4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是-1
2
≈0.618，
2
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的长度之比也是5-1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长
2
度为26cm，则其身高可能是
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm
5．函数f（x）=
sinx+x
cosx+x2
在[-π,π]的图像大致为
A．B．
C．D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．5
16
B．11
32
C．21
32
D．11
16
7．已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角为
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
8．如图是求1
2+1
的程序框图，图中空白框中应填入
2+1
2
A．A=1
2+A
B．A=2+1
A
C．A=1
1+2A
D．A=1+1
2A
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则
A．an
=2n-5
B．an
=3n-10
C．Sn
=2n2-8n
D．Sn
=1n2-2n
2
10．已知椭圆C的焦点为F1（-1,0），F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|=2|F2B|，
|AB|=|BF1|，则C的方程为
A．x=1
x2y2
B．
x2y2
C．
x2y2
D．
2324354
11．关于函数f（x）=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
π
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（
2
，π）单调递增
③f（x）在[-π,π]有4个零点④f（x）的最大值为2
A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F
分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．8
6πB．4
6πC．2
6πD．6π
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a=1，a2=a，则S5=．
1346
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是．
16．已知双曲线C：
x
a2
2
-=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线
b2
分别交于A，B两点．若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC．
（1）求A；
（2）若2a+b=2c，求sinC．18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，
BB1，A1D的中点．
（1）证明：
MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：
y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
2
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若AP=3PB，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f'（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f'（x）在区间（-
π
存在唯一极大值点；
1,）
2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0,1,L
8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1,2,L
a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．
7），其中
（i）证明：
{pi+1-pi}（i=0,1,2,L
7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
⎧1-t2
⎪x=1+t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨
⎪y=
⎩
4t1+t2
（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）1+1+1≤a2+b2+c2；
abc
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D
二、填空题
13．y=3x14．
121
3
15．0.1816．2
三、解答题
17．解：
（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．
b2+c2-a21
由余弦定理得cosA==．
2bc2
因为0︒（2）由
（1）知B=120︒-C，由题设及正弦定理得
2sinA+sin（120︒-C）=2sinC，
即+3cosC+1sinC=2sinC，可得cos（C+60︒）=-2．
2222
由于0︒sinC=sin（C+60︒-60︒）
=sin（C+60︒）cos60︒-cos（C+60︒）sin60︒
=．
4
18．解：
（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
1
所以ME∥B1C，且ME=
2
B1C．
1
又因为N为A1D的中点，所以ND=
2
A1D．
由题设知A1B1=PDC，可得B1C=PA1D，故ME=PND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
A（2,0,0），A1（2，0，4），M（1,3,2），N（1,0,2），A1A=（0,0,-4），A1M=（-1,3,-2），
A1N=（-1,0,-2），MN=（0,-3,0）．
uuuur
⎧⎪m⋅
设m=（x,y,z）为平面A1MA的法向量，则⎨
A1M=0
uuur，
⎧⎪-x+
3y-2z=0
⎪⎩m⋅A1A=0
⎩
所以⎨⎪-4z=0．可取m=（3,1,0）．
⎧⎪n⋅
uuuur
MN=0，
设n=（p,q,r）为平面A1MN的法向量，则⎨
uuuur
⎧⎪-
所以
3q=0，可取n=（2,0,-1）．
⎪⎩n⋅A1N=0
⎩
⎨⎪-p-2r=0
m⋅n
于是cos〈m,n〉===，
|m‖n|5
所以二面角A-MA1-N的正弦值为．
5
19．解：
设直线l:
y=3x+t,A（x,y）,B（x,y）．
21122
（1）由题设得F⎛3,0⎫，故|AF|+|BF|=x+x
+
3，由题设可得x+x
=5．
ç4⎪
122
122
⎝⎭
⎧y=3x+t
12（t-1）
由⎪2，可得9x2+12（t-1）x+4t2=0，则x+x
=-．
⎨
⎪⎩y2
=3x
129
从而-12（t-1）=5，得t=-7．
928
所以l的方程为y=3x-7．
28
（2）由AP=3PB可得y1=-3y2．
⎧y=3x+t
由⎪2，可得y2-2y+2t=0．
⎪⎩y2=3x
所以y1+y2=2．从而-3y2+y2=2，故y2=-1,y1=3．
代入C的方程得x=3,x=1．
123
故|AB|=．
3
20．解：
（1）设g（x）=
f'（x），则g（x）=cosx-
1
1+x
，g'（x）=-sinx+
1.
（1+x）2
当x∈⎛-1,π⎫时，g'（x）单调递减，而g'（0）>0,g'（π）<0，可得g'（x）在⎛-1,π⎫有唯一零点，
ç2⎪2ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
设为α.
则当x∈（-1,α）时，g'（x）>0；当x∈⎛α,π⎫时，g'（x）<0.
ç2⎪
⎝⎭
所以g（x）在（-1,α）单调递增，在⎛α,π⎫单调递减，故g（x）在⎛-1,π⎫存在唯一极大值点，
ç2⎪ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
即f'（x）在⎛-1,π⎫存在唯一极大值点.
ç2⎪
⎝⎭
（2）f（x）的定义域为（-1,+∞）.
（i）当x∈（-1,0]时，由
（1）知，f'（x）在（-1,0）单调递增，而f'（0）=0，所以当x∈（-1,0）
时，f'（x）<0，故f（x）在（-1,0）单调递减，又f（0）=0，从而x=0是f（x）在（-1,0]的唯一
零点.
（ii）当
x∈⎛0,π⎤时，由
（1）知，f'（x）在（0,α）单调递增，在⎛α,π⎫单调递减，而f'（0）=0
ç2⎥ç2⎪，
⎝⎦⎝⎭
f'⎛π⎫<0，所以存在β∈⎛α,π⎫，使得f'（β）=0，且当x∈（0,β）时，f'（x）>0；当x∈⎛β,π⎫
ç2⎪
ç2⎪
ç2⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
时，f'（x）<0.故f（x）在（0,β）单调递增，在⎛β,π⎫单调递减.
ç2⎪
⎝⎭
又f（0）=0，f⎛π⎫=1-ln⎛1+π⎫>0，所以当x∈⎛0,π⎤时，f（x）>0.从而，f（x）
在⎛0,π⎤
ç2⎪ç2⎪
ç2⎥
ç2⎥
没有零点.
⎝⎭⎝⎭⎝⎦⎝⎦
（iii）当x∈⎛π,π⎤时，f'（x）<0，所以f（x）在⎛π,π⎫单调递减.而f⎛π⎫>0，f（π）<0，
ç2⎥
ç2⎪
ç2⎪
⎝⎦
所以f（x）在⎛π,π⎤有唯一零点.
⎝⎭⎝⎭
ç2⎥
⎝⎦
（iv）当x∈（π,+∞）时，ln（x+1）>1，所以f（x）<0，从而f（x）在（π,+∞）没有零点.综上，f（x）有且仅有2个零点.
21．解：
X的所有可能取值为-1,0,1.
P（X=-1）=（1-α）β，
P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β）
P（X=1）=α（1-β），
所以X的分布列为
（2）（i）由
（1）得a=0.4,
b=0.5,
c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，故0.1（pi+1-pi）=0.4（pi-pi-1），即
pi+1-pi=4（pi-pi-1）.
又因为p1-p0=p1≠0，所以{pi+1-pi}（i=0,1,2,L
7）为公比为4，首项为p1的等比数列．
（ii）由（i）可得
48-1
p8=p8-p7+p7-p6+L
+p1-p0+p0
=（p8-p7）+（p7-p6）+L
+（p1-p0）=
3p1.
由于p=1，故p=
3
，所以
8148-1
44-11
p4=（p4-p3）+（p3-p2）+（p2-p1）+（p1-p0）=p1=.
3257
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治
愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=
1
257
≈0.0039，此时得出错误结论的概率非
常小，说明这种试验方案合理.
1-t2⎛y⎫2
⎛1-t2⎫2
4t2
22．解：
（1）因为-1<≤1，且x2+ç⎪
=ç⎪
+
=1，所以C的直角坐标方程为
2y2
1+t2
⎝2⎭⎝1+t2⎭
（1+t2）2
x+=1（x≠-1）.
4
l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.
⎧x=cosα,
⎩
（2）由
（1）可设C的参数方程为⎨y=2sinα（α为参数，-π<α<π）.
4cos⎛α-π⎫+11
ç3⎪
C上的点到l的距离为
=⎝⎭.
当α=-+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.
23．解：
（1）因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac，又abc=1，故有
a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+ca=1+1+1.
abcabc
所以1+1+1≤a2+b2+c2.
abc
（2）因为a,b,c为正数且abc=1，故有
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥33（a+b）3（b+c）3（a+c）3
=3（a+b）（b+c）（a+c）
≥3⨯（2
ab）⨯（2
bc）⨯（2
ac）
=24.
所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.
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