记区间kk4，x」的长为」k=Xk-兀4，令l（T）=max｛耳：
k=1,2,…，n｝。
作积分和n
为匚n八f（Q3。
假设当l（T）>0时，那么积分和J的极限是I，即k=1
l（m^^lim^f（k^":
k=1，且数I与划分T无关，也与；的取值无关，则称函数f（x）在a,b1黎曼可积，I是在a,b1上的黎曼积分，表示为
I=（R）.f（x）dx。
假设当l（T）—•0时，积分和二n极限不存在，称函数f（x）在a,b】a
上是不可积。
黎曼积分的定义知道：
若函数f（x）在a,b］上黎曼可积，那么f（x）在h,b上必定有界。
换句话说，若函数f（x）在a,b1上无界，则f（x）在!
a,b〕上必
定不是黎曼可积＜
3.2勒贝格积分
利用与黎曼积分类似的思想，从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。
定义2设函数f（X）是a,b]上的有界可测函数，m:
:
：
f（x）...M。
任意给m,M1
—个划分T:
m=y°：
：
：
y_]：
：
：
•••：
：
：
yn=M。
然后考虑集合Ek=｛x：
yk」_f（x）：
：
：
yk｝，
nn
当k=1,2_,n，给勒贝格定义小和s及大和S，s=為yk」mEk，S=為ykmEk，
k=4k=J
则会有infS二sups和0zS-s：
：
：
t（b—a），其中t=max｛yk-yk」：
k=1,2「，n｝。
所以定义函数f（x）在la,b1上的勒贝格积分为infS二sups=（L）&f（x）dx。
由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。
比较
黎曼积分的定义1和勒贝格积分的定义2,会使人们觉得，黎曼积分是对区间la,b1进行划分来思索的，然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。
但这并不是它们真正区分的实质。
因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义L黎曼积分，以下称为3定义。
定义3设f（x）是Rn上的非负可测的简易函数，它在点集A（i=1,2,…，p）上
pp
取值c「f（x）c/A,A二Rn,AjAj-_（i=j）。
假如E是可测集，那么定义
iTi
p
非负可测简易函数f（x）在E上的勒贝格积分为（L）已f（x）dxcix（EAi）。
设
iA
f（x）是ERn上的非负可测函数，我们定义f（x）是E上的勒贝格积分，为
（L）f（x）dx=sup｛h（x）dx:
h（x）是Rn上的非负可测简易函数｝。
若
Eh（x）兰（x）x生E
（L）Ef（X）dx，则称f（x）在E上是勒贝格可积的。
设f（x）是ERn上的可测函数，flx）二maxf（x）,0｝，
f~（x）二maX-f（x）,0｝，如果积分（L）*f—（x）dx中最起码有一个是有限的，则称
（L）Ef（x）dx=（L）jEf^x）dx-（L）!
f"x）dx为f（x）在E上的勒贝格积分；如果上
面式子右边两个积分都有限时，则称f（x）在E上是勒贝格可积的。
从勒贝格积分的定义3可以知道，在这没有对函数值域作出任何的划分，而
是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分的这
两个定义是相等的。
虽然在a,b］上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反过来说明就不一定是成立的。
所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不是勒贝格积分定义的本义性质。
4黎曼积分与勒贝格积分的关系
我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论，在进一步说明这一理论的其他内容之前，我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。
它们的关系能用一个公式来表示，它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广，而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。
本文将从一维的情形进行探讨，在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：
设f（x）是定义在I=a,b上的有界函数，｛n｝是对l.a,b所做的分划序列：
△（n）:
a=x0（nX』）v…vxkn（n）=b（n=1,2,…），Mnf=max｛Xj（n）—Xi£）:
1兰i兰kn｝，
■减P=0，若令（对每个i以及n）M｛）=sup｛f（x）必£）兰x兰xf｝，mj（n）=inf｛f（x）必丿）兰x兰Xj（n｝，贝U关于f（x）的Darboux上，下积分下述等式成
knbkn
SM』）-x（nL），ff（xdx=lim£mFXx^'-x（nL）。
记-（x）是f（x）在!
a,b上的
”ab
振幅（函数），我们有「xdx二f（x）dx—f（x）dx。
左端是（x）在I上的勒贝
1LbLa
格积分。
证明因为f（x）在a,b1上是有界的，所以-（x）是!
a,b〕上的有界函数，所以
■La,b］。
对于之前所述说的分划序列｛n｝，作下列函数列有
E={x€a,b】:
x是A®In=1,2,…的分点}，
显然mEA0且有lim-n（x）二-（x）,x」a,b】E。
我们记A,B各是f（x）在'a,b】上
的上确界、下确界，存在一切x，有•■.,n（x）岂A-B，所以根据控制收敛定理（控
制函数是常数函数）可以得到lim「‘（x）dx-xdx。
从另一方面看，因为
kn
妙{xdx=瓦（M{）—mf"xF）—x（n）
knkn
=XMf认FLx®）」匸送mf认卩）一xU4）
i4i4
-bb
得至U|门〔xdx=lim|门jxdx=fxdx-fxdx。
定理1函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集。
5黎曼积分和勒贝格积分性质的比较
5.1被积函数绝对可积性的比较
我们都知道如果f在a,b1上是可积的，那么f在a,b1上也是可积的，这就说明了对于勒贝格积分来说，f在a,b】上可积与|f在la,b】上可积是相互等的，但是对于黎曼积分来说，这个性质反而不成立。
]x是有理数.
例1f（x）=J，X；，显然，f（x）在0,1上不是黎曼可积；但是
日，X是无理数
f（x）三1，f（x）在0,11上黎曼可积。
5.2被积函数的有界性的比较
由定理1我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要
成一零测集，函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集，简略说明，黎曼
积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函数必定是有界的。
定理2如果函数f黎曼可积，那么f必定有界。
设f（x）_0在可测集ERq上是可测的，这时我们可定义
[f（x）dx=lim[〔f（x）dx，称f（x）在E上的勒贝格积分。
其中
En“En
En=EnKn,Kn={X=（X1,X2,Xq）:
x乞n}。
令f（x）=max{f（x）,C},f_（x^max{-f（x）,0}，则f（x）=f（x）-f~（x），容易得出，如果f（x）在E上是可测的，那么「（x）与f—（x）在上也是可测，反之亦然。
而且对于测度有限的可测集上的可积函数f（X）来说，总是有
ef（x）dx二已f（x）dx-已f_（x）dx。
定义4设f（x）在可测集ERq上是可测的，假如在上述定义下的
ef（x）dx和ef-（x）dx不同时为'时，那么我们称f（x）在E上积分是确定的，并且定义ef（x）dx=efO）dx-eflx）dx是f（x）在E上的勒贝格积分，要是此积分有限，我们称f（x）在E上勒贝格可积。
定理3设f（x）为可测集ERq（mE：
：
：
：
：
）上的有界函数，那么f（x）在E上勒贝格可积的充分必要条件是f（x）在E上是可测的。
由此我们知道勒贝格积分与黎曼积分相比较下有着明显的优点，它将可积函
数类扩大成一般可测函数，而不仅仅是限于有界函数。
5.3中值定理在黎曼积分中，有以下中值定理：
定理4（第一中值定理）设f在a,b1上连续，则存在■-a,bi，使得
b
af（x）dx=f（）（b-a）。
定理5（第二中值定理）设f在a,b1上可积，
（i）如果函数g在a,b上递减，且g（x）_O，则存在a,b〕，使得
b
af（x）g（x）dx=g（a）af（x）dx。
（ii）如果函数g在a,b上递增，且g（x）_O，则存在!
a,b〕，使得
bb
f（x）g（x）dx=g（b）匚f（x）dx。
推论2设函数f在a,b1上可积，如果g为单调函数，则存在'■la,bl，使得
bb
af（x）g（x）dx=g（a）af（x）dxg（b）f（x）dx。
在勒贝格积分中，我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测函数积分的几何意义。
定理6（非负可测函数积分的几何意义）设f（x）是可测集ERn上的非负
函数，那么当f（x）在E上可测时，有ef（x）d^mG（E,f）
推论3设f（x）是EuRn上可积函数，则Ef（x）dx=mG（E,fmG（E,fJ5.4被积函数连续性的比较
如果f（x）是定义在a,b］上的有界函数，那么f（x）在la,b1上是黎曼可积的充分条件是f（x）在a,b〕上的不连续点集是零测度集。
定理7定义在有限区间a,b1上的函数若是黎曼可积，那么勒贝格可积，并
bb
且积分值是相等的，即（R）f（x）dx=（L）f（x）dx。
LaLa
这表明了f（x）在a,b1上黎曼可积与勒贝格积分是相等的，反过来证明勒贝格可积的函数未必黎曼可积。
例2f（x）=」x'，；在0,1］上的函数，不是黎曼可积的，却是勒贝格
、1,x壬0,1Q
可积的。
那是因为除了点X=1外，闭区间0,11上的其余点都是属于间断点，那么它在一正测度集上是间断的，所以它不是黎曼可积的，但是因为f（x）是有界可
测，所以说这个函数是勒贝格可积的。
5.5收敛条件
在黎曼积分的意义下，函数列只有满足一致收敛的条件，才能够保证极限与积分的交换顺序，但是这一条件过分强了。
如fn（x）=xn（O岂X"，n=1,2,…，当n—；•:
:
:
时，fn（x）收敛但是非一致收敛于f（x）={:
，然而此时仍然有
这就说明，黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是积分运算与极限运算交换的充分条件，而不是必要条件。
在勒贝格意义下，不是一致收敛也能保证积分与极限运算的交换的
定理8（勒贝格控制收敛定理）设
（1）{fn（x）}是可测集E上的可测函数列;
（2）fn（x）EF（x）aexE，n=1,2,，并且F（x）在E上L可积;
（3）什&）=f（X）（依测度收敛）
则F（x）在E上L可积，并且limfn（x）dxf（x）dx。
EE
通过定理6,7,8能对黎曼积分收敛定理作出了一些适当的改进，改进后的
定理是：
定理9设fn（x）（n=1,2,…）、f（x）和F（x）在la,b上R可积且
（1）治）处处收敛于f（x）；
（2）fn（x）bb
那么有lim（R）afn（x）dx=（R）af（x）dxO
下面我们重新来考察前面所提到的函数列fn（x）二xn（0空X乞1）,n=1,2,…，和
极限函数f（X）二｛0；0亍1；,显然｛fn（x）｝和f（x）满足定理9的条件，因此，虽然｛fn（x）｝不一致收敛于f（x），但是由定理9可知必定有
111
lim（R）0fn（x）dx=（R）°limfn（x）dx=（R）°f（x）dx。
由此得知，定理9的确比原来的黎曼积分收敛定理要优越，但是还要注意，定理9要求fn（x）在b,b1上必定要一致有界的（因F（x）可积必有界），这显然使
得积分号下取极限这一重要运算手段受到了非常大的限制与影响，不仅仅如此,定理9中关于极限函数f（x）可积性的假设也是不能丢掉的。
例3将0,11中全体有理数列出：
r,,r2…作函数列
fn（X）»
1,X=「1，「2,…，「n（n=1,2,…；
O
0,其他
显然对每个自然数n,fn（x）是0,11上黎曼可积的函数，并且积分值都是零,
容易知道极限函数F（x）是狄利克雷函数，它不是黎曼可积的，那就没有办法去讨论积分号下取极限的问题。
另一方面，从定理8得出，在勒贝格积分理论中，没有要求函数列一定要一致有界，只要有一个控制函数就行；也没有要求fn（x）必须处处收敛于F（x），只
要fn（x）能够依测度收敛F（x）就行，也不用假设极限函数的可积性，这是因为定理8本身就可以保证极限函数一定是可积的。
例如，对定理9中的｛fn（x）｝和f（x）,
必定有n马（L）阮]fn（x）dx=（L）£]f（x）dx。
通过以上几点可以知道，黎曼积分相对于勒贝格积分有着明显的局限性。
6黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系
勒贝格可积函数的范围要比黎曼积分广，这主要体现在勒贝格积分包含了黎曼积分，勒贝格积分与极限的交换容易达成主要表现在：
积分与极限的交换问题
在勒贝格积分范围内比黎曼积分范围内更为完美的解决，主要体现在控制收敛的
定理上。
对于正常的黎曼积分和勒贝格积分有如下的关系：
定义在有限区间上的函数，如果黎曼积分可积，那么勒贝格积分可积，并且积分值是相等的，但是相对于广义积分来说，却不一定是这样。
定理10设f（x）是a,b】上几乎处处连续的函数，并且对任意的；・0，f（x）在a•；,b1上是有界的，且f（x）在a,b1上是不变号的，则
b
（R）[f（x）dx=Au（L）j[,b]f（x）dx=A。
注：
上述定理说明了不变号的函数广义黎曼积分和勒贝格积分的关系，那么
对a,b1上变号的函数f（x）结论是不成立的。
由此我们知道广义黎曼积分是推不
b
出勒贝格积分的，反之若（OQbjf（x）dx存在，那么（R）[f（x）dx也存在。
上面我们考虑的是有界区域上的无界函数，下面我们将考虑无限区域情形。
定理11若f（x）在，，：
上连续并且是黎曼可积的，则有
（R）匚f（x）dx=（L）J：
f（x）dx。
证明：
因为f（x）在」：
，•：
：
上连续并且黎曼可积，由定义可知，对任意的
闭区间b,b1，f（x）在a,b上是黎曼可积的，且有lim「Labf（x）dx=：
[L_「f（x）dxb;二一-
并有限，所以，对每个nA1，令fn（x）=|f（x）X[n,n]x），xn,n]u（_co，邑），
:
:
r，根据单调收敛
则｛fn（x）:
n却｝是可测函数列，且|m，fn（X）=|f（x»，xe
定理可知lim（L|f（x）dx=（Lyt（xdx。
所以，f（x）在（q,2）上勒贝格可积，并且f（xXL,n：
（xkf（x），（-曲址），再由勒贝格控制收敛定理知
二：
nnn--
（L）仁f（X）dx=（L）L（x）XSJxdx=nlimJL）Lf（X）dx=lim（Rf（x）dx=（R）Jf（x）dx
"bo"bo
则（Rf（x）dx=（L）Jf（x）dx
---
定理12设f（x）是E=a,七1上的非负函数，并且是广义黎曼可积，那么
f（x）在a,p上勒贝格可积，且（L）广f（x）dx=（R）j^f（x）dx。
证明因为f（x）在E上是广义黎曼可积，且是非负连续函数，则对任意自然数n，f（x）在En二a,nl上黎曼可积，贝U由闭区间上两个积分的关系可得
nnnn
Lf（x）dx二Riif（x）dx，所以limLiif（x）dx=limRj|f（x）dx，因此“a“an：
ana
Laf（x）dx二Raf
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