3
匀减速追匀加速
若△x>x0,则相遇两次，设t1时刻△x仁x0,两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇
1表中的△x是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移;
2xo是开始追及以前两物体之间的距离；
3t2-to=to-t1；
4Vi是前面物体的速度，V2是后面物体的速度•
二、相遇问题
这一类：
同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题•
第二类：
相向运动的物体，当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇•
解此类问题首先应注意先画示意图，标明数值及物理量；然后注意当被追赶的物体做匀
减速运动时，还要注意该物体是否停止运动了•
求解追及问题的分析思路
（1）根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系.
（2）通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式•追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同.
（3）寻找问题中隐含的临界条件•例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等
时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等.利用
这些临界条件常能简化解题
过程.
（4）求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次
函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解.
相遇问题
相遇问题的分析思路：
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置
坐标相同.
（1）列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系.
（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系.
（3）寻找问题中隐含的临界条件.
（4）
与追及中的解题方法相同.
【例1】物体AB同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离.
【解析一】物理分析法
A做UA=10m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运
动•根据题意，开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B
的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小；A、B间距离有最大值的临界条
件是UA=UB.①
设两物体经历时间t相距最远，则ua=at②
把已知数据代入①②两式联立得t=5s
在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为
Sa=uAt=10X5m=50m
1212
Sb=at=x2X5m=25m
22
A、B再次相遇前两物体间的最大距离为
△Sm=Sa—sb=50m—25m=25m
【解析二】相对运动法
因为本题求解的是A、B间的最大距离，所以可利用相对运动求解•选B为参考系，则A
相对B的初速度、末速度、加速度分别是uo=10m/s、ut=ua—ub=0、a=—2m/s.
22
根据ut—u0=2as.有0—10=2X（-2）xSab
解得A、B间的最大距离为Sab=25m.
【解析三】极值法
11
物体A、B的位移随时间变化规律分别是Sa=10t,Sb=2at2=2x2Xt2=t5.
路分析.
（2）相对运动法：
巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系.
（3）极值法：
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若△>0,即有两个解，说明可以相遇两次；若厶=0,说明刚好追上或相碰;若△<0,说明追不上或不能相碰.
（4）图象法：
将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解.
拓展
如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的U—t图象，由图象可以看出（〕
A.这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末
B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末
C.两物体相距最远的时刻是2s末
D.4s末以后甲在乙的前面
【解析】从图象可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻，从0~2s,乙追赶甲
【答案】B
的加速度大小减小为原来的一半。
求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程，再根据两车加
速度的关系，求出两车路程之比。
【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻to）的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为S1,加速度为a,在第二段时间间隔内行驶的路程为S2，由运动学公式有，
v=ato①
12
S1=2ato②
12
S2=vto+22ato③
设汽车乙在时刻to的速度为v',在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为S1‘、S2‘，
同理有，
v'=2ato④
12
S1'=22ato⑤
12
S2'=v'to+2ato⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s',则有
s=Si+S2⑦
s'=S1'+S2'⑧
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为
57
--
S/
-S
【实战演练2】（2011安徽省级示范高中名校联考）甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公
路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的v—t图象如图所示，关于它们的运
动，下列说法正确的是（）
A.甲车中的乘客说，乙车先以速度vo向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动
B.乙车中的乘客说，甲车先以速度vo向西做匀减速运动，后做匀加速运动
C.根据v—t图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到vo时，两车恰好平齐
D.根据v—t图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到V0时，两车恰好平齐
【答案】A
【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度vo向西
做减速运动，速度减为零之后，再向东做加速运动，所以A正确；乙车中的乘客以乙车为参
考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度vo向东做减速运动，速度减为零之后，再向西
做加速运动，所以B错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以CD错
误.
考点2相遇问题
相遇问题的分析思路：
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置
坐标相同.
（1）列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系.
（2）利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系.
（3）寻找问题中隐含的临界条件.
（4）与追及中的解题方法相同.
【例2】甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度
为ai的匀加速直线运动，乙在后做初速度为uo,加速度为a2的匀加速直线运动，则（）
A.若ai=a2,则两物体可能相遇一次
B.若ai>82,则两物体可能相遇二次
C若ai<82,则两物体可能相遇二次
D.若ai>比，则两物体也可相遇一次或不相遇
【解析】设乙追上甲的时间为t，追上时它们的位移有u0t+282t2—282t2=s
2
上式化简得：
（8i—82）t—2uot+2s=0
解得：
t=
2uo±4uo—8s（ai—a2）
2（ai—a2）
（1）当ai>a2时，差别式“△”的值由uo、ai、a?
、s共同决定，且△<2uo,而△的值可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项B、
D正确.
丄一2uo±十4uo—8s（a2—ai）t=:
显然，△一定大于零.且△>2uo,所以t有两解.但t不能为负值，只有一解有物理意
义，只能相遇一次，故C选项错误.
⑶当ai=a2时，解一兀一次方程得t=s/uo,—定相遇一次，故A选项正确.
【答案】AB、D
v—t图像分析
【点拨】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程△判别式.本题还可以用求解。
拓展
AB两棒均长im,A棒悬挂于天花板上，B棒与A棒在一条竖直线上，直立在地面，A棒
的下端与B棒的上端之间相距2Om，如图i-5-3所示，某时刻烧断悬挂A棒
的绳子，同时将B棒以Vo=2Om/s的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计
，且g=iOm/s2，试求:
（1）A、B两棒出发后何时相遇？
（2）A、B两棒相遇后，交错而过需用多少时间？
【解析】本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。
由于A、B两棒均只受重力作用，则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有
初速度导致的相对运动，故选A棒为参考系，则B棒相对A棒作速度为vo的匀速运动。
则A、B两棒从启动至相遇需时间行驶时，制动后40s停下来。
现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？
【错解】设汽车A制动后40s的位移为Xi,货车B在这段时间内的位移为X2。
据_vJ。
得车的加速度a=-0.5m/s
_t
又xi=vota^得
2
12
x1=2040（_0.5）402=400m
2
X2=V2t=640=240m
X2=V2t=6X40=240（m）
两车位移差为400-240=160（n）
因为两车刚开始相距180m>160m
所以两车不相撞。
【错因】这是典型的追击问题。
关键是要弄清不相撞的条件。
汽车A与货车B同速时，两车
位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。
当两车同速时，两车位移差大
于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，贝怀相撞。
而错解中的判据条件错误导致错解。
【正解】如图1-5汽车A以V0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。
据加速度公
*
式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞。
据v2_v°2=2ax可求出A车减为与B车同速时的位移
22
V-V
.0
图1-5-4v/m•丰
此时间t内b车的位移速S2,则t
a
X2=V2t=628m=168m
△x=364-168=196>180（m）
所以两车相撞。
【点悟】分析
追击问题应把两物体的位置关系图画好。
如图1-5-4，通过
通过的最多距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。
撞。
从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最多的时刻，因此不能作为临界条件分析。
【实战演练11（2011•长沙模拟）在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时
同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：
汽车x=10t-t2,自行车x=5t,（x
的单位为mt的单位为s），则下列说法正确的是（）
A.汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动
B.经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后
C.在t=2.5s时，自行车和汽车相距最远
D.当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5m
【答案】选C.
【详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知，汽车做匀减速运动，V0=10m/s,a=-2
m/s2，自行车做匀速直线运动，v=5m/s，故A、B错误•当汽车速度和自行车速度相等时，
相距最远•根据v=v0+at，t=2.5s，C正确•当两车位移相等时再次经过同一位置，故10t'
-t'2=5t',解得t'=5s,x=25m，故D错误•
【实战演练2】（2011•东北三校联考）从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体I、
n的速度一时间图象如图所示.在o〜12时间内，下列说法中正确的是（）
a.i物体所受的合外力不断增大，n物体所受的合外力不断减小
B.在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远
C.
t2时刻两物体相遇
【答案】B
【详解】速度—寸间图象中I物体的斜率逐渐减小，即I物体的加速度逐渐减小，所以
I物体所受合外力不断减小，A错误；在0〜时间内，n物体的速度始终大于I物体的速
度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，B正确；在速度
—寸间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，I物体速度图线所围面积大于
n物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，c、D错误.
◊限时基础训练（20分钟）
1.如图1-2-6所示，某同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图
片，观察图片，能大致反映该同学运动情况的速度一时间图象是图1-2-7中的（）
1•答案：
C.解析：
从图片可知，该同学在连续相等时间间隔内位移先逐渐增多，说明
先向右做加速运动；后向左连续相等时间内位移相等，说明后向左做匀速运动•选项C正确.
2.
两辆游戏赛车在a、b在两条平行的直车道上行驶.t=0时两车都在同一计时线处,此时比赛开始•它们在四次比赛中v-t图像的如图1-2-8图像所示•哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（AC）
图1-2-8
3•—质点从A点沿直线向B点运动，开始时以加速度a1加速运动到AB之间的某一点
C,然后接着又以加速度a2继续作匀加速运动到达B点.该质点若从B点以加速度a2运动
到C点，接着又以加速度a1继续加速运动到达A点，则两次运动的过程中（）
A.由于相同的路段加速度相同，所以它们所用的时间相同
B.由于相同的路段加速度相同，所以它们的平均速度大小相同
C.虽然相同的路段加速度相同，但先后的加速的加速度顺序不同，所用的时间肯定不同
D.由于相同的路段加速度相同，它们的位移大小相同，所以它们的末速度大小相同
3•答案：
CD.解析：
两次运动的在每段相同的路径上加速度相同，说明两次的末速度
相同，位移的大小相同，禾U用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像如答图1-2-1,
就可以判断出正确的选项.
C点的速度为Vd，第一次的末速度为
设质点第一次到达
有
Vc1-2a〔SAc
1-2-1
vB-Vcj=2a2ScB
2
vb=2a1SAc'2a?
ScB
①
冋理，在第二次运动中有
2
vC22a2sBC
22c
va7c2二2a〔ScA
vA=2a1sAC'2a2sCB
②
比较①②两末速度的大小，
它们是相等的.
由于两段路段上的加速度不同，所以假设
ai>a2,分别作出质点在这两次运动中的速率
—时间图像，如图所示，由图像与时间轴所围的面积相等，显然，第一次所用的时间少一些.故
C、D正确.
4.甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶.甲、乙两车的速度分
别为v01=40m/s和v02=20m/s，当两车距离接近到s=250m时两车同时刹车，已知两
车刹车时的加速度大小分别为ai=1.0m/s2和a2=1/3m/s2，问甲车是否会撞上乙车
4.答案：
（略）.解析：
作两车的运动草图和v-t图像如答图1-2-2、1-2-3所示.从图中可看出：
在0〜t秒即两车速度相等之前，后面的甲车速度大，追得快；前面的乙车速度小，
“逃”得慢.两车之间的距离越来越小，而在t秒后，后面的车速度小于前面车的速度.可
见，速度相等时，两者距离最近.此时若不会相撞，那么以后一定不会相撞，由此可知速度
相等是解决本题的关键.
a1=1m/s
2
►v01=40m/
a2=1m/s2*
3
v02=20m/_
乙
s一
答图1-2-2
答图1-2-3
两车速度相等时有v01-a,=v02-a2t，得t=30s
故在30s内，甲、乙两车运动的位移分别为
1212
卸二v01ta1t750m,s乙二v02ta2t450m
22
因为s乙•s二700m:
:
:
s甲，故甲车会撞上乙车.
5.一物体做直线运动，速度图象如图2所示，设向右为正方向，则前4s内（
A.物体始终向右运动
B.物体先向左运动，后2s开始向右运动
C.前2s物体位于出发点左方，后2s位于出发点的右方
2中能够正确反映该同
D.在t=2s时，物体距出发点最远
5•答案：
BC•解析这是粤教版上的一道习题，解此题时学生选择A或C较多.学生
依据图线随时间斜向上倾斜，认为物体向正方向运动，错误地选择选项A;学生依据2s前
速度是负，2s后速度为正，且前2s是加速运动，后2s也是加速运动，即速度是由-5m/s
一直加速到5m/s，因为速度越来越大，所以认为前2s物体位于出发点左方，后2s位于出
发点的右方而错选选项C.正确解答此题的对策是抓住：
物体的运动方向是由速度的正负决定的，物体的位置是由位移决定的，纵轴正、负号只表示速度的方向，前2s物体是向左做减
速运动，后2s是向右做加速运动，物体在某段时间内的位移等于这段时间内所对应的v-t
图线所围的图形的面积的代数和，因此2s末物体位于出发点最左端5m处，从2s末开始向
右加速运动，在4s之前，物体一直位于出发点左侧，在4s末回到出发点，所以正确的选项
是BC.
6.某物体运动的v-t图象如图1所示,则物体运动情况是（C）
A.往复来回运动
B.匀变速直线运动
C.朝同一方向做直线运动
D.无法判断
7•某同学从学校匀速向东去邮局，邮寄信后返回学校•在下图
学运动情况的S-t图应是（C）
Sa>Sb=Sc,则b与C的平均速
象，贝y0~to时间内（）
A.三质点的平均速度相等
B.a的平均速度最大
C.三质点的平均速率相等
D.b的平均速率最小
&A（提示：
首先要清楚：
平均速度=位移十时间,
三质点位移相同，则平均速度均相同，而三个质点的路程有率相等，a的平均速率最大）
9.A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图6所示为
两车运动的速度一时间图象，对于阴影部分的说法正确的是（）
A.若两车从同一点出发，它表示B车追上A车前两车的最大距离
B.若两车从同一点出发，它表示B车追上A车前的最小距离
C.
图6
若两车从同一点出发，它表示B车追上A车时离出发点的距离
D.表示两车出发前相隔的距离
9.A（速度相等时，两车间的距离最远，阴影部分表示A比B多走的位移）
如图，足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动，传送带上有一质量
为M=2kg的小木盒A,A与传送带之间的动摩擦因数为尸0.3，开始时，A与传送带之
间保持相对静止。
先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发，以v0=15m/s的速度在传送带上向右运动。
第1个球与木盒相遇后，球立即进入盒中
与盒保持相对静止，第2个球出发后历时△ti=1s/3而与木盒相遇。
求（取g=10m/s2）
（1）第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度时多大？
（2）第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇？
（3）自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少？
（1）设第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为V1,根据动量守恒定律：
mv0-Mv=（mM）w（1分）
代入数据，解得：
V1=3m/s（1分）
（2）设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过to与木盒相
s
遇,则：
t°（1分）
v
设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a，根据牛顿第二定律：
"（mM）g=（mM）a得：
a="g=3m/s2（1分）
设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带相同的速度的时间为t2,则：
Av
右二t2=1s（1分）
a
故木盒在2s内的位移为零（1分）
依题意：
s=V0Lt|•v（=t*=t|-鮎-t2—t0）（2分）
代入数据，解得：
s=7.5mt°=0.5s（1分）
（3）自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中，传送带的位移为S,木盒的位移为S1,则：
S=v（^t：
*-t0）=8.5m（1分）
（1分）
s=v（:
t也一^-t2-t0）=2.5m
故木盒相对与传送带的位移：
=s=S—3=6m
（2分）
则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是：
Q=f=s=54J
二、课后练习
1.如图1-4-19所示（t轴单位为s）,有一质点，当t=0时从原点由静止开始出发，沿直线运动，则：
A.
图线斜率的绝对值为
t=0.5s时离原点最远
B.t=1s时离原点最远
C.t=1s时回到原点
D.t=2s时回到原点
1.BD解析：
v-t图线与时间轴（t轴）围成的几何图形的面积等于位移的大小，t轴上方图形面积为正值，下方图象面积为负值，分别表示位移的方向•一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和.
2.某物体沿直线运动的v-t图象如图1-4-20所示，由图可看出物体
A.沿直线向一个方向运动
B.沿直线做往复运动
C.加速度大小不变
D.做匀变速直线运动
2.BC解析：
一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和.
加速度大小.
3.汽车甲沿
升级会员 