小学奥数六年级举一反三610.docx
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小学奥数六年级举一反三610
第6讲转化单位“1”
(一)
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”,得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的a/b,乙是丙的c/d,则甲是丙的ac/bd;如果甲是乙的a/b,则乙是甲的b/a;如果甲的a/b等于乙的c/d,则甲是乙的c/d÷a/b=bc/ad,乙是甲的a/b÷a/b=ad/bc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的2/3,丙数是乙数的4/5,丙数是甲数的几分之几?
2/3×4/5=8/15
练习1:
1.乙数是甲数的3/4,丙数是乙数的3/5,丙数是甲数的几分之几?
2.一根管子,第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的1/2,两次共截去全长的几分之几?
3.一个旅客从甲城坐火车到乙城,火车行了全程的一半时旅客睡着了。
他醒来时,发现剩下的路程是他睡着前所行路程的1/4。
想一想,剩下的路程是全程的几分之几?
他睡着时火车行了全程的几分之几?
【例题2】修一条8000米的水渠,第一周修了全长的1/4,第二周修的相当于第一周的4/5,第二周修了多少米?
解一:
8000×1/4×4/5=1600(米)
解二:
8000×(1/4×4/5)=1600(米)
答:
第二周修了1600米。
练习2:
用两种方法解答下面各题:
1.一堆黄沙30吨,第一次用去总数的1/5,第二次用去的是第一次的1又1/4倍,第二次用去黄沙多少吨?
2.大象可活80年,马的寿命是大象的1/2,长颈鹿的寿命是马的7/8,长颈鹿可活多少年?
3.仓库里有化肥30吨,第一次取出总数的1/5,第二次取出余下的1/3,第二次取出多少吨?
【例题3】晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的1/4,第二天看了余下的2/5,第二天比第一天多看了15页,这本书共有多少页?
解:
15÷【(1-1/4)×2/5-1/4】=300(页)
答:
这本书有300页。
练习3:
1.有一批货物,第一天运了这批货物的1/4,第二天运的是第一天的3/5,还剩90吨没有运。
这批货物有多少吨?
2.修路队在一条公路上施工。
第一天修了这条公路的1/4,第二天修了余下的2/3,已知这两天共修路1200米,这条公路全长多少米?
3.加工一批零件,甲先加工了这批零件的2/5,接着乙加工了余下的4/9。
已知乙加工的个数比甲少200个,这批零件共有多少个?
【例题4】男生人数是女生人数的4/5,女生人数是男生人数的几分之几?
解:
把女生人数看作单位“1”。
1÷4/5=5/4
把男生人数看作单位“1”。
5÷4=5/4
练习4:
1.停车场里有小汽车的辆数是大汽车的3/4,大汽车的辆数是小汽车的几分之几?
2.如果山羊的只数是绵羊的6/7,那么绵羊的只数是山羊的几分之几?
3.如果花布的单价是白布的1又3/5倍,则白布的单价是花布的几分之几?
【例题5】甲数的1/3等于乙数的1/4,甲数是乙数的几分之几,乙数是甲数的几倍?
解:
1/4÷1/3=3/41/3÷1/4=1又1/3
答:
甲数是乙数的3/4,乙数是甲数的1又1/3。
练习5:
1.甲数的3/4于乙数的2/5,甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲数的几分之几?
2.甲数的1又2/3倍等于乙数的5/6,甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲乙两数和的几分之几?
3.甲数是丙数的3/4,乙数是丙数的2/5,甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲数的几分之几?
(想一想:
这题与第一题有什么不同?
)
第7讲转化单位“1”
(二)
一、知识要点
我们必须重视转化训练。
通过转化训练,既可理解数量关系的实质,又可拓展我们的解题思路,提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的2/3,乙数是丙数的3/4,甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各是多少?
解法一:
把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的3/4×2/3=1/2,
丙:
216÷(1+3/4+3/4×2/3)=96乙:
96×3/4=72甲:
72×2/3=48
解法二:
可将“乙数是丙数的3/4”转化成“丙数是乙数的4/3”,把乙数看作单位“1”。
乙:
216÷(2/3+1+4/3)=72甲:
72×2/3=48丙:
72÷3/4=96
解法三:
将条件“甲数是乙数的2/3”转化为“乙数是甲数的3/2”,再将条件“乙数是丙数的3/4”转化为“丙数是乙数的4/3”,以甲数为单位“1”。
甲:
216÷(1+3/2+3/2×4/3)=48乙:
48×3/2=72丙:
72×4/3=96
答:
甲数是48,乙数是72,丙数是96。
练习1:
下面各题怎样计算简便就怎样计算:
1.甲数是乙数的5/6,乙数是丙数的3/4,甲、乙、丙三个数的和是152,甲、乙、丙三个数各是多少?
2.橘子的千克数是苹果的2/3,香蕉的千克数是橘子的1/2,香蕉和苹果共有220千克,橘子有多少千克?
3.某中学的初中部三个年级中,初一的学生数是初二学生数的9/10,初二的学生数是初三学生数的1又1/4倍,这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几?
【例题2】红、黄、蓝气球共有62只,其中红气球的3/5等于黄气球的2/3,蓝气球有24只,红气球和黄气球各有多少只?
解法一:
将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“黄气球的只数是红气球的(3/5÷2/3)=9/10”。
先求红气球的只数,再求出黄气球的只数。
红气球:
(62-24)÷(1+3/5÷2/3)=20(只)黄气球:
62-24-20=18(只)
解法二:
将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“红气球的只数是黄气球的(2/3÷3/5)=10/9”。
先求黄气球的只数,再求出红气球的只数。
黄气球:
(62-24)÷(1+2/3÷3/5)=18(只)红气球:
62-24-18=20(只)
答:
红气球有20只,黄气球有18只。
练习2:
1.甲数的2/3等于乙数的5/6,甲、乙两数的和是162,甲、乙两数各是多少?
2.今年8月份,甲所得的奖金比乙少200元,甲得的奖金的2/3正好是乙得奖金的4/7,甲、乙两人各得奖金多少元?
3.商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克,香蕉重量的1/4等于苹果重量的1/3,梨子的重量是200千克。
香蕉和苹果各多少千克?
【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的2/5,甲校的女生数是甲校学生数的3/10,乙校的男生数是乙校学生数的21/50,那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几?
解法一:
把乙校学生数看作单位“1”。
【2/5×3/10+(1-21/50)】÷(1+2/5)=1/2
解法二:
把甲校学生数看作单位“1”。
(5/2-5/2×2150+3/10)÷(1+5/2)=1/2
答:
甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1/2。
练习3:
1.在一座城市中,中学生数是居民的1/5,大学生是中学生数的1/4,那么占大学生总数的2/5的理工科大学生是居民数的几分之几?
2.某人在一次选举中,需3/4的选票才能当选,计算2/3的选票后,他得到的选票已达到当选票数的5/6,他还要得到剩下选票的几分之几才能当选?
3.某校有3/5的学生是男生,男生的1/20想当医生,全校想当医生的学生的3/4是男生,那么全校女生的几分之几想当医生?
【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。
大米运走2/5,面粉运作1/10后,仓库里剩下大米和面粉正好相等。
原来大米和面粉各有多少袋?
解法一:
将大米的袋数看作单位“1”
(1-2/5)÷(1-1/10)=2/32000÷(1+2/3)=1200(袋)2000-1200=800(袋)
解法二:
将面粉的袋数看作单位“1”
(1-1/10)÷(1-2/5)=3/22000÷(1+3/2)=800(袋)2000-800=1200(袋)
答:
大米原有1200袋,面粉原有800袋。
练习4:
1.甲、乙两人各准备加工零件若干个,当甲完成自己的2/3、乙完成自己的1/4时,两人所剩零件数量相等,已知甲比乙多做了70个,甲、乙两人各准备加工多少个零件?
2.一批水果四天卖完。
第一天卖出180千克,第二天卖出余下的2/7,第三、四天共卖出这批水果的一半,这批水果有多少千克?
3.甲、乙两人合打一篇书稿,共有10500字。
如果甲增加他的任务的20%,乙减少他的任务的20%,那么甲打的字数就是乙的2倍,问两人原来的任务各是多少?
【例题5】400名学生参加植树活动,计划每个男生植树20棵,每个女生植树15棵。
除抽出25%的男生搞卫生外,其他的同学都按计划完成了植树任务。
问共植树多少棵?
解:
20×(1-25%)×400
=20×0.75×400
=6000(棵)
答:
共植树6000棵。
练习5:
1.有一块菜地和一块麦地,菜地的一半和麦地的1/3放在一起是13公顷,麦地的一半和菜地的1/3放在一起是12公顷,那么,菜地有多少公顷?
2.师徒两人加工同样多的零件,师傅要10分钟,徒弟要18分钟。
两人共同加工零件168个,如果要在相同的时间内完成,两人各应加工零件多少个?
3.有5元和2元的人民币若干张,其金额之比为15:
4。
如果5元人民币减少6张,则两种人民币的张数相等。
求原来两种人民币的张数各是多少?
第8讲转化单位“1”(三)
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题时,我们往往从题目中找出不变的量,把不变的量看作单位“1”,将已知条件进行转化,找出所求数量相当于单位“1”的几分之几,再列式解答。
二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。
乙筐是甲筐的3/5,从甲筐取出5千克梨放入乙筐后,乙筐的梨是甲筐的7/9。
甲、乙两筐梨共重多少千克?
解:
5÷(5/(5+3)-9/(7+9))=80(千克)
答:
甲、乙两筐梨共重80千克。
练习1:
1.某小学低年级原有少先队员是非少先队员的1/3,后来又有39名同学加入少先队组织。
这样,少先队员的人数是非少先队员的7/8。
低年级有学生多少人?
2.王师傅生产一批零件,不合格产品是合格产品的1/19,后来从合格产品中又发现了2个不合格产品,这时算出产品的合格率是94%。
合格产品共有多少个?
3.某校六年级上学期男生占总人数的54%,本学期转进3名女生,转走3名男生,这时女生占总人数的48%。
现在有男生多少人?
【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的3/8。
后来又买进20根长跳绳,这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的7/12。
这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根?
解法一:
根据短跳绳的根数没有变,我们把短跳绳看作单位“1”。
可以得出原来的长跳绳根数占短跳绳根数的3/(8-3),后来长跳绳是短跳绳的7/(12-7)。
这样就找到了20根长跳绳相当于短跳绳的(7/(12-7)-3/(8-3)),从而求出短跳绳的根数。
再用短跳绳的根数除以(1-7/12)就可以求出这个学校现有跳绳的总数。
即
20÷【7/(12-7)-3/(8-3)】÷(1-7/12)=60(根)
解法二:
把短跳绳看作单位“1”,原来的总数是短跳绳的8/(8-3),后来的总数是短跳绳的12/(12-7)。
所以20÷(12/(12-7)-8/(8-3))÷(1-7/12)=60(根)
答:
这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。
练习2:
1.阅览室看书的同学中,女同学占3/5,从阅览室走出5位女同学后,看数的同学中,女同学占4/7,原来阅览室一共有多少名同学在看书?
2.一堆什锦糖,其中奶糖占45%,再放入16千克其他糖后,奶糖只占25%,这堆糖中有奶糖多少千克?
3.数学课外兴趣小组,上学期男生占5/9,这学期增加21名女生后,男生就只占2/5了,这个小组现有女生多少人?
【例题3】有两段布,一段布长40米,另一段长30米,把两段布都用去同样长的一部分后,发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的3/5,每段布用去多少米?
解:
40-(40-30)÷(1-3/5)=15(米)
答:
每段布用去15米。
练习3:
1.有两根塑料绳,一根长80米,另一根长40米,如果从两根上各剪去同样长的一段后,短绳剩下的长度是长绳剩下的2/7,两根绳各剪去多少米?
2.今年父亲40岁,儿子12岁,当儿子的年龄是父亲的5/12时,儿子多少岁?
3.仓库里原来存大米和面粉袋数相等,运出800袋大米和500袋面粉后,仓库里所剩的大米袋数时面粉的3/4,仓库里原有大米和面粉各多少袋?
4.甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路,甲队筑的路时其他三个队的1/2,乙队筑的路时其他三个队的1/3,丙队筑的路时其他三个队的1/4,丁队筑了多少米?
【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台,其中黑白电视机占1/5,后来又运进一些黑白电视机。
这时黑白电视机占两种电视机总台数的30%,问:
又运进黑白电视机多少台?
解:
630×(1-1/5)÷(1-30%)-630=90(台)
答:
又运进黑白电视机90台。
练习4:
1.书店运来科技书和文艺书共240包,科技书占1/6。
后来又运来一批科技书,这时科技书占两种书总和的3/11,现在两种书各有多少包?
2.某市派出60名选手参加田径比赛,其中女选手占1/4,正式比赛时,有几名女选手因故缺席,这样女选手人数占参赛选手总数的2/11。
问:
正式参赛的女选手有多少人?
3.把12千克的盐溶解于120千克水中,得到132千克盐水,如果要使盐水中含盐8%,要往盐水中加盐还是加水?
加多少千克?
4.东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克,其中梨占水果总数的1/5;下午又运进梨若干千克,这时梨占两种水果总数的2/5,下午运进梨多少千克?
【例题5】一堆煤,运走的比总数的2/5多120吨,剩下的比运走的5/6多60吨,这堆煤原有多少吨?
解:
(120+120×5/6+60)÷(1―2/5―2/5×5/6)=1050(吨)
答:
这堆煤原有1050吨。
练习5:
1.修一条路,第一天修了全长的2/5多60米,第二天修的长度比第一天的3/4多35米,还剩100米没有修,这条路全长多少米?
2.修一条路,第一天修了全长的2/5多60米,第二天修的长度比第一天的3/4少35米,这两天共修路420米,这条路全长多少米?
3.某工程队修筑一条公路,第一天修了全长的2/5,第二天修了剩下部分的5/9又20米,第三天修的是第一天的1/4又30米,这样,正好修完,这段公路全长多少米?
第9讲设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中,常常会遇到一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无解,但仔细分析就会发现,题目中缺少的条件对于答案并无影响,这时就可以采用“设数代入法”,即对题目中“缺少”的条件,随便假设一个数代入(当然假设的这个数要尽量的方便计算),然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆□=()个△。
解:
由第一个等式可以设△=3,□=2,代入第二式得☆=5,再代入第三式左边是12,所以右边括号内应填4。
说明:
本题如果不用设数代入法,直接用图形互相代换,显然要多费周折。
练习1:
1.已知△=○○□□,△○=□□,☆=□□□,问△□☆=()个○。
2.五个人比较身高,甲比乙高3厘米,乙比丙矮7厘米,丙比丁高10厘米,丁比戊矮5厘米,甲与戊谁高,高几厘米?
3.甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货,从甲仓库运60吨到乙仓库,从乙仓库运45吨到丙仓库,从丙仓库运55吨到甲仓库,这时三个仓库的货哪个最多?
哪个最少?
最多的比最少的多多少吨?
【例题2】足球门票15元一张,降价后观众增加一倍,收入增加1/5,问一张门票降价多少元?
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件,实际上观众人数于答案无关,我们可以随便假设一个观众数。
为了方便,假设原来只有一个观众,收入为15元,那么降价后有两个观众,收入为15×(1+1/5)=18元,则降价后每张票价为18÷2=9元,每张票降价15-9=6元。
即:
15-15×(1+1/5)÷2=6(元)
答:
每张票降价6元。
说明:
如果设原来有a名观众,则每张票降价:
15-15a×(1+1/5)÷2a=6(元)
练习2:
1.某班一次考试,平均分为70分,其中3/4及格,及格的同学平均分为80分,那么不及格的同学平均分是多少分?
2.游泳池里参加游泳的学生中,小学生占30%,又来了一批学生后,学生总数增加了20%,小学生占学生总数的40%,小学生增加百分之几?
3.五年级三个班的人数相等。
一班的男生人数和二班的女生人数相等,三班的男生是全部男生的2/5,全部女生人数占全年级人数的几分之几?
【例题3】小王在一个小山坡来回运动。
先从山下跑上山,每分钟跑200米,再从原路下山,每分钟跑240米,又从原路上山,每分钟跑150米,再从原路下山,每分钟跑200米,求小王的平均速度。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200,设一个单程是1200米。
则
(1)四个单程的和:
1200×4=4800(米)
(2)四个单程的时间分别是;
1200÷200=6(分)
1200÷240=5(分)
1200÷150=8(分)
1200÷200=6(分)
(3)小王的平均速度为:
4800÷(6+5+8+6)=192(米)
答:
小王的平均速度是每分钟192米。
练习3:
1.小华上山的速度是每小时3千米,下山的速度是每小时6千米,求上山后又沿原路下山的平均速度。
2.张师傅骑自行车往返A、B两地。
去时每小时行15千米,返回时因逆风,每小时只行10千米,张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米?
3.小王骑摩托车往返A、B两地。
平均速度为每小时48千米,如果他去时每小时行42千米,那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米?
【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米,其中男孩比女孩多1/5,女孩平均身高比男孩高10%,这个班男孩平均身高是多少?
【思路导航】题中没有男、女孩的人数,我们可以假设女孩有5人,则男孩有6人。
(1) 总身高:
115×【5+5×(1+1/5)】=1265(厘米)
(2) 由于女孩平均身高是男孩的(1+10%),所以5个女孩的身高相当于5×(1+10%)=5.5个男孩的身高,因此男孩的平均身高为:
1265÷【(1+10%)×5+6】=110(厘米)
答:
这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4:
1.某班男生人数是女生的2/3,男生平均身高为138厘米,全班平均身高为132厘米。
问:
女生平均身高是多少厘米?
2.某班男生人数是女生的4/5,女生的平均身高比男生高15%,全班的平均身高是130厘米,求男、女生的平均身高各是多少?
3.一个长方形每边增加10%,那么它的周长增加百分之几?
它的面积增加百分之几?
【例题5】狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始追它。
问狗再跑多远,马可以追到它?
【思路导航】马跑一步的距离不知道,跑3步的时间也不知道,可取具体数值,并不影响解题结果。
设马跑一步为7,则狗跑一步为4,再设马跑3步的时间为1,则狗跑5步的时间为1,推知狗的速度为20,马的速度为21。
那么,
20×【30÷(21-20)】=600(米)
练习5:
1.猎狗前面26步远的地方有一野兔,猎狗追之。
兔跑8步的时间狗只跑5步,但兔跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。
问兔跑几步后,被狗抓获?
2.猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出40米,猎狗去追兔子。
已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步,猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等,求兔再跑多远,猎狗可以追到它?
3.狗和兔同时从A地跑向B地,狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离,而狗跑2步的时间等于兔跑3步的时间,狗跑600步到达B地,这时兔还要跑多少步才能到达B地?
第10讲假设法解题
(一)
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件,然后再和已知条件配合推算。
有些题目用假设法思考,能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时,可以假设数量增加或减少,从而与已知条件产生联系;也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样,再根据乘法分配律求出这个分率对应的和,最后依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185,已知甲数的1/4与乙数的1/5的和是42,求两数各是多少?
【思路导航】假设将题中“甲数的1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩大4倍,则变成了“甲数与乙数的4/5的和为168”,再用185减去168就是乙数的1/5。
解:
乙:
(185-42×4)÷(1-1/5×4)=85
答:
甲数是100,乙数是85。
练习1:
1.甲、乙两人共有钱150元,甲的1/2与乙的1/10的钱数和是35元,求甲、乙两人各有多少元钱?
2.甲、乙两个消防队共有338人。
抽调甲队人数的1/7,乙队人数的1/3,共抽调78人,甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥,已知四月份完成总数的1/3多50吨,五月份完成总数的2/5少70吨,还有420吨没完成,第二季度原计划生产多少吨?
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。
如果彩色电视机卖出1/9,则比黑白电视机多5台。
问:
两种电视机原来各有多少台?
【思路导航】从图中可以看出:
假设黑白电视机增加5台,就和彩色电视机卖出1/9后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后,相当于彩色电视机的(1-1/9)=8/9。
(250+5)÷(1+1-1/9)=135(台)
250-125=115(台)
答:
彩色电视机原有135台,黑白电视机原有115台。
练习2:
1.姐妹俩养兔120只,如果姐姐卖掉1/7,还比妹妹多10只,姐姐和妹妹各养了多少只兔?
2.学校有篮球和足球共21个,篮球借出1/3后,比足球少1个,原来篮球和足球各有多少个?
3.小明甲养的鸡和鸭共有100只,如果将鸡卖掉1/20,还比鸭多17只,小明家原来养的鸡和鸭各有多少只?
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个,已知师傅加工零件个数的3/8与徒弟加工零件个数的4/7的和为49个,师、徒各加工零件多少个?
【思路导航】假设师、徒两人都完成了4/7,一个能完成(105×4/7)=60个,和实际相差(60-49)=11个,这11个就是师傅完成将零件的3/8与完成加工零件的4/7相差的个数。
这样就可以求出师傅加工了【11÷(4/7-3/8)】=56个。
即:
师傅:
(105×4/7-49)÷(4/7-3/8)=56(个)
徒弟:
105-56=49(个)
答:
师傅加工了56个,徒弟加工了49个。
练习3:
1.某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台,卖出彩色电视机的2/5和黑白电视机的3/7,共卖出57台。
问:
原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台?
2.甲、乙两个消防队共有336人,抽调甲队人数的5/7、乙队人数的3/7,共抽调188人参加灭火。
问:
甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.学校买来足球和排球共64个,从中借出排球个数的1/4和足球个数的1/3后,还剩下46个,买来排球和足球各是多少个?
【例题4】甲、乙两数的和是300,甲数的2/5比乙数的1/4多55,甲、乙两数各是多少?
【思路导航】甲数的2/5与乙数的2/5的和就是甲、乙两数的2/5,是300×2/5=120,因为甲数的2/5比乙数的1/4多55,所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的1/4与乙数的2/5的和。
乙:
(300×2/5-55)÷(2/5+1/4)=100
甲:
300-100=200
答:
甲数是200,乙数是100。
练习4:
1.畜牧场有绵羊、山羊