福建省普通高中届高三学业水平合格性考试数学试题含答案解析.docx
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福建省普通高中届高三学业水平合格性考试数学试题含答案解析
福建省普通高中2022届高三1月学业水平合格性考试数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．下列几何体中，其俯视图可以为圆的是（）
A．长方体B．圆柱C．三棱锥D．正方体
3．
（）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
6．根据防疫要求，需从
名男医生和
名女医生中任选
名参加社区防控服务，则选中的
名都是男医生的概率为（）
A．
B．
C．
D．
7．设
，
满足约束条件
，则
的最大值为（）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（）
A．
B．1C．2D．3
9．已知直线
，
，若
，则实数
（）
A．
B．
C．1D．2
10．不等式
的解集是（）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
12．函数
的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
13．函数
的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
14．已知
，
，
，则a，b，c的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
15．关于函数
有下列四个结论：
①
的图象关于原点对称；
②
在区间
上单调递增；
③
的一个周期为
；
④
在
是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空题
16．若
，则
___________.
17．已知
，
满足
，
，
，则
与
的夹角的余弦值为__________.
18．在等差数列
中，
，则
_________.
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，则
___________.
20．要制作一个容积为
，高为
的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是
元，侧面每平方米的造价是
元，则该容器的最低总造价为___________元.
三、解答题
21．已知等比数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求
．
22．已知圆C：
．
（1）求圆心C的坐标及半径长；
（2）求直线
：
被圆C所截得的弦AB的长．
23．如图，在三棱锥
中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
，求三棱锥
的体积．
24．有人收集了5年中某城市的居民年收入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据：
第
年
1
2
3
4
5
年收入
/亿元
32
33
34
35
36
商品销售额
/万元
25
30
34
37
39
（1）求
，
；
（2）求y关于x的回归方程；
（3）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少?
附：
对于一组数据
，其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
25．已知四个函数：
，
，
，
.
（1）从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；
（2）以上四个中，是否满足其图象与直线
有且仅有一个公共点的函数?
若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
根据并集直接计算即可.
【详解】
因为
，
，
所以
，
故选：
D
2．B
【分析】
根据各选项几何体的结构特征，判断俯视图的形状即可.
【详解】
A：
长方体的俯视图为矩形，不合题设；
B：
圆柱的俯视图是圆，符合题设；
C：
三棱锥的俯视图为三角形，不合题设；
D：
正方体的俯视图为正方形，不合题设.
故选：
B.
3．D
【分析】
根据特殊角的三角函数值求解.
【详解】
由特殊角的三角函数值知
，
故选：
D
4．C
【分析】
根据向量坐标的线性运算求
的坐标.
【详解】
由题设，
.
故选：
C.
5．B
【分析】
根据函数定义域的求法，求得
的定义域.
【详解】
，
所以
的定义域为
.
故选：
B
6．B
【分析】
利用列举法即可求解.
【详解】
解：
将
名男医生记为
，
，
名女医生记为
从
名男医生和
名女医生中任选
名参加社区防控服务，所有可能情况有：
，
，
共
种
选中的
名都是男医生的情况为：
，共
种
所以选中的
名都是男医生的概率为：
.
故选：
B.
7．C
【分析】
作出可行域，利用直线截距的几何意义，数形结合求解.
【详解】
如图，作出可行域，
由
可得
，
由图可知当直线
过点A时，
有最大值，
由
得
所以
，
故选：
C
8．B
【分析】
根据几何槪型的概率公式即可得到结论．
【详解】
解：
正方形的面积
，设阴影部分的面积为S，
随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，
由几何槪型的概率公式进行估计得
，解得
，
故选：
B．
9．D
【分析】
根据两条直线的斜率相等可得结果.
【详解】
因为直线
，
，且
，
所以
，
故选：
D.
10．D
【分析】
根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故选：
D
11．D
【分析】
由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.
【详解】
因为
，
，
所以
.
故选：
D
12．A
【分析】
根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象.
【详解】
由
，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C.
故选：
A.
13．A
【分析】
先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最小值即可.
【详解】
解：
由
，
又函数
的值域为
，
则函数
的最小值为
.
故选：
A.
14．C
【分析】
根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.
【详解】
由题设，
，
，
，又
在定义域上递增，
∴
.
故选：
C.
15．A
【分析】
对于①，由函数的定义域和
，可得函数
是奇函数，再由奇函数的图象性质可判断；
对于②，当
时，
，化简
，根据正弦函数的性质可判断；
对于③，由
，以及函数的周期性的定义可判断；
对于④，令
，解得
，由此可判断.
【详解】
解：
对于①，函数
的定义域为R，且
，
所以函数
是奇函数，所以函数
的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当
时，
，
，所以
，
又因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，故②正确；
对于③，因为
，所以
不是函数
的周期，故③不正确；
对于④，在
时，令
，即
，解得
，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：
①②，
故选：
A.
16．4
【分析】
根据解析式，令
求解即可.
【详解】
因为
，
所以
，
故答案为：
4
17．
【分析】
直接利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：
设
与
的夹角为
，因为
，
，
，所以
，
所以
与
的夹角的余弦值为
．
故答案为：
.
18．2
【分析】
由等差数列性质，得
，问题得解.
【详解】
是等差数列，
，
，
解得
.
故答案为：
2.
19．
【分析】
根据正弦定理求解即可.
【详解】
由
可得
由正弦定理可得
，
解得
，
故答案为：
20．
【分析】
先设容器底面长为
，再将总造价用
表示出来，最后结合基本不等式即可求解.
【详解】
解：
由题知，长方体容器的容积为
，高为
所以长方体容器的底面积为
设该容器底面长为
，则宽为
该容器的
个侧面面积为：
，
，
，
设总造价为
元，则
即
元，当且仅当
，即
时，取等号.
所以该容器的最低总造价为
元.
故答案为：
.
【点睛】
思路点睛：
本题首先要设出长方体底面的长宽，然后将长方体除上底面外其他面的面积表示出来，再由总造价等于总面积乘以每平方米的造价将总造价表示出来，最后结合基本不等式进行求解.
21．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得
的通项公式.
（2）利用
列方程，化简求得
的值.
（1）
设等比数列
首项为
，公比为
，
，
所以
.
（2）
.
22．
（1）圆心
，半径
.
（2）
【分析】
（1）根据圆的标准方程可求得圆心与半径；
（2）由点到直线的距离公式可求得圆心到直线l的距离，再由勾股定理可得弦长.
（1）
解：
因为圆C：
，所以圆心
，半径
；
（2）
解：
圆心
到直线
：
的距离为
，
所以直线
：
被圆C所截得的弦AB的长为
，
所以直线
：
被圆C所截得的弦AB的长为
.
23．
（1）证明见解析；
（2）
.
【解析】
（1）
因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，
所以
又
所以
平面
（2）
因为△ABC和△PBC为正三角形，且
，
所以
又
，
所以正三角形
的面积为
，
所以
.
24．
（1）
，
；
（2）
；
（3）
万元.
【分析】
（1）根据表格数据及平均值的求法求
，
；
（2）由题设最小二乘估计公式求出参数
，即可写出回归方程.
（3）由
（2）所得回归方程估计
时的
值即可.
（1）
由表格数据，
，
.
（2）
由题设，
，
，故
，
由
（1）知：
，
∴y关于x的回归方程为
.
（3）
由
（2）知：
时，
万元.
25．
（1）答案见解析；
（2）存在
满足条件，理由见解析.
【分析】
（1）由函数奇偶性的定义判断所选函数的奇偶性即可.
（2）根据各函数的解析式，结合单调性、值域判断它们与
的交点情况即可判断是否存在满足条件的函数.
（1）
且定义域为
，
为奇函数；
且定义域为R，
为奇函数；
且定义域为R，
为奇函数；
且定义域为R，
为偶函数.
（2）
对于
：
当
时，
在
上递减，
上递增且最小值
，而当x<0时函数值恒为负数，故其与
有两个公共点，不合题设；
对于
：
，易知
在R上递增且值域为
，故其与
没有公共点，不合题设；
对于
：
根据对数型复合函数的单调性知：
在R上递增且值域为
，故其与
有且仅有一个公共点，符合题设；
对于
：
，故其与
没有公共点，不合题设；
综上，存在符合要求的函数
.
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