Lindo 和Lingo 数学软件的简单使用方法.docx
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Lindo和Lingo数学软件的简单使用方法
Lindo和Lingo数学软件的简单使用方法
一、Lindo
最新版本：
6.1版（注册版）
限制：
4000个约束、8000个变量、800个整型变量
功能：
可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划、二次规划、目标规划。
我们主要用它来求解整数规划或混合整数规划。
特点：
执行速度非常快
例1：
求解整数规划问题
解：
在lindo的运行窗口中输入
max5x1+8x2
st
x1+x2<6
5x1+9x2<45
end
gin2
然后按Solve菜单或快捷键得运行结果。
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE（目标函数最优值）
1）40.00000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST（变量增加1时目标函数改变量）
X10.000000-5.000000
X25.000000-8.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
（行）（松弛变量值）（对偶价格，表示约束右边常数增加1时目标函数改变量））
2）1.0000000.000000
3）0.0000000.000000
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED（灵敏度分析）
OBJCOEFFICIENTRANGES（目标函数中变量的系数的变动范围，在此范围内最优解不变）
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEF（当前系数）INCREASE（增加量）DECREASE（减少量）
X15.0000000.000000INFINITY
X28.0000000.000000INFINITY
RIGHTHANDSIDERANGES（约束条件右边常数的变化范围，在此范围内最优基不变）
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHS（当前系数）INCREASE（增加量）DECREASE（减少量）
26.000000INFINITY1.000000（第一个约束）
345.000000INFINITY0.000000（第二个约束）
注意：
1．软件中已经假设所以的变量是非负的，所以非负约束不必输入；
2．可以用FREE变量来取消变量的非负限制；
3．不区分大小写；
4．约束条件“<=”、“>=”可以用“<”、“>”代替；
5．变量名不能超过8个字符；
6．变量与系数间可以有空格，但不能有任何运算符号（如*等）；
7．不允许变量出现在一个约束条件的右端；
8．输入中不能有“（）”和“，”；比如4（x1+x2）应写成4x1+4x2等；
9．在一个式中同一变量不能出现一次以上，比如2x1+3x2-x1应简化为x1+3x2；
10．int变量变量为0/1整数变量
gin变量变量为整数变量
ginn
intn模型中的前n个变量为0/1整数变量，关于变量的顺序可由输出结果查证！
整数变量申明须放在最后（即end后）
例2：
集合覆盖问题
设有一集合S={1,2,3,4,5}，及S的一个子集簇P={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}},假设选择P中各个元素的费用为1、1.5、1.5、0.8、0.8、1，试从P中选一些元素使之覆盖S且所选元素费用之和最小。
解：
记
，i=1，2，3，4，5，6
得0-1规划模型：
在Lindo中输入
minx1+1.5x2+1.5x3+0.8x4+0.8x5+x6
st
x1+x2+x5>1
x1+x3>1
x2+x4>1
x3+x6>1
x2+x3+x6>1
end
int6
然后按Solve菜单或快捷键得运行结果。
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）2.800000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X11.0000001.000000
X20.0000001.500000
X30.0000001.500000
X41.0000000.800000
X50.0000000.800000
X61.0000001.000000
例3：
混合整数规划问题
某厂有3种矿石资源甲、乙、丙，可以用来生产4种不同的产品A1,A2,A3,A4,其单位消耗、利润、固定成本（不生产则不需要）等数据如下，问应如何安排生产？
产品
需要资源
A1
A2
A3
A4
资源总量
甲
8
7
6
5
1000
乙
5
3
5
5
800
丙
2
5
4
5
600
单位利润
250
235
210
190
固定成本
2000
1500
1200
900
解：
用xi表示生产Ai的数量（i=1，2，3，4），
yi=1表示要生产Ai，=0表示不生产Ai（i=1，2，3，4）
则得模型：
M表示一个充分大的正常数；
程序：
max250x1+235x2+210x3+190x4-2000y1-1500y2-1200y3-900y4
st
8x1+7x2+6x3+5x4<1000
5x1+3x2+5x3+5x4<800
2x1+5x2+4x3+5x4<600
x1-9999y1<0
x2-9999y2<0
x3-9999y3<0
x4-9999y4<0
end
inty1
inty2
inty3
inty4
运行结果：
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）31500.00
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
Y11.0000002000.000000
Y20.0000001500.000000
Y30.0000001200.000000
Y41.000000900.000000
X166.6666640.000000
X20.00000013.000000
X30.0000000.000000
X493.3333360.000000
（答案：
最大利润31500产品数量A1=200/3A2=0A3=0A4=280/3）
例4：
帆船生产问题
一公司每个季度能正常生产40条帆船，生产费用为每条400美元；已知某年四个季度帆船的需求量是40，60，75，25（每个季度末交货），为此需加班，加班生产每条帆船的费用为450美元，多余生产的帆船每季度的库存费用为20美元，另生产开始前有10条船，问如何安排可使总费用最小？
解：
记ri表示第i季度的正常生产帆船数量；（i=1，2，3，4）
记pi表示第i季度的加班生产帆船数量；（i=1，2，3，4）
记vi表示第i季度的库存量；（i=1，2，3，4）
得模型：
ri,pi,vi为整数；
程序：
min400r1+400r2+400r3+400r4+
450p1+450p2+450p3+450p4+
20v1+20v2+20v3+20v4
st
r1<40
r2<40
r3<40
r4<40
v1=10
v1+r1+p1-v2=40
v2+r2+p2-v3=60
v3+r3+p3-v4=75
v4+r4+p4=25
end
gin12
结果：
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）78650.00
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
R140.000000400.000000
R240.000000400.000000
R340.000000400.000000
R425.000000400.000000
P10.000000450.000000
P210.000000450.000000
P335.000000450.000000
P40.000000450.000000
V110.00000020.000000
V210.00000020.000000
V30.00000020.000000
V40.00000020.000000
例5．资金分配问题
假定有一笔资金b=100万元，现有7个投资项目，各项目的投资额和收益如下表：
项目
1
2
3
4
5
6
7
投资额a万
10
14
19
21
28
32
40
收益c万
3
4
5
6
7
9
13
问如何分配使收益最大？
解：
模型为
Lindo程序为：
max3x1+4x2+5x3+6x4+7x5+9x6+13x7
st
10x1+14x2+19x3+21x4+28x5+32x6+40x7<100
end
int7
参考答案：
投资项目1、2、6、7，最大收益29）
例6．用LINDO解目标规划
通过求解目标规划问题的有效算法——序贯式算法可将目标规划分解成计算二个线性规划。
先求第一个目标函数的最优值
mind1_+d1
ST
x1-10x2+d1_-d1=50
3x1+5x2+d2_-d2=20
end
（求得d1_+d1的最优值为0）
然后再求第二个目标函数的最优值，注意要把第一个目标函数的最优值d1_+d1=0作为一个约束条件。
min2d2+d3
ST
x1-10x2+d1_-d1=50
3x1+5x2+d2_-d2=20
8x1+6x2+d3_-d3=100
d1_+d1=0
end
即可算得第二级最优值2d2+d3=560
练习1：
平板车装货问题（美国1988年数学建模竞赛B题）
答案：
最大装载厚度2039.4厘米。
程序：
x1~x7分别为第1辆平板车上7种货物的装载数，x8~x14为第2辆车
max48.7x1+48.7x8+52.0x2+52x9+61.3x3+61.3x10+72.0x4+72x11+48.7x5+48.7x12+52.0x6+52x13+64.0x7+64x14
st
48.7x1+52.0x2+61.3x3+72.0x4+48.7x5+52.0x6+64.0x7<1020
48.7x8+52.0x9+61.3x10+72.0x11+48.7x12+52.0x13+64.0x14<1020
2000x1+3000x2+1000x3+500x4+4000x5+2000x6+1000x7<40000
2000x8+3000x9+1000x10+500x11+4000x12+2000x13+1000x14<40000
48.7x5+48.7x12+52.0x6+52x13+64.0x7+64x14<302.7
x1+x8<8
x2+x9<7
x3+x10<9
x4+x11<6
x5+x12<6
x6+x13<4
x7+x14<8
end
gin14
答案：
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）2039.400
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X12.000000-48.700001
X86.000000-48.700001
X25.000000-52.000000
X92.000000-52.000000
X30.000000-61.299999
X109.000000-61.299999
X45.000000-72.000000
X111.000000-72.000000
X53.000000-48.700001
X120.000000-48.700001
X63.000000-52.000000
X130.000000-52.000000
X70.000000-64.000000
X140.000000-64.000000
二、Lingo
最新版本：
8.0版（解密版）
限制：
约束条件、变量、整数变量均无限制
功能：
可以求解非线性规划。
也可以做线性规划、整数规划，可以完全代替Lindo）
特点：
运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题；
例1：
求解非线性规划
程序：
model:
模型输入开始
min=3*x^2+y^2-x*y+0.4*y;目标函数必须以’min=’或‘max=’开始
1.2*x+0.9*y>1.1;每条语句必须以;结尾
x+y=1;
y<0.7;
end模型输入结束
运行结果：
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
12（局部最优解）
Objectivevalue:
1.355556
VariableValueReducedCost
X0.66666670.000000
Y0.33333330.000000
注意：
1．运算符不能省略，比如要输入4x2,应表示为4*x^2 ；
2．变量已经假定非负；
3．变量可以出现在约束条件的右边；
4．数学内部函数：
以@打头
@ABS（x）@COS（x）@EXP（x）@LOG（x）@SIGN（x）
@SIN（x）@SMAX（x1,x2,x3,…,xn）@SMIN（…）@TAN（x）
@FLOOR（x）最接近x的整数
5．变量定界函数
@BND（L,x,U）限制x的范围L<=x<=U
@BIN（x）x为0或1
@FREE（x）取消对x的限制
@GIN（x）x为整数
给变量定界时须在模型输入结束之前，这与lindo是不同的；
6．概率函数
@PSN（x）正态分布的分布函数等14个函数，可通过帮助查询使用方法。
例2：
挂轮问题
求4个整数20到100的整数a,b,c,d使得
最小。
解：
model:
min=@ABS（z）+1;
z=3.141592653589793238462643-x*y/（u*v）;
@BND（20,x,100）;
@BND（20,y,100）;
@BND（20,u,100）;
@BND（20,v,100）;
@GIN（x）;
@GIN（y）;
@GIN（u）;
@GIN（v）;
end
结果：
Localoptimalsolutionfoundatiteration:
72952（局部最优解）
Objectivevalue:
0.5826206E-04
VariableValueReducedCost
Z0.5826206E-040.000000
X95.00000-0.3306879E-01
Y25.00000-0.1256614
U28.000000.1121977
V27.000000.1163532
华罗庚书中给出的最好的结果是：
x=51,y=77,u=50,v=25
例3．选址问题
设某城市有某种物品的10个需求点，第i个需求点Pi的坐标为（ai,bi）,道路网与坐标轴平行，彼此正交。
现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在x界于[5,10]，y界于[5.10]的范围之内。
问该中心应建在何处为好?
P点的坐标为：
ai
1
4
3
5
9
12
6
20
17
8
bi
2
10
8
18
1
4
5
10
8
9
建立数学模型：
设供应中心的位置为（x,y），要求它到最远需求点的距离尽可能小，此处采用沿道路行走计算距离，可知每个用户点Pi到该中心的距离为|x-ai|+|y-bi|，于是有：
记
，则原模型可化为：
输入程序：
model:
min=z;
@ABS（x-1）+@ABS（y-2）@ABS（x-4）+@ABS（y-10）@ABS（x-3）+@ABS（y-8）@ABS（x-5）+@ABS（y-18）@ABS（x-9）+@ABS（y-1）@ABS（x-12）+@ABS（y-4）@ABS（x-16）+@ABS（y-5）@ABS（x-20）+@ABS（y-10）@ABS（x-17）+@ABS（y-8）@ABS（x-8）+@ABS（y-9）@BND（5,x,10）;
@BND（5,y,10）;
end
结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
47（全局最优解）
Objectivevalue:
13.50000
VariableValueReducedCost
Z13.500000.000000
X7.0000000.000000
Y9.5000000.000000
三、用Lingo描述大规模数学规划
当约束和数据较多时采用的输入方法，可分为四个部分，具体格式如下：
model：
1．集合部分；
SETS：
集合名/1．．n/：
属性1，属性2，…
ENDSETS
2．目标函数与约束部分；
3．数据部分；（：
变量=？
表示在运行时输入变量值，只用于单个变量）
DATA：
……
ENDDATA
4．初始化部分；（若不需要初值，则此部分可省略）
INIT：
……
ENDINIT
end
集合定义格式有两种：
setname/memberlist（or1..n）/:
attribute,attribute,…用集合定义一维变量
setname（set1,set2,…）:
attribute,attribute,…用集合定义多维变量
一个集合只需要给出维数（memberlist,用1..n表示或其它文字符号表示或用集合表示），后接具有该维数的变量（attribute）。
描述大规模规划所需要的集合函数主要有4个：
@FOR（集合名：
约束表达式）对集合的每个元素独立按约束表达式生成约束
@MAX（集合名：
表达式）返回按表达式计算集合中每个元素的最大值
@MIN（集合名：
表达式）返回最小值
@SUM（集合名：
表达式）返回和
集合名后可接逻辑表达式，格式为：
@函数（集合|逻辑表达式：
表达式）
逻辑运算符：
逻辑运算符
#AND#
#OR#
#NOT#
意义
与
或
非
关系运算符：
关系运算符
#EQ#
#NE#
#GT#
#GE#
#LT#
#LE#
意义
等于
不等于
大于
大于等于
小于
小于等于
例1．1995年全国大学生数学建模竞赛A题飞行管理问题
其数学模型为：
这里
为六架飞机调整的飞行角度，
为常数。
使用集合描述的程序：
model:
sets:
S/1..6/:
z;
SS（S,S）:
a,b;
endsets
min=@Sum（S:
@Abs（z））;
@For（S（i）:
@BND（-30,z（i）,30））;
@For（SS（i,j）|i#NE#j:
@Abs（b（i,j）+0.5*z（i）+0.5*z（j））>a（i,j））;
data:
a=
0.005.3932.235.0920.962.23
5.390.004.806.615.813.82
32.234.800.004.3622.832.13
5.096.614.360.004.542.99
20.965.8122.834.540.002.31
2.233.822.132.992.310.00;
b=
0.00109.26-128.2524.18173.0714.47
109.260.00-88.87-42.24-92.309.00
-128.25-88.870.0012.48-58.790.31
24.18-42.2412.480.005.97-3.53
173.07-92.30-58.795.870.001.91
14.479.000.31-3.531.910.00;
enddata
end
结果：
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
61（全局最优解）
Objectivevalue:
3.640000
VariableValueReducedCost
Z
（1）0.0000000.000000
Z
（2）0.0000000.000000
Z（3）2.5600000.000000
Z（4）0.0000000.000000
Z（5）0.0000000.000000
Z（6）1.0800000.000000
例2．仓库与客户物资分配供应问题
某地区拟在10个地点建立仓库以存放某种物资，用于供应20个客户，已知下列数据：
（1）建立仓库的固定费用（单位：
万元）
仓库
仓库1
仓库2
仓库3
仓库4
仓库5
仓库6
仓库7
仓库8
仓库9
仓库10
固定费用
2
3
4
2
3
4
2
3
4
5
（2）某仓库供应某客户全部需求量时的运费（单位：
万元）
仓库1
仓库2
仓库3
仓库4
仓库5
仓库6
仓库7
仓库8
仓库9
仓库10
客1
9
10
2
6
7
15
15
1
18
6
客2
14
16
10
4
10
18
14
1
16
7
客3
6
9
2
1
20
14
20
5
20
17
客4
15
12
18
9
17
18
12
2
18
4
客5
6
8
4
3
7
11
6
2
5
12
客6
19
14
19
3
9
4
15
5
20
4
客7
11
4
8
5
13
20
20
16
8
19
客8
19
20
13
15
16
20
3
8
6
4
客9
4
9
15
6
9
13
1
7
17
13
客10
5
13
9
10
15
1
16
7
20
16
客11
3
2
4
9
13
10
6
12
9
7
客12
6
17
8
13
10
19
6
9
19
6
客13
4
18
16
6
12
6
6
5
1
1
客14
10
19
2
4
12
4
20
12
10
14
客15
12
15
15
8
4
12
3
6
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