曲线运动知识点及练习.docx

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曲线运动知识点及练习

知识要点

一、曲线运动：

1．特点：

做曲线运动物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．

2．物体做曲线运动的条件：

物体所受合外力的方向与初速度方向不在同一直线上．它的加速度方向跟它速度的方向不在同一直线上．

说明：

（1）如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动．

（2）如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动．

（3）做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．

（例1， 针对练习1，2）

二、运动的合成与分解：

1．定义：

由分运动求合运动的过程叫运动的合成．即已知分运动的位移、速度和加速度等，求合运动的位移、速度和加速度等的过程．           叫运动的分解，它是运动的合成的逆过程．

2．规律：

运动的合成与分解所遵循的法则是平行四边形定则．

说明：

两个直线运动合成，合运动的性质和轨迹，由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：

（1）两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．

（2）一个匀速直线运动和一个匀变速运动的合运动仍是匀变速运动；二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动．

（3）两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动．

分解运动的关键是，明确那个运动是合运动，那个运动是分运动．物体可能同时参与多个分运动，实际的运动是合运动．

（例2，针对练习3，9）

三、平抛运动

1．定义：

水平抛出的物体只在重力作用下的运动．

2．运动的性质：

加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，它的轨迹是一条抛物线．

3．处理方法：

可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．

4．做平抛运动的物体在空中飞行的时间由竖直高度决定．产生的水平距离由竖直高度和初速度决定．              

5．平抛运动的规律

设平抛运动的初速度为 ，建立坐标系

速度：

水平方向   

      竖直方向   

      合速度的大小 

     合速度的方向 

位移：

水平方向   

      竖直方向   

      合位移的方向 

说明：

做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tamα.做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过从水平抛出到该时刻物体水平位移的中点．

（例3，例4， 针对练习4，5，7）

疑难探究

四、平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx=Vo，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如图5-1-6所示．这一矢量关系有两个特点：

1．任意时刻v的速度水平分量均等于初速度vo；

2．任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，且∆v=∆vy=g∆t ．

五、平抛运动的规律的应用

平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和．

解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点．

（例题5，例题6， 针对练习8）

六、渡河问题

1．过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．

2．船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．

3．要求到达上游确定的某处，应使船的合运动指向该处．

说明

（1）要求渡船沿着河中确定的航线运动时，有两种处理方法：

一是使船的合速度沿着该航线；二是使垂直该航线两侧的分速度互相抵消．

（2）在渡河问题中，当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v＞水速u时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸．此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．如图5-1-8所示，以水速u矢量的末端为圆心，以船速v矢量的大小为半径作一圆，然后过出发点A作这个圆的切线AE，这就是合速度的方向．AE线就是位移最短的航线．这时航向与河岸的夹角

过河时间和航程分别为

七、类平抛运动

在具体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理．用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：

1．等时性：

合运动与分运动经历的时间相等．即同时开始，同时进行，同时停止．

2．独立性：

一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响．

3．等效性：

各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．

例题

【例1】如图5-1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F．在此力作用下，物体以后　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动

C．物体不可能沿曲线Bc运动

D．物体不可能沿原曲线返回到A点

【例2】如图5-1-2所示，直杆ab搁在半径r的固定圆环上以速度竖直向下匀速平动，求直杆ab运动到图示的位置时，杆与环的交点M的速度的大小________________.（已知ab⊥ON,∠MON=θ）

【例3】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是（）

A．速度的增量B．加速度C．位移D．平均速度

【例4】用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图5-1-4）．若已知闪光时间间隔为△t=0.1s，则小球运动中初速度大小为多少？

小球经B点时的竖直分速度大小多大？

g取10m／s2，每小格边长均为L=5cm．

【例5】如图5-1-5所示，MN为一竖直墙面，图中x轴与MN垂直．距墙面L的A点固定一点光源．现从A点把一小球以水平速度向墙面抛出，则小球在墙面上的影子运动应是

A．自由落体运动B．变加速直线运动C．匀速直线运动D．无法判

针对练习

1．关于曲线运动性质的说法正确的是（　）

A．变速运动一定是曲线运动

B．曲线运动一定是变速运动

C．曲线运动一定是变加速运动

D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动

2．麦收时节，农用拖拉机牵拉震压器在麦场上打麦时，做曲线运动．关于震压器受到的牵引力F和摩擦力F1的方向，下面四个图中正确的是（　）

3．如图5－1－14示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（　　）

A．加速拉　　

B．减速拉　　

C．匀速拉　　

D．先加速后减速拉

4．对于平抛运动，下列条件中可确定物体初速度的是（）

A．已知水平位移

B．已知下落高度

C.已知物体的位移

D．已知落地速度的大小

5．将一个小球以速度

水平抛出，要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与水平方向的夹角为α．那么下列说法中正确的是（　）

①若保持水平速度

不变，斜面与水平方向的夹角

越大，小球的飞行时间越长

②若保持水平速度

不变，斜面与水平方向的夹角

越大，小球的飞行时间越短

③若保持斜面倾角

不变，水平速度

越大，小球的飞行时间越长

④若保持斜面倾角

不变，水平速度

越大，小球的飞行时间越短

A．①③　　B．①④　　C．②③　　D．②④

6．一条河宽100m，水流速度为3m／s，一条小船在静水中的速度为5m／s，关于船过河的过程，下列说法正确的是（　）

A．船过河的最短时间是20s

B．船要垂直河岸过河需用25s的时间

C．船不可能垂直河岸过河

D．只要不改变船的行驶方向，船过河一定走一条直线

7．以速度v0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是（）

A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小

B．此时小球的速度大小为

v0

C．小球运动的时间为2v0/g

D．此时小球速度的方向与位移的方向相同

8．正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个．不计阻力则（　）

A．这5个球在空中排成一条直线

B．这5个球在空中处在同一抛物线上

C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变

D．相邻两球的落地点间距离相等

9．如图5-1-15所示，在离水面高为H的岸边，有人以v0的匀速率收绳使船靠岸，当船与岸上的定滑轮水平距离为s时，船速大小是.

10．如图5-1-16所示，某人从高出水平地面h高的坡上水平击出一个高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴．该球被击出时初速度的大小为．

匀速圆周运动知识要点

一、基本概念

1．线速度:

是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：

．

2．角速度:

是描述质点绕圆心圆周运动快慢的物理量,其定义式为：

国际单位为rad/s．

3．周期和频率:

周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为

用周期和频率计算角速度的公式为

.

4．向心加速度:

是描述质点线速度方向变化快慢的物理量,向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为

或

．

5．向心力:

向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度（由此而得名），其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为

或

．方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.

说明：

向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力．如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力．

（例1，针对练习1，4，10）

二、匀速圆周运动:

1．定义：

做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等．

2．特点：

在匀速圆周运动中,线速度的大小不变,线速度的方向时刻改变.所以匀速圆周运动是一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.

3．实例分析

（1）水平转盘上的物体和水平路面上转弯的机车

特点：

摩擦力提供向心力

（2）圆锥摆

特点：

合外力（或绳的拉力的分力）提供向心力

（3）火车拐弯

按设计速度行驶，向心力由重力和支持力的合力提供，否则挤压内轨或外轨．

（例2，针对练习2，3，5，6）

三、一般的圆周运动（非匀速周运动）

不仅速度的方向时刻改变，速度大小也变化．既有向心加速度，又有沿圆周切线方向的加速度．向心力不在是物体受到的合外力，而是物体受到的合外力在半径方向上的分力．

四、离心运动:

1．定义：

做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动．

2．特点：

（1）当F合=

的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.

（2）当F合<

的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动.了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动．

（3）当F合＞

的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势．

【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？

【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（　　）

A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C．当转台转速增加时，C最先发生滑动

D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【例4】质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，如图5-2-3所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？

1．下列关于圆周运动的叙述中正确的是（　）

A．做匀速圆周运动的物体的合外力一定指向圆心

B．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心

C．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心

D．做圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力垂直

2．质量为m的飞机，以速率v在水平面上做半径为r的匀速圆周运动，空气对飞机的作用力的大小等于（　）

A．m

B．m

C．m

D．mg

3．如图5-2-10所示，竖直放置的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量相同的小球P、Q，各自在不同水平面内做匀速圆周运动，则下列关系正确的是（　）

A．线速度VP＞VQB．角速度ωP＞ωQC．向心加速度aP＞aQD．漏斗对小球压力NP＞NQ

4．如图5－2－11，细线吊着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，正确的是（　）

A．重力、绳子的拉力、向心力B．重力、绳的拉力C．重力D．以上说法均

知识要点

一、开普勒定律：

1．开普勒定律内容：

（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；

（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；（3）所有行星的轨道的半长轴R的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等．公式R3/T2=k.

.2．理解：

（1）此处常量k.仅决定于太阳质量，用特例（圆轨道卫星）容易推出其值与行星的质量无关，仅与中心星体的质量有关．

（2）所有的星体运动的轨道都是椭圆，平时为了研究问题的方便，近似看成圆，常把星体的运动按匀速圆周运动处理．

二、万有引力定律

1．内容：

自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们之间距离r的二次方成反比．

2．公式：

，G引力常量，G的标准值为G=6.67259×10-11N·m2/kg2,通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2．

m1,m2是两个物体的质量，r是两个质点之间的距离．

3．万有引力定律适用的条件

严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用．

两个质量分布均匀的球体间相互作用，可用万有引力定律计算，r是两个质点之间的距离是两个球球心间的距离．

两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，r是两个物体质心之间的距离．

4．对万有引力定律的理解：

（1）普适性：

万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一．万有引力常量也具有普适性．卡文迪许通过扭秤装置测得G=6.67×10-11N·m2／kg2，它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量．

（2）相互性：

两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，他们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．

（3）宏观性：

一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义．在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计．

万有引力定律的发现，把地面上物体和天体的运动规律统一起来，打破了天体运动的神秘论，增强了人们认识自然、认识宇宙的信心．

（例1，针对练习1）

三、人造地球卫星和宇宙速度

1．万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力,解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：

说明：

近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．

（例2，针对练习3，4）

2．宇宙速度：

（1）第一宇宙速度：

v=7.9km/s,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．

说明：

“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：

从上式可知，卫星的环绕地球的速度v，跟圆周轨道半径r的平方根成反比，也就是离开地心越远，环绕速度就越小．用火箭把卫星送入高空，沿途必须克服地球引力做功，更多消耗一部分能量，理论计算表明，这些能量再加上卫星运转时所具有的能量，要比发射一个近地卫星需要的能量大得多．所以，第一宇宙速度7.9km／s是在地球表面发射人造地球卫星所需的最小“发射速度”，也是环绕地球做圆周运动的最大“环绕速度”．

（2）第二宇宙速度：

v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．

（3）第三宇宙速度：

v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．

3．地球同步卫星：

它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．（例3，例4，针对练习10）

疑难探究

四、万有引力与重力

1．重力：

重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力）如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）．

图5-3-2

2．天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有

　同样可以推得在天体表面h重力加速度

重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．（例5，针对练习2，11）

五、估算天体的质量和密度

把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据

得：

　　因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．又由

ρ=

可以求出中心星体的密度（例4，例6，针对练习7，9）

　六、同步卫星问题

同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步．

图5-3-3

因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．（例7，针对练习5）

七、能量问题及变轨道问题

只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星（与中心体）的引力势能．离中心星体近时速度大,离中心星体远时速度小.

如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．

发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．（例8，针对练习6，8）八、星球的自转问题

根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．（例9，针对练习12）

例题

【例1】如图5-3-1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2球型空腔后，对位于球心和孔穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

图5-3-1

【例2】已知地球半径R地=6.37×106m，g地=9.81m/s2，试计算在距地面高度为h=2×106m的圆形轨道上卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T．

【例3】两个人造地球卫星，其轨道半径之比R1∶R2=2∶1，求两卫星的

（1）a1∶a2＝？

（2）v1∶v2=？

（3）ω1∶ω2=？

（4）T1∶T2=？

【例4】地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．

（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据和过程；

（2）若已知第一宇宙速度大小为V=7.9km/s，地球半径R=6.4×103km，万有引力常数G=6.67×10－11N·m2/kg2，求地球质量．（保留两位有效数值）

【例5】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？

（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）

【例6】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）

【例7】试根据地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R=6.4×106m，地球自转的周期T=24h估算同步卫星距地面的高度．

【例8】2003年10月15日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的一个焦点是地球的球心，如图5-3-4所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（）

①飞船的速度逐渐增大

②飞船的速度逐渐减小

③飞船的机械能EA=EB

④飞船的机械能EA

图5-3-4

A．②④B．②③C．①④D．①③

【例1】解析：

由于题目中并没有告诉两者之间的距离与球的半径的关系，因此不能把挖去一部分的球看成质点，不能直接利用万有引力定律来计算引力的大小，可设想先将的部分补上，把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．完整的均质球体对球外质点m的引力为

这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和F=F1+F2．

因为半径为R/2的小球的质量

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

【例2】解析：

（1）由

得

　　其中r=R地＋h，由此得线速度

（2）　　

总结以上可以看出，天体运动习题的解决，关键是把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来．

【例3】解析：

在人造卫星的运动中，万有引力提供了所需的向心力，由此根据牛顿定律列出方程，再根据题意找出有关比例即可．

【例4】解析：

（1）设绕地卫星质量为m，因其绕地运行，轨迹半径

与地球半