集合与常用逻辑用语1.docx

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集合与常用逻辑用语1

考点测试1　集合

一、基础小题

1．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2,3}B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4}D．（－1,4]

答案　B

解析　∵B＝{x∈N*|－1

2．若集合A＝{（1,2），（3,4）}，则集合A的真子集的个数是（　　）

A．16B．8

C．4D．3

答案　D

解析　集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是22－1＝3，故选D.

3．下列六个关系式：

①{a，b}⊆{b，a}，②{a，b}＝{b，a}，③{0}＝∅，④0∈{0}，⑤∅∈{0}，⑥∅⊆{0}，其中正确的个数为（　　）

A．6B．5

C．4D．3

答案　C

解析　①正确，任何集合是其自身的子集．②考查了元素的无序性和集合相等的定义，正确．③错误，{0}是单元素集合，而∅不包含任何元素．④正确，考查了元素与集合的关系．⑤集合与集合的关系是包含关系，错误．⑥正确，∅是任何非空集合的子集，故选C.

4．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，A∩（∁UB）＝{3}，则B＝（　　）

A．{1,2}B．{2,4}

C．{1,2,4}D．∅

答案　A

解析　结合韦恩图（如图）可知B＝{1,2}．

5．设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log

（x－1），x∈A}，则集合（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{0,2,4,5}B．{0,4,5}

C．{2,4,5}D．{1,3,5}

答案　D

解析　由已知得∁UA＝{0,1,3,5}，B＝{0,2}，∁UB＝{1,3,4,5}，故（∁UA）∩（∁UB）＝{1,3,5}．

6．已知集合A＝{x|y＝ln（1－x）}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，1]B．[0，＋∞）

C．（0,1）D．[0,1）

答案　D

解析　∵A＝{x|x<1}＝（－∞，1），B＝[0，＋∞），

∴A∩B＝[0,1）．

7.设集合U＝R，A＝{x|x＝

，k∈N*}，B＝{x|x≤5，x∈Q}（Q为有理数集），则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{1,3,4,5}B．{2,4,5}

C．{2,5}D．{1,2,3,4,5}

答案　B

解析　∵集合A＝{x|x＝

，k∈N*}，∴A＝{2，

，

，

，4，

，

，5，…}，∵B＝{x|x≤5，x∈Q}，题中Venn图阴影部分表示A、B两集合的交集，∴A∩B＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.

8．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（　　）

A．0或1或2B．1或2

C．0D．0或1

答案　A

解析　由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}．当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.

9．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

A．（－∞，2]B．（2,4]

C．[2,4]D．（－∞，4]

答案　D

解析　

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A.如图所示，则

解得2

10．已知集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a＝________.

答案　4

解析　根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.

11．若A＝{（x，y）|y＝x2＋2x－1}，B＝{（x，y）|y＝3x＋1}，则A∩B＝________.

答案　{（2,7），（－1，－2）}

解析　A∩B＝

＝{（2,7），（－1，－2）}．

12．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－（2m－3）x＋m（m－3）≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.

答案　5

解析　由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，因为A∩B＝[2,4]，故

则m＝5.

二、高考小题

13．[2016·四川高考]设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　C

解析　A中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

14．[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

答案　C

解析　由（x＋1）（x－2）<0⇒－1

15．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（　　）

A．[2,3]B．（－∞，2]∪[3，＋∞）

C．[3，＋∞）D．（0,2]∪[3，＋∞）

答案　D

解析　S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，在数轴上表示出集合S，T，如图所示：

由图可知S∩T＝（0,2]∪[3，＋∞），故选D.

16．[2016·山东高考]设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

答案　C

解析　∵A＝（0，＋∞），B＝（－1,1），∴A∪B＝（－1，＋∞）．故选C.

17．[2015·浙江高考]已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1

A．[0,1）B．（0,2]

C．（1,2）D．[1,2]

答案　C

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∴∁RP＝{x|0

18．[2015·福建高考]若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1}，则A∩B等于（　　）

A．{－1}B．{1}

C．{1，－1}D．∅

答案　C

解析　A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.

三、模拟小题

19．[2017·浙江名校联考]已知集合A＝{x|x

A．a≤1B．a<1

C．a≥2D．a>2

答案　C

解析　由于A∪（∁RB）＝R，∴B⊆A，∴a≥2，故选C.

20．[2017·山东青岛质检]设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{x|y＝

}，则（　　）

A．A⊆BB．A∪B＝A

C．A∩B＝∅D．A∩（∁IB）≠∅

答案　A

解析　因为当x>2时，y＝log2x>1，所以A＝（1，＋∞），B＝[1，＋∞），A⊆B，A∪B＝B，A∩B＝A，A∩（∁IB）＝∅，故选A.

21．[2017·云南师大附中月考]已知集合M满足M⊆{0,1,2,3}，则符合题意的集合M的子集最多有（　　）

A．16个B．15个

C．8个D．4个

答案　A

解析　集合M是集合{0,1,2,3}的子集，为使集合M的子集个数最多，当且仅当M＝{0,1,2,3}时，M的子集最多，有24＝16个，故选A.

22．[2017·河南平顶山模拟]已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，若（∁RB）∩A＝∅，则a＝（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　B

解析　∵（∁RB）∩A＝∅，∴A⊆B.又A＝{0，－4}，且B中最多2个元素，所以B＝A＝{0，－4}，

∴

∴a＝1.故选B.

23．[2016·辽宁五校联考]设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．P＝QD．P∪Q＝R

答案　A

解析　由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.

24．[2016·广州调研]若集合A，B满足A＝{x∈Z|x<3}，B⊆N，则A∩B不可能是（　　）

A．{0,1,2}B．{1,2}

C．{－1}D．∅

答案　C

解析　依题意A∩B的元素可能为0,1,2，也可能没有元素，∴A∩B不可能是{－1}．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．[2017·河北邯郸一中月考]已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．

（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（2）已知集合C＝{x|1

解　

（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，

∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，

∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}，

∴A∩B＝{x|2

∴（∁RB）∪A＝{x|x≤3}．

（2）由

（1）知A＝{x|1≤x≤3}，当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1

2．[2016·山东聊城月考]已知R为全集，A＝{x|log

（3－x）≥－2}，B＝

.

（1）求A∩B；

（2）求（∁RA）∩B与（∁RA）∪B.

解　

（1）由log

（3－x）≥－2，即log

（3－x）≥log

4，得

解得－1≤x＜3，即A＝{x|－1≤x＜3}．

由

≥1，得

≤0，解得－2＜x≤3，即B＝{x|－2＜x≤3}，

∴A∩B＝{x|－1≤x＜3}．

（2）由

（1）得∁RA＝{x|x＜－1或x≥3}，

故（∁RA）∩B＝{x|－2＜x＜－1或x＝3}，（∁RA）∪B＝R.

3．[2017·山西临汾一中月考]函数f（x）＝

的定义域为A，g（x）＝lg[（x－a－1）·（2a－x）]（a<1）的定义域为B.

（1）求A；

（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

解　

（1）由2－

≥0，得

≥0，

从而（x－1）（x＋1）≥0且x＋1≠0，故x<－1或x≥1，

∴A＝（－∞，－1）∪[1，＋∞）．

（2）由（x－a－1）（2a－x）>0，得[x－（a＋1）]（x－2a）<0，

∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝（2a，a＋1）．

∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥

或a≤－2，而a<1，

∴实数a的取值范围为a≤－2或

≤a<1.

4．[2016·长春实验中学月考]集合A＝{（x，y）|y＝－x2＋mx－1}，B＝{（x，y）|y＝3－x,0≤x≤3}，若A∩B是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围．

解　集合A表示抛物线上的点，抛物线y＝－x2＋mx－1开口向下且过点（0，－1）．集合B表示线段上的点，要使A∩B只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图：

由图1知，在函数f（x）＝－x2＋mx－1中，其与x轴两交点横坐标之积为1，只要f（3）＞0即可，即m＞

.由图2知，抛物线与直线在x∈[0,3]上相切，即

⇒x2－（m＋1）x＋4＝0⇒Δ＝（m＋1）2－16＝0.∴m＝3或m＝－5.

当m＝3时，切点为（2,1），适合；

当m＝－5时，切点为（－2,5），舍去．

∴m＝3或m＞

.