/A+2/AED=90.
（I）证明：
直线AB是OO的切线；
（H）当BC=1,AE=2求tan/OBC的值.
考点：
切线的判定.
专题：
计算题.
分析：
（I）连接OECE,OB,求出BC=BE证出△OEB^AOCB推出ZOEBZACB=90，根据切线的判定推出即可;
（II）证厶AE3AACB推出二=小,求出二=丄,解直角三角形求出即可.
BCACBC2
解答:
（I）证明：
连接OECE,OB,二匚
•••DC为圆O的直径，
•••/DEC=90,
即/CEB+/AED=90,
•2/AED+Z2/CEB=180,
•/ACLBC,
•••/ACB=90,
•••/A+ZABC=90,
•••/A+2ZAED=90,
•ZABC=2/AED
•ZABC+2/CEB=180,
•ZABC+ZCEB+ZECB=180,
•ZCEB玄ECB
•BC=BE
在厶OEB^OCB中
BE=BC
-OE=OC,
lob=ob
•△OEB^AOCB
•ZOEBZACB=90,
即OELAB
•AB是OO切线.
（H）解：
•BE=BC=1AB=2+1=3,
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AC=］；•-，”=2匚,
•ZA=ZA,ZAEOZACB=90,
•△AESAACB
...I=5
BC疋
.1=_=_
BC2?
2~，
tan/OBC=_l=-=
BCBC2
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
3.（2011?
湛江）如图，在Rt△ABC中，/C=90°,点D是AC的中点，过点A,D作O0,使圆心0在AB上，00与AB交于点E.
（1）若/A+ZCDB=90，求证：
直线BD与00相切；
（2）若ADAE=4:
5,BC=6求O0的直径.
考点：
切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理.
专题：
几何综合题；压轴题.
分析：
i
i
（1）连接0D由ZA=ZAD0进而证得ZAD0ZCDB=90，而证得BD丄0D
（2）连接DE由AE是直径，得到ZADE=90，然后利用已知条件可以证明DE//BC从而得到厶ADE^AACB接着利用相似三角形的性质得到ADAC-DEBC,又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD:
AE=4：
5,在直角△ADE中，设AD-4xAE-5x,那么DE-3x由此求出x-1即可解决问题.
解答：
解：
（1）连接0D
•/0A=0D
•••ZA=ZAD0
又tZA+ZCDB=90,
•ZAD0-ZCDB=90,
•Z0DB=180-（ZAD0-ZCDB=90°,
•BD丄0D
•BD是O0切线；
（2）
连接DE•••（7分）
•/AE是直径，
•ZADE=90，…（8分）
又tZC=90°,
•ZADE玄C,
tZA=ZA,
•△ADE^AACB•••（9分）
•ADAC=DEBC
又tD是AC中点，
•AD=AC,
•••DE=BC,
2
•/BC=6•-DE=3•••（11分）
•/ADAE=4:
5,
在直角△ADE中，设AD=4x,AE=5x,那么DE=3x
•x=1
•AE=5.
点评：
本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质.解题的关键是连接ODDE,证明DE//BC
4.（2012?
丰润区一模）如图，已知OO的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E,过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F,且AD=3cos/BCD=：
.
4
（1）求证：
BF为OO的切线.
（2）求OO的半径.
考点：
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形.
分析：
（1）由AB丄CD,BF/CD可得AB丄BF,又由AB是OO的直径，即可证得BF为OO的切线；
（2）首先连接BD,由AB是OO的直径，可得/ADB是直角，又由AD=3cos/BCD=',即可得cos/BAD="=',
4AB4
继而求得答案.
解答：
（1）证明：
TAB丄CDBF/CD
•AB丄BF,
•/AB是OO的直径，
•BF为OO的切线；
（2）解：
连接BD,
•/AB是OO的直径，
•/ADB=90,
•••/BCD=/BADcos/BCD=:
4
•cos/BAD='=—
AB4
•/AD=3
/•AB=4,
•••OO的半径为2.
点评：
此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质•此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与转化思想的应用.
5.（2013?
塘沽区二模）如图
（1）,AB为OO的直径，C为OO上一点，若直线CD与OO相切于点C,AD丄CD垂
6.
（II）解：
TAB是OO直径，
•••/AGB=90,
•••AG=4BG=3由勾股定理得：
AB=^g=5,
•••四边形ACGB是OO的内接四边形，
•••/B+ZACG=180,
•••/ACD+ZACG=180,
•ZB=ZDCA
•/AD丄DC
•ZADCZAGB
•△ADC^AAGB
•化」
朮AB，
.；丨=：
T=:
•AC=雨飞'
点评：
本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是推出△ADSAACB或△ADC^AAGB
考点：
切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形.
专题：
计算题；证明题.
分析：
（1）求出弧AB=（2）求出等边三角形AOB求出BDAD长，求出ZEBC=30,在厶FBD中，通过解直角三角形求出DF即可.
解答:
解：
（1）直线AG与OO的位置关系是AG与OO相切,理由是：
连接OA
•••点A,E是半圆周上的三等分点,
•••弧AB=MAE=MEC
•••点A是弧BE的中点，
•OALBE,
又•••AG/IBE
•OALAG
•AG与OO相切.
（2）t点A,E是半圆周上的三等分点,
•••/AOB=/AOE=/EOC=60,又•••OA=OB
•△ABO为正三角形，
又•••AD丄OBOB=1,
•BD=OD=,AD』；，
22
又•••/EBC=/EOC=30（圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）
在Rt△FBD中,FD=BDtan/EBC=BDtan30
•AF=AD-DF=L-'=
263
答：
AF的长是二.
3
本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：
垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中.
7.（1997?
湖南）已知：
如图，AB是OO的直径，PB切OO于点B,PA交OO于点C,ZAPB是平分线分别交BC,AB于点D、E,交OO于点F,/A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方程x-kx+27=0的两根（k为常数）.
（1）求证：
PA?
BD=PBAE;
（2）求证：
OO的直径长为常数k;
（3）求tan/FPA的值.
考点：
圆的综合题.
专题：
压轴题.
:
丄BED玄BDE
•••BE=BD
•••线段AEBD的长是一元二次方程x2-kx+2~=0的两根（k为常数），
•AE+BD=k
•AE+BD=AE+BE=AB=k
即OO直径为常数k.（5分）
（3）vPB切OO于B点，AB为直径.
•/PBA=90.
•••/A=60°.
•PB=PZ?
sin60°='PA,
2
又•••PA?
BD=PBAE
•BD='AE,
2
•••线段AEBD的长是一元二次方程x2-kx+27=0的两根（k为常数）.
•AE?
BD=2二,
即AF=27,
2
解得：
AE=2BD=二,
•AB=k=AE+BD=2+U,BE=BD==,
在Rt△PBA中,PB=AB*tan60°=（2+=）x二=3+2二.
在Rt△PBE中，tan/BPF=‘‘==2-二，
PB3+2^3
•••/FPA=ZBPF,
•tan/FPA=2-';.
点评：
此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知
识•此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
8（2005?
柳州）已知，如图，直线l与OO相切于点D,弦BC//l，与直径AD相交于点G,弦AF与BC交于点E,弦CF与AD交于点H
（1）求证：
AB=AC
（2）如果AE=6,EF=2,求AC
D
考点：
切线的性质；垂径定理；圆周角定理.
专题：
计算题；证明题；压轴题.
分析：
（1）根据切线的性质知道AD丄L,由BC//l可得AD丄BC,那么可得到AB和AC所对的弧相等，进而得到AB=AC
（2）根据
（1）可知/F=ZB=ZACB由此即可证明△AE3AACF,然后利用其利用对应线段成比例可以解决问题.
解答：
（1）证明：
•••直线l与O0相切于点D,
•AD丄1,
•/BC//l,
•••AD丄BC.
•—--'.
•AB=AC
（2）解：
TAB=AC
•••/B=ZACB
•••/B=ZF,
•••/F=ZACB
又•••/EAC=zFAC
•△AEC^AACF
•AE=ACACAF
•AE=47.
点评：
本题用到的知识点为：
1弧相等，弧所对的弦也相等；
2相似三角形中的对应线段成比例来.
9.（2006?
黄冈）如图，ABAC分别是OO的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交OO于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P.
（1）若PC=PF求证：
AB丄ED;
2
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD=DE?
DF,为什么？
P
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.
专题：
几何综合题.
分析：
1
（1）作辅助线，连接OC根据切线的性质，OCLPC.根据PC=PFOC=OA可得：
/PCF=/PFC/OCF2OAC
在Rt△FHA中，可得：
/FHA=90，故AB丄ED
（2）根据AD=DE?
DF,可得：
△FAD^AAED/FAD=/DEA从而可知：
AD=CD，即D在劣弧AC的中点.
解答：
（1）证明：
连接OC•••PC为OO的切线，
•••/OCP2FCP+ZOCF=90,
•/PC=PF
•••/PCF=ZPFC,
•••OA=OC
•••/OCA2OAC
•••/CFP=ZAFH
•••/AFH+ZOAC=90,
•••/AHF=90,
即:
AB丄ED
（2）解：
D在劣弧AC的中点时，才能使AD=DE?
DF.
连接AE.若A[5=DE?
DF,可得：
△FAMAAED•••/FAD=/DEA
即D为劣弧AC的中点时，能使AD2=DE?
DF.
10.已知：
如图，在半径为4的OO中，ABCD是两条直径，M为0B的中点，CM的延长线交OO于点E,且EM>MC连接DEDE=—.
（1）求证：
AMPMB=EMMC
（2）求sin/EOB的值；
（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12求证：
直线PE是OO的切线.
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质.
专题：
计算题；压轴题.
分析：
（1）连接AE,BC,由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两
三角形相似，得到三角形AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后即可得证；
（2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长，根据所求EM的长与半径相等判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF丄0M根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OFEF的长,进而求出sin/EOB的值；
（3）由EO=EMEF垂直于OM得到F为OM的中点，由M为OB中点，求出OM的长，可得出OF的长，由
OB+BP=OP得出OP的长，利用OP-OF求出FP的长，再由EF的长，利用勾股定理求出EP的长，在三角形OEP中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP为直角三角形，可得/OEP为直角，即EP垂直于OE
•••/AEC与/MBC都为「'所对的圆周角,
•••/AECNMBC又/AME=BMC（对顶角相等），
•••△AM0ACMB
•AMCM=EMMB即AMPMB=EMMC
（2）如图，TDC为OO的直径，
•DEIEC,
tDC=8DE^j,
•EC=「丄：
=“-_[=,
设EM=x由于M为OB的中点，
•BM=2AM=6
•AMPMB=5?
（7-x）,即6X2=x（7-x）,
2
整理得：
x-7x+12=0,解得：
xi=3,X2=4,
•/EM>MC•EM=4
•/OE=EM=4
•△OEM为等腰三角形，
过E作EF±OM垂足为F,贝UOF=OM=1
2
•EF=「〔]J~~="，
•sin/EOB=」';
4
（3）在Rt△EFP中，EF=下,PF=FB+BP=3+12=15
根据勾股定理得：
EP=；订二&.話=4=,
又OE=4OP=OB+BP=4+12=16
_22_2
•OE+EP=16+24O=256,OP=256,
•oE+eP^oP,
•/OEP=90,
贝UEP为圆O的切线.
点评：
此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：
有点连接此点与圆心证直线与半径垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径.
11.（2012?
临沂）如图，点A、BC分别是OO上的点，/B=60°,AC=3CD是OO的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC
（1）求证：
AP是OO的切线；
（2）
求PD的长.
AOC的度数,又由OA=OC即可求得/OAC
考点：
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形.
与/OCA勺度数，禾U用三角形外角的性质，求得/AOP勺度数，又由AP=AC利用等边对等角，求得/P,则
可求得/PAO=90，则可证得AP是OO的切线；
（2）由CD是OO的直径，即可得
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