以数的运算为例谈整体把握小学数学课程.docx
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以数的运算为例谈整体把握小学数学课程
以数的运算为例谈整体把握小学数学课程
《小学教学（数学版）》2010年第78期以数的运算为例谈整体把握小学数学课程张丹我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了很多优秀的成绩和宝贵的经验。
但长期以来，一些人对运算能力的理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能（即算得又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求越来越高。
在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？
当然，基本的运算技能是必需的，但基本的标准是什么？
学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？
还有哪些有价值的内容？
实际上，数的运算和运用运算解决问题是具有天然联系的，因此《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）将其整合在一起。
于是，数的运算就包括如下几条主线：
第一，数的运算的意义及四则运算之间的关系；第二，获得运算的结果（包括估算、精确计算）；第三，运算律及运算性质；第四，运用运算解决实际问题。
限于文章篇幅，本文将集中阐述获得运算的结果中有关精确计算的内容。
进一步，我和我的团队认为，精确计算的学习又可以细分为四条线索：
第一，计算方法的探索及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟练；第四，使用计算器进行计算。
本文将集中于前三条线索。
一、计算方法的探索及算理的理解曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只要让学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要时间去讨论这些法则背后的道理（即算理）。
那么，算理是否重要？
什么是算理？
学生想法中所呈现的算理又是什么呢？
我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理呢？
1.重视算理的教学。
这里首先需要明确的是算理、法则的内涵以及二者的关系。
算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。
运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。
所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。
由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。
不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。
为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个例子。
我们在2009年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：
题目1：
计算4225。
（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则）题目2：
如图1，在3412的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（）。
A．10个34的和B．12个34的和C．1个34的和D．2个34的和（本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义）设计题目2是源于笔者与学生的一次谈话。
在笔者与一名三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确结果。
笔者进一步追问竖式的第二层（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的，他快速地回答道：
是老师告诉的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。
这次简短的谈话引起了笔者的深思：
到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？
在2009年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生在题目1和题目2上的得分率分别是70.10%和43.09%，二者有显著性差异。
与题目1相比，题目2的得分率低可能是由于学生对这类题目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特别是本题错误地选择选项C的人数最多更加说明了这一点。
因为在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习简化的竖式（即箭头所指的那一步，要把340末尾的0写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0省略掉）。
这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。
再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生老师让我们这么做就这么做的想法就不足为奇了。
所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法则进行内化，重视运算道理的教学。
同时也建议在教材和教学中无须强调虚0，更不必去掉竖式第二层末尾的0。
2.了解学生想法中所蕴涵的道理。
在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算理。
为此，我们不妨来看一个课堂教学片段[1]：
【案例】关于0.30.2的讨论。
课上通过一个问题情境长0.3米、宽0.2米的长方形花坛的面积是多少，引出了0.30.2=？
。
首先，学生进行了猜想。
一部分学生认为是0.6，另一部分学生认为是0.06，产生了分歧。
教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言踊跃。
生1：
（用画图表示0.30.2=0.06，如图2）我是这样想的，宽是0.2米，不到1米，所以结果不会是0.3（平方米）。
我用百格图，这里的0.3米表示花坛的长，0.2米表示花坛的宽，表示面积的这些方格是6个，是6个0.01，占百格图的百分之六，所以0.3乘0.2的结果是0.06。
生2：
我还有一种方法。
把0.2看成2，把0.3看成3，2乘3得6。
因为我刚才扩大了100倍，所以现在要缩小为它的百分之一，得0.06。
生3：
我没有那么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，2乘0.3得0.6，再把0.6缩小到原来的十分之一，就是0.06。
生4：
我用竖式。
02与3相乘得06，任何数和0相乘都得0，所以02和0相乘得00，加起来就是0.06。
（生4边说边写出了下面的竖式）0.3米0.2米图2生4的方法得到同学们热烈的掌声。
随即有同学问：
为什么不把小数点加在0和6之间呢？
生5：
我们学过两位数乘两位数了，我看成是03乘02，得数应当是006。
小数点点在哪儿呢？
我认为不会是00.6，如果小数点前有两个0，前边的0就没有意义了，小数点前只能是一个0，所以是0.06。
生6：
0.3乘0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的两份。
0.3的十分之一是0.03，也就是一份是0.03，两份就是0.06。
生7：
0.2不到1，如果是1乘0.3，得0.3，而0.2比1小，所以应当是比0.3还小。
仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴素的道理。
比如生2和生3的方法都是运用积的变化规律将小数乘小数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；生6的方法则运用了小数的意义和分数的意义，也得到了结果；生1的方法看起来有点麻烦耽误不少时间，但这个方法借助百格图，直观地呈现了乘法的意义，即先得到6个小格（实际上就是算32），再分析每个小格是0.01（实际上就是算0.10.1），6个小格就是0.06。
这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。
实际上算法多样化不仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找合乎道理的运算方法的过程。
这些多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的算理，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同（如生2和生6的方法），对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。
在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。
以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了共通的策略。
第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索往往体现了学生对于算理的初步理解。
在此基础上，教师组织学生对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。
第二，作为教师，要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。
第三，要鼓励学生运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行。
实际上，上面几位学生在阐述自己的方法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。
3.通过多种方式帮助学生理解算理。
为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。
常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。
其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。
为了更好地帮助大家理解，不妨举两个教材中的例子。
如图3，在小数除以整数的运算中，法则的关键一步是商的小数点要和被除数的小数点对齐。
为了帮助学生理解这样做的道理，人教版教材首先运用了测量单位的原型帮助学生理解，然后又联系小数的意义和表示方法，帮助学生理解关键的一步24个十分之一，除以4后结果为6个十分之一，所以结果为0.6。
如图4，在分数乘分数的运算中，北师大版教材运用了长方形模型帮助学生理解：
实际上是将1平均分成了16份，取了其中的3份，从而是分母乘分母、分子乘分子。
关于直观模型的重要性，详见另文《例谈直观模型在计算教学中的作用》。
二、计算法则的内化与形成有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程计算法则（或个体使用方法）的内化与形成。
即当学生经历了算法多样化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对众多算法中自己选择使用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化，然后才是进一步的巩固练习。
徐斌在论述算理直观与算法抽象这一对基本矛盾时指出：
在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰。
但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中时，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算的。
笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成动作思维形象思维抽象思维图3图4的发展过程。
为了说明这一对基本矛盾，他还列举了142的教学片段：
首先出示情境图两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14个。
让学生提出问题：
一共摘了多少个桃子？
并列出乘法算式142。
接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。
有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。
然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。
老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（如图5①）：
同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。
最后，老师引导学生观察这种初始竖式，通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（如图5②），再让学生运用简化竖式进行计算练习。
在上面的案例中，学生借助多种手段计算出结果，并理解了算理后，教师很快讲解并要求学生掌握简化的竖式，从而从算理的直观立即进入了算法的抽象。
徐斌建议：
形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题。
他还给出了如下的教学片段：
（在学生理解了142的初始竖式后）师：
我们一起来用这样的竖式计算。
（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）师：
我们来看黑板上的竖式。
这些算式有什么共同的地方?
生1：
它们都是两位数和一位数乘。
①②图5生2：
第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。
生3：
我发现第二次乘下来都得整十的数。
生4：
我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。
师：
大家观察得都很仔细，那么你觉得像这样写怎么样?
生1：
比较清楚。
生2：
清楚是清楚，不过有点繁琐，有些好像不要写两次的。
师：
是啊，要是能简单些就好了。
生3：
其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。
师：
哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程）师：
老师也来写一次。
你们看这样写是不是比原来简单多了?
生：
（齐）是!
师：
我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。
刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？
（请原来板演的三名学生上台，其余学生也动手将初始写法改成简单写法）在上面的案例中，在引出了初始竖式后，教师没有马上进一步讲解简化的竖式。
因为后者是对前者的压缩，如果学生没有对前者的切实理解和内化，往往实现不了这种压缩，从而造成困难。
于是，教师鼓励学生运用初始竖式再做一些题目，在此过程中进一步理解算理，同时对计算方法进行内化。
在此基础上，再引入简化的竖式，并通过比较体会它的好处。
这一过程体现了让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
笔者虽然不完全同意使用算理直观和算法抽象的词语，但对上述观点是赞同的，甚至建议教师不一定在一节课上就让学生实现初始竖式的压缩，而是充分建立初始竖式与学生算法多样化之间的联系，真正使学生理解算理，内化计算方法。
总之，在算法多样化的基础上，教师既要沟通各种算法之间的联系，凸显算理，又要让学生对常规法则（或者学生个体选择的方法）进行充分内化，然后再进入巩固练习阶段。
三、计算法则的熟练使用熟练一词，并不是说要求学生对于所有的计算法则的使用都必须达到一定的速度，而是指形成必要的计算技能，从而在以后遇到此类计算时，学生能自动地使用法则。
理想的教学是当学生面对精确计算的题目时，能够回忆起法则进行自动的运算，而当询问法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确地加以表达。
那么，如何在新课程背景和要求下，科学地培养学生的运算技能呢？
提出如下几条建议。
1.首先应以《标准》为依据。
《标准》对于学生的计算技能给出了明确要求。
第一，是内容方面的要求。
如对于自然数的笔算，明确规定能计算三位数的加减法，能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法，会进行简单的四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
第二，是对速度的要求。
下表是《标准》给出的评价建议：
学习内容速度要求20以内加减法和表内乘除法口算每分8~10题三位数以内的加减法笔算每分2~3题两位数乘两位数笔算每分1~2题除数是一位数、被除数不超过三位数的除法每分1~2题在《标准》修订时，又明确了100以内加减法口算的速度要求，即每分3~4题。
2.有效利用学生的困难和错误。
谈到科学地培养学生计算技能的问题，不能回避的问题是如何面对学生的困难和错误。
实际上，越来越多的老师对学生的困难和错误采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的原因和积极成分，把困难和错误当成资源来利用。
这里，想再次强调教师要深入了解学生的想法，准确诊断学生困难和错误的原因。
教师不能将学生的困难和错误简单地归为粗心，而要通过访谈等手段了解学生的真实想法。
这里举一个案例（详见本刊2007年第9期《让知识成为学生真正的营养》一文）。
清华大学附属小学的张红老师在教学小数除以小数之前，对学生进行了学前调研，发现学生在计算8.540.7时，27%的学生不能自觉想到将其转化为小数除以整数，67.6%的学生在转化时出现了困难。
特别有意思的是，在随后教师对学生的访谈中，发现了学生在处理商的小数点位置时出现了较大的困难。
一部分学生认为商的小数点应该与被除数的小数点对齐，得到1.22；另一部分学生把被除数和除数同时扩大10倍，将算式转化为85.47并得到答案12.2后，又画蛇添足地将答案的小数点往左移动了一位。
如果教师不了解学生的真正困难，设计有效的活动帮助学生克服困难，学生可能只会机械记住法则。
于是，为了帮助学生克服困难，教师在课堂上让学生探索5.10.3，当出现困难时，教师为学生准备了三道提示问题：
温馨提示1：
铅笔每支0.3元，小红有5.1元钱，她能买几支铅笔？
温馨提示2：
一条彩带长5.1米，如果每0.3米剪成一段，可以剪几段？
温馨提示3：
如图6，5.1里面有多少个0.3，你能圈圈看吗？
在教师的引导下，学生借助生活原型（提示1和提示2）和直观模型（提示3）发现最终的答案应该是17而不是1.7。
图7是利用直观模型的解释：
5.1里面有51个0.1，0.3里面有3个0.1，看5.1里面有多少个0.3，实际上就是看51里面有多少个3，结果为17。
3.合理地设计练习。
要形成一定的运算技能，必要的练习是不可少的。
练习的设计包括练习的题目、练习的形式、练习的数量、练习的时间等的合理安排。
考虑到小学生的认知特点，教师应采取丰富多彩的练习形式，以激发学生的学习兴趣。
比如，可以安排有趣的数学黑洞问题。
在这样的问题中，学生既进行了减法的练习，同时也发现了有趣的规律。
这里要特别强调的是，在练习的同时，教师可以将基本技能的获得与其他思维能力的培养有机结合起来。
图6图7根据运算技能形成的各阶段的特点，教师可以适当地分配练习的次数和时间，并非练习的次数越多、时间越长，练习的效果就越好。
比如，有些教师总结了合理安排练习次数和时间的经验：
我们提出了交错训练，也就是说把计算的练习安排在了平时的每一天，和我们要讲的新知识结合在一起一般来讲，在计算教学的一段时间，讲完算理和算法以后，每天早晨我们会做四到六道计算题，课堂当中可以做一两道题。
这样随着时间的拉长，练习的量会逐渐地减少，比如说在以后就可能是一周练习两到三次，一次一两道题，这样基本一个月下来，错题率就能保证在2％左右。
4.注意对数和运算意义等的深入理解。
学生在计算中的困难和错误往往与其对于数和运算的意义理解不深是有关系的。
比如对于整数加减法的竖式运算，运算的关键是相同计数单位相加减，如果学生对于位值制不理解的话，在计算中就会出现困难。
又如分数运算，在学习分数的加减运算时，学生需要理解分数的度量意义（分数是分数单位的累积）；在学习分数的乘除运算时，学生又需要理解分数的运作意义（如乘32，相当于除以3再乘2）。
因此，一方面，教师要加强对于数的意义和运算意义理解的教学；另一方面，当学生计算出现困难或错误时，教师要注意学生是否理解相应的数和运算的意义。
5.进行必要的研究。
为了科学地培养学生的运算技能，教师还需要进行必要的研究。
比如学生技能形成的主要阶段，学生的常见困难和错误，运算技能的关键点，运算中的重点题目等。
其实，只要教师能做有心人，从教学中的小处入手，以小寓大，会发现日常教学中有许多可以研究的问题。
这里引用张天孝老师的一个研究：
比如，100以内两位数加一位数进位加法共369道题，对进位加法本身来说，这些题的口算训练价值是等同的。
但对后继学习（多位数乘法计算）的作用来说，口算训练价值就不一样。
在多位数乘法计算中，涉及的两位数加一位数进位加法共60道题，占总题量的16％，对这60道题就应增加训练量。
如7487，要用到28＋5、49＋3两道口算题。
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