圆和相似结合初三.docx

1、圆和相似结合初三圆和相似(初三)一.解答题(共18小题)1.( 2012?铜仁地区)如图，已知O O的直径AB与弦CD相交于点E, AB丄CD, O O的切线BF与弦AD的延长线相交 于点F.(1)求证:CD/ BF;(2)若O O的半径为5, cos / BCD=，求线段 AD的长.52.(2013?河东区一模)如图，已知 CD是O O的直径，ACL BC,垂足为C,点E为圆上一点，直线 BE、CD相交于 点 A,且/ A+2/ AED=90 .(I)证明：直线 AB是O O的切线；(H)当 BC=1, AE=2 求 tan / OBC的值.3.(2011?湛江)如图，在 Rt ABC中，/

2、 C=90 点D是AC的中点，过点 A, D作O O,使圆心 O在AB上，O O 与AB交于点E.(1)若/ A+Z CDB=90，求证：直线 BD与OO相切；(2)若 AD AE=4: 5, BC=6 求O O 的直径.4.(2012?丰润区一模)如图，已知O O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点 E,过点B作CD的平行线与弦 AD 的延长线相交于点 F,且AD=3 cos Z BCD0.4(1)求证：BF为O O的切线.(2)求O O的半径.(3)(I)求证： ADC ACB(H)如果把直线 CD向下平行移动，如图(2),直线CD交OO于C, G两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4

3、BG=3求越的值.AC6.(2012?德州)如图，点 A, E是半圆周上的三等分点，直径 作AG/ BE交BC于G(1)判断直线AG与O O的位置关系，并说明理由.(2)求线段AF的长.BC=2, AD丄BC,垂足为 D,连接BE交AD于 F,过A7.(1997?湖南)已知：如图， AB是OO的直径，PB切O O于点B, PA交O O于点C,Z APB是平分线分别交 BC, AB于点D、E,交O O于点F,/ A=60,并且线段 AE、BD的长是一元二次方程 x 2- kx+2二=0的两根(k为常数).(1)求证：PA? BD=PB AE;(2)求证：O O的直径长为常数k;(3)求 tan

4、/ FPA 的值.8 (2005?柳州)已知，如图，直线 l与O O相切于点D,弦BC/ l，与直径AD相交于点G,弦AF与BC交于点E, 弦CF与AD交于点H(1)求证：AB=AC(2)如果 AE=6, EF=2,求 AC9.(2006?黄冈)如图，AB AC分别是O O的直径和弦，点 D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O O于点E,交AB于 点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点 P.(1)若 PC=PF 求证：AB丄 ED;2(2) 点D在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD=DE? DF,为什么？10.已知：如图，在半径为4的O O中，AB CD是两条直径，M为OB的中点，CM

5、勺延长线交O O于点E,且EM MC连 接 DE, DE=.(1)求证：AM? MB=EM MCPE是O O的切线.11.(2012?临沂)如图，点 A、B C分别是O O上的点，/ B=60, AC=3 CD是O O的直径，P是CD延长线上的 一点，且 AP=AC(1)求证：AP是O O的切线；(2)求PD的长.P12.(2012?陕西)如图，PA PB分别与O O相切于点 A B,点 M在 PB上，且 OM/ AP, MN丄AP,垂足为 N.(1)求证：OM=AN(2)若O O的半径 R=3, PA=9,求OM的长.13.(2012?东营)如图，AB是O O的直径，AM和BN是它的两条切线

6、， DE切O O于点E,交AM于点D,交BN于点C,(1)求证：OD/ BE(2)如果 OD=6cm OC=8cm 求 CD的长.14.(2013?黄石)如图，AB是O O的直径，AM和 BN是O O的两条切线，E是O O上一点，D是AM上一点，连接 DE 并延长交 BN于点C,且OD/ BE, OF/ BIN(1)求证：DE与O O相切；(2)求证：OF= CD215.(2012?枣庄)如图，AB是O O的直径，弦 CD!AB于点E,过点B作O O的切线，交 AC的延长线于点 F.已知OA=3 AE=2(1)求 CD的长;(2)求BF的长.16.(2012?达州)如图，C是以AB为直径的O

7、O上一点，过 O作OEL AC于点E,过点A作O O的切线交 OE的延长 线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P.(1)求证：PC是O O的切线.(2)若AF=1, OA= 匚，求PC的长.17.(2012?衢州)如图，在 Rt ABC中，/ C=90,Z ABC的平分线交 AC于点D,点0是AB上一点，O O过B、D 两点，且分别交 AB BC于点E、F.(1)求证：AC是O 0的切线；(2)已知AB=10, BC=6求O O的半径r .18.(2012?怀化)如图，已知 AB是O O的弦，OB=4 / OBC=30，点C是弦AB上任意一点(不与点 A B重合)， 连接CO并延长CO交

8、O O于点D,连接AD DB.(1)当/ ADC=18 时，求/ DOB的度数；(2)若 AC=2 二，求证： AC3A OCB(2013?天津)已知直线I与O O, AB是O O的直径，ADL I于点D.(I)如图，当直线 I与OO相切于点C时，若/ DAC=30，求/ BAC的大小； (n)如图，当直线 I与OO相交于点E、F时，若/ DAE=18，求/ BAF的大小.圆和相似结合(初三)参考答案与试题解析一.解答题(共18小题)1.( 2012?铜仁地区)如图，已知O O的直径AB与弦CD相交于点E, AB丄CD, O O的切线BF与弦AD的延长线相交 于点F.(1)求证:CD/ BF;

9、(2)若O O的半径为5, cos / BCD=，求线段 AD的长.5切线的性质；圆周角定理；解直角三角形.压轴题.BF丄AB,又由AB丄CD即可得 CD/(1)由BF是O O的切线，AB是O O的直径，根据切线的性质，即可得BF；(2)又由AB是O O的直径，可得/ ADB=90，由圆周角定理，可得/ BAD* BCD然后由O O的半径为5, cos / BCD=，即可求得线段 AD的长.5(1)证明：T BF是OO的切线，AB是O O的直径， BF丄AB,3分/ CDL AB, CD/ BF;6 分(2)解：T AB是O O的直径，/ ADB=90，7 分TO O的半径5,AB=10,8

10、分/ BAD玄 BCD 10 分4AHcos / BAD=cos/ BCD= ,5AB4AD=cos/ BAD? AB= X 10=8 ,5AD=8.12 分此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意数形结合 思想与转化思想的应用.2.(2013?河东区一模)如图，已知 CD是O O的直径，ACL BC,垂足为C,点E为圆上一点，直线 BE、CD相交于 点 A,且/ A+2/ AED=90 .(I)证明：直线 AB是O O的切线；(H)当 BC=1, AE=2 求 tan / OBC的值.考点：切线的判定.专题：计算题.分析：(I )连接 OE CE,

11、OB,求出BC=BE证出 OEBA OCB推出Z OEBZ ACB=90，根据切线的判定推出即 可;(II )证厶AE3A ACB推出二=小,求出二=丄,解直角三角形求出即可.BC AC BC 2解答:(I)证明：连接 OE CE, OB, 二 匚DC为圆O的直径，/ DEC=90 ,即/ CEB+/ AED=90 ,2/ AED+Z 2/ CEB=180 ,/ ACL BC,/ ACB=90 ,/ A+Z ABC=90 ,/ A+2Z AED=90 ,Z ABC=2/ AEDZ ABC+2/ CEB=180 ,Z ABC+Z CEB+Z ECB=180 ,Z CEB玄 ECBBC=BE在厶

12、OEB OCB中BE=BC-OE=OC ,lob=ob OEBA OCBZ OEBZ ACB=90 ,即 OEL ABAB是O O切线.(H)解： BE=BC=1 AB=2+1=3,在Rt ACB中，由勾股定理得： AC= ； -，” =2匚,Z A=Z A,Z AEOZ ACB=90 , AESA ACB.I = 5BC疋.1= _ = _BC 2?2 ，tan / OBC=_l=- =BC BC 2点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应 用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.3.(2011?湛江)如图，在 Rt ABC

13、中，/ C=90,点D是AC的中点，过点 A, D作O 0,使圆心 0在AB上，0 0 与AB交于点E.(1)若/ A+Z CDB=90，求证：直线 BD与0 0相切；(2)若 AD AE=4: 5, BC=6 求O 0 的直径.考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理.专题：,几何综合题；压轴题.分析：ii(1)连接 0D由Z A=Z AD0进而证得Z AD0Z CDB=90，而证得 BD丄0D(2) 连接DE由AE是直径，得到Z ADE=90，然后利用已知条件可以证明 DE/ BC从而得到厶ADEA ACB接着利用相似三角形的性质得到 AD AC-DE BC,又D是A

14、C中点，由此可以求出 DE的长度，而AD: AE=4： 5,在直角 ADE中，设AD-4x AE-5x,那么DE-3x由此求出x-1即可解决问题.解答：解：（1）连接0D/ 0A=0DZ A=Z AD0又 tZ A+Z CDB=90 ,Z AD0-Z CDB=90 ,Z 0DB=180 -（Z AD0-Z CDB =90,BD丄 0DBD是O 0切线；（2）连接DE （ 7分）/ AE是直径，Z ADE=90，（8 分）又tZ C=90,Z ADE玄 C,tZ A=Z A, ADEA ACB （ 9 分）AD AC=DE BC又t D是AC中点，AD= AC, DE= BC,2/ BC=6 -

15、 DE=3 ( 11 分)/ AD AE=4: 5,在直角 ADE中，设 AD=4x, AE=5x, 那么DE=3xx=1AE=5.点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相 似三角形的判定和性质.解题的关键是连接 OD DE,证明DE/ BC4.(2012?丰润区一模)如图，已知O O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点 E,过点B作CD的平行线与弦 AD 的延长线相交于点 F,且AD=3 cos / BCD=：.4(1)求证：BF为O O的切线.(2)求O O的半径.考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形.分析：(1) 由AB丄C

16、D, BF/ CD可得AB丄BF,又由AB是O O的直径，即可证得 BF为O O的切线；(2)首先连接BD,由AB是O O的直径，可得/ ADB是直角，又由AD=3 cos / BCD=,即可得cos / BAD=,4 AB 4继而求得答案.解答： (1)证明：T AB丄CD BF / CDAB丄 BF,/ AB是O O的直径，BF为O O的切线；(2)解：连接BD,/ AB是O O的直径，/ ADB=90 ,/ BCD=/ BAD cos / BCD=:4cos / BAD=AB 4/ AD=3/ AB=4,O O的半径为2.点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质此题难

17、度适中，注意掌握辅助线的作法, 注意数形结合思想与转化思想的应用.5.（2013?塘沽区二模）如图（1） , AB为O O的直径，C为O O上一点，若直线 CD与O O相切于点C, AD丄CD垂6.(II )解：T AB是O O直径，/ AGB=90 , AG=4 BG=3 由勾股定理得： AB=g=5,四边形ACGB是O O的内接四边形，/ B+Z ACG=180 ,/ ACD+Z ACG=180 ,Z B=Z DCA/ AD丄 DCZ ADCZ AGB ADCA AGB化朮AB，.；丨= ：T=:AC=雨飞点评：本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三

18、角形的性质的应 用，关键是推出 ADSA ACB或 ADCA AGB考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形.专题：计算题；证明题.分析： (1)求出弧AB= MC连 接 DE DE=.(1)求证：AMP MB=EM MC(2)求 sin / EOB的值；(3) 若P是直径AB延长线上的点，且 BP=12求证：直线 PE是OO的切线.考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.专题：计算题；压轴题.分析：(1)连接AE, BC,由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，得到三角形 AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后

19、即可得证；(2) 根据圆周角定理及勾股定理可求出 CE的长，再由相交弦定理求出 EM的长，根据所求 EM的长与半径 相等判断出 OEM为等腰三角形，过 E作EF丄0M根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出 OF EF的长, 进而求出sin / EOB的值；(3)由EO=EM EF垂直于OM得到F为OM的中点，由 M为OB中点，求出 OM的长，可得出 OF的长，由OB+BP=OP得出OP的长，利用OP- OF求出FP的长，再由EF的长，利用勾股定理求出 EP的长，在三角形 OEP中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形 OEP为直角三角形，可得/ OEP为直角，即EP垂直于OE/ AEC与/ MBC

20、都为所对的圆周角,/ AECN MBC 又/ AME= BMC(对顶角相等)， AM0A CMBAM CM=EM MB 即 AMP MB=EM MC(2)如图，T DC为OO的直径，DEI EC,t DC=8 DEj,EC=丄：=“-_ =,设EM=x由于 M为OB的中点，BM=2 AM=6AMP MB=5? ( 7 - x),即 6 X 2=x ( 7 - x),2整理得：x - 7x+12=0 , 解得：xi=3 , X2=4 ,/ EM MC EM=4/ OE=EM=4 OEM为等腰三角形，过E作EF OM 垂足为F ,贝U OF= OM=12EF= J =，sin / EOB=;4(3

21、)在 Rt EFP 中，EF=下,PF=FB+BP=3+12=15根据勾股定理得：EP=；订二& .話=4 =,又 OE=4 OP=OB+BP=4+12=16_ 2 2 _ 2OE+EP=16+24O=256, OP=256 ,oE+ePoP,/ OEP=90 ,贝U EP为圆O的切线.点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定 与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直； 无点作垂线证明垂线段等于半径.11.(2012?临沂)如图，点 A、B C分别是O O上的点，/ B=60 , AC=3 CD是O O的直径，P是CD延长线上的 一点，且 AP=AC(1)求证：AP是O O的切线；(2)求PD的长.AOC的度数,又由 OA=OC即可求得/ OAC考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形.与/ OCA勺度数，禾U用三角形外角的性质，求得/ AOP勺度数，又由AP=AC利用等边对等角，求得/ P,则可求得/ PAO=90，则可证得 AP是O O的切线；(2)由CD是O O的直径，即可得