高中电路化简1.docx
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高中电路化简1
电路化简
2.4.1、等效电源定理
源与内阻r的串联,如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源
不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。
实际电源r对外电阻R提供电流I为
RrrRr
其中/r为电源短路电流|0，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。
利用电压源与电流源的等效性
阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。
如图2-4-3所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源,
等效电源电动势0等于a、b两点开路时端电压，等效内阻「0等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。
等效电流源定理又叫诺尔顿定理，内容是：
两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的Io等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。
例4、如图2-4-5所示的电路中,
3.0V,1.0V,r0.5,r1.0,R10.0
12121
R4.5,R19.0
34
流出的电流I2；
（2）试用等效电流源定理计算从结点
图2-4-5
B流向节点A的电流丨1。
为一个电压源，求解通过R的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。
解：
（1）设ABCDE等效电压源电动势0，内阻r0，如图2-4-6所示，由
11.5V
R1r1R2R3
r。
AR1R2
R3
电源
0、「0与电源
「2串联，故
等效电压源定理，应有
0.02A
r。
I2v0,表明电流从2负极流出
（2）将A、B两个节点短接，构成等效电流源（丨。
、ro）如图2-4-7所示，由等效电流源定理，o为原电路流经A、B短接后的支路电流。
因为有1、2两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：
若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势
图2-4-7
单独存在时该支路产生的电流之和。
由叠加原理
Io10.35A
riRaR2r2R4
（AR3R2）（r2R4）…ro6.7
riR3R2r2R4
由ro和R的分流关系
IiIoo.14A
roRi
2.4.2、Y—△变换
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的丫型或△，如图2-4-8所示，有时把
丫型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求
I
Y型联接，可使
Y型联接三个端纽的电压
3与△型联接的三个端纽相同。
图2-4-8
R3,,
R2,,
1-Ui2
-U-i
R1R2R2R3R-Ri
RiR2R2R3R-Ri
RiR2R2R3民R
R3
RiR2R2R3R3R|
R2
1,
Ui2
112
尺2
U31
131
R31
Ii
112131
L
U12U31
11
Rl2Rsi
等效即满足：
U12U31
R3U
U12
R2U
U31
Ri2R31
RiR2
R2R3R3Ri
RiR2R2R3R3Ri
在△型电路中
R|2
①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换
R^3Ri
同样将△型电路变换到丫型电路，变换式可由①、②、③式求得：
④、⑤、
R12R23
R2
R2
R23
R31
r?
R3IR—
R3
R2
R23
R31
R2
例5、试求如图2-4-9所示电路中的电流。
分析：
这是包含一个丫型电路和一个△型
电路的网络，解决问题的方向可将左边丫型网络
元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成
解：
将左侧丫型网络换成△型，如图2-4-10
则有
R31
R1R2R31
R1R2
R?
R3
R3R1
RR
R3
R2R3
R3R1
RR
R1
R2R3
R3R1
所示已知
3
3
R12
由图2-4-10,可进一步电路整理为图2-4-11
所示
3
图2-4-9
3
丫型网络元。
图2-4-10
4V
2
图2-4-11
将右侧△型网络元换成丫型网络元同样可求得
，这里不再叙述。
2.4.3、对称性原理
①等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的
点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势
节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），
图2-4-12
也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的
等效性。
例6、用导线连接成如图2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。
求AB间的总电阻。
解：
设想A、B两点上存在电势差UAUB，由于电路的对称性可以知道
D、C、两点的电势都应该介乎Ua与UB的中间，即U（UaUb）/2，所以
两点应是等电势的。
这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。
当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A—D—B，A—C—B，和AB。
于是:
R总0.5（）
②电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两
RUAB
rab.
点间的电压Uab，再由I即可求出等效电阻。
例7、10根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻Rab
由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点
的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相
同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右图2_4_13
电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14
由A、E两点间不同路线等电压的要求，得
Ii2r（I
）r
I2r
31
I
1
所示。
对图中C点和D点，有电流关联
II1I2I
III2I2
解①、②两式得
I1
选择线路AEDB，可得
15.
Ir8
因此，A、B间等效电阻便为
在求x值时，x注意到是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个a对x值毫无影响，即剩余部分仍为x,这样，就可以将原式等效变换为xax，
a0。
所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路
例8如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的,
单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可
认为趋向无穷，取AB边长为a,以下每个三角形的边长图2-4-15
依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大?
从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为Rab/2的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且
电阻是RAB这样的，RABRx，Ra因此
RR/2RR/2
RxRRxRR
RR/2RRx/2
解此方程得到
V7iir-
RabRxR—、71a
33
解题步骤是：
先考虑一支流入或流出系统的电流,
把它看作在给系统充电或
2.4.5、电流叠加法
图2-4-17
求出每一支电流造成的
放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布,分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场
例9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图2-4-17所示。
所有六边形每边的电阻为Ro，求：
（1）结点a、b间的电阻
（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那
么流过de段电阻的电流Ide为多大。
解：
（1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I/3
电流由a流向c，有I/6电流由c流向b。
再假设有电流I由四面八方汇集b点
流出，那么必有I/6电流由a流向c,有I/3电流由c流向bo
理可知
a、
Iac
Icb
|_
3
1_
3
1_
6
l_
2（由a流向c）
丄
2（由c流向
b）
因此，a、b两点间等效电阻
Uab
I
（2）假如有电流I从a点流进网络,
IacR0cb&
IlI4
因为b、d两点关于a点对称，所以
IdeI
debe
2Ia
同理，假如有电流I从四面八方汇集到
g点流出，应该有
最后，根据电流的叠加原理可知
Ide
Ib
11
3IA6IBI66
以上几种方法可实现电路的化简。
其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路
IdeIdeIdeIAI
2
dedede
及求复杂导体和等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻
值，最后只需将R换成C即可。
例10、十个电容为C的电容器按图2-4-17个方式连接，求AB间等效电容
CAB。
解：
将电容全部换成阻值为r的电阻，由“电容分布法”中的例题可知
15
r
8
1
用C代替R,则
1
Cab
15丄
8C
图2-4-17
CAB
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