矿物加工工厂的选址.docx
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矿物加工工厂的选址
2012年河南理工大学数学建模竞赛
矿
物
加
工
工
厂
的
选
址
材料1004班：
材料1005班：
材料1005班：
2012年5月27日
2012年河南理工大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D/E/F中选择一项填写）：
E
参赛队员信息1.材料1004班
（专业班级、姓名）2.材料1005班
（打印并签名）：
3.材料1005班
日期：
2012年5月27日
评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：
2012年河南理工大学数学建模竞赛
编号专用页
竞赛评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：
评阅记录（可供评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
矿物加工工厂的选址
摘要
采矿点大多分布于山区,为了节约成本,矿物加工工厂也多选址在距离采矿点较近且交通费用低的位置。
实际山地环境中，道路多崎岖婉转，地势较险峻。
因此在实际选择矿物加工工厂的过程中，所要考虑因素较多，比如路线长度，厂址地势等。
本文通过理想化山地环境，运用数学规划方法，试图描绘一般加工场的选址方法。
本文主要从假设采矿点分布图、求解各采矿点与加工厂的最短距离、再综合各采矿点产量（权重）建立数学模型。
以获取最优解。
在求解过程中用到了lingo，Excel等软件，大大提高了计算效率。
模型一（即第一问）：
本题目所要求的采矿点数目有限，且采矿点间公路网较简，这就给求解对短距离带来了益处。
但模型一并没有局限以上益处，而是在假设采矿点数目很大、两点间路线较多的前提下建立起来的，增加了模型的通用性，因此具有一定的普适性。
模型一的最大贡献是解决了任意两点间最短公路距离的问题。
然后求得了各采矿点分别作为加工厂时的总运输量：
采矿点
分别用采矿点
作为加工厂的总运输量
1
1975
2
1095
3
995
4
1385
5
1100
6
1640
7
1510
模型二（即第二问）：
在不考虑不可抗拒因素（比如修建道路）的情况下假设出采矿点分布（见附件三），建立坐标。
采矿点与矿物加工厂的距离假设为直线距离，并利用最小二乘法求得距离。
求得矿物加工厂坐标（84.29897，23.77826）。
关键词:
两点间最短公路距离最优解权重普适性最小二乘法
一、问题的叙述与分析
1.1问题的叙述
某采矿场有7个采矿点，矿石在采矿点被采下后，须统一运输到工厂处理。
采矿点地理分布如图所示。
图中采矿点之间有直线相连表示他们之间有道路相通，直线上的数字表示他们之间的距离（单位：
千米）。
表：
各采矿点每天的产量（单位：
千吨）
采矿点
1
2
3
4
5
6
7
产量
4
1
1
6
7
2
3
问题：
1、若工厂选在某个采矿点，请为工厂选址，使得总运输量最小。
2、若所有采矿点在一个110千米×50千米的范围内，这个区域内任意点都可以建设工厂，请重新为工厂选址。
若需要其他数据，可以在满足图中距离的前提下自行设置。
1.2问题的分析
问题一：
总运输量=各采矿点的运输量之和，各采矿点的运输量=各采矿点的产量*采矿点与加工厂之间的距离。
问题二：
确定各采矿点的坐标位置，假设点A（a，b）为加工厂即最优位置，分别得出各采矿点与加工厂之间的距离。
最终求得总运输量。
二、基本假设与符号说明
2.1基本假设
1．总运输量表示每天各采矿点的运输量之和，各采矿点的运输量指的是产量与距离之间的乘积。
2.各采矿点的产量稳定，且所产矿物均被运至加工厂。
3.并不是所有的道路都是直线。
4.模型二中的采矿点与加工厂之间的距离指的是直线距离。
2.2符号说明
:
表示采矿点i与矿物加工场j之间的最短距离；
:
表示两采矿点（此两采矿间所构成的公路上无采矿点）间的距离；
:
表示采矿点j作为加工厂是的总运输量；
:
表示采矿点i的产量；
:
表示采矿点的横坐标；
:
表示采矿点的纵坐标；
A:
表示最优矿物加工厂的位置；
三、建立模型
3.1模型一：
3.11任意两点间的距离
图表
下面通过假设求点a（起点）到达点b（终点）的最短距离来说明模型：
则点i为起点a与终点b间的任意一点则：
；
以此类推可求得
。
3.12总运输量
①由3.11可求得任意两点间的距离；
②因此可得j作为采矿点的总运输量：
比较
，即可求出最优解。
3.2模型二
3.21假设出采矿点分布图，并建立坐标系，确定各采矿点的坐标。
3.22利用最小二乘法并附加采矿点的日产量作为权重确定矿物加工厂A（a,b）
即可求得使总运输量最小的坐标点，即加工厂。
四、模型的求解
4.1模型一的求解
4.11任意两点间的距离的求解
使用lingo编程（程序见附件一），整理结果得各采矿点间的最短公路距离：
采矿点
1
2
3
4
5
6
7
1
0
55
100
110
105
70
95
2
55
0
45
55
50
15
40
3
100
45
0
10
20
55
80
4
110
55
10
0
30
65
90
5
105
50
20
30
0
35
60
6
70
15
55
65
35
0
25
7
95
40
80
90
60
25
0
4.12运输总量的求解
将表2的数据运用Excel处理（见附件二）。
在I2中编辑=（B2*$B$9+C2*$C$9+D2*$D$9+E2*$E$9+F2*$F$9+G2*$G$9+H2*$H$9）求得采矿点1作为加工厂时的总运输量。
然后用填充柄对I3..I8求解。
进行排序可得：
采矿点5作为加工厂时的总运输量最小。
4.2模型二的求解
假设出各采矿的坐标（见附件三），利用lingo编程（程序见附件四），对结果进行整理得：
A坐标为（84.298974，23.778264）单位千米；最优总运输量700.0489
五、模型评价与改进
优点：
所给问题虽然数据少，运算极为简便，但本文所假设模型建立在采矿点数目不限定的前提下。
因此具有很好的可移植性。
对于解决类似问题很有借鉴意义。
缺点：
在实际生产生活中，采矿点（多分布在山区）的分布很少以人的意志为转移。
本模型所求得的加工厂位置，虽然在理论上可行，但是考虑到实际情况需要修很多的路，很有可能造成经济上的不合理。
模型的扩展应用：
本模型虽在矿物加工厂的设置上具有理论意义，但实际应用中依然存在一些不尽人意之处。
不过，对于城市规划中政府部门、医院等位置的设置有一定的借鉴意义。
改进方法：
在矿物加工厂的选址问题上，应综合考虑采矿点的分布，道路建设费用，运输量等因素，这要才能规避不必要的浪费。
六、参考文献
[1]姜启源等，《数学模型》，北京：
高等教育出版社，2006年。
[2]袁新生等，《LINGO和Excel在数学建模中的应用》，北京：
科学出版社，2007年。
七、附录
附件一：
model:
sets:
points/x1..x7/:
gc;!
由七个工厂构成一个集合，gc表示采矿点与加工厂间的距离;
roads（points,points）/x1,x2x2,x3x2,x6x3,x4x3,x5x4,x5x5,x6x6,x7
x2,x1x3,x2x6,x2x4,x3x5,x3x5,x4x6,x5x7,x6/:
w;!
各采矿点间已知的距离其中w（i,j）=w（j,i）;
endsets
data:
w=55451510206035255545151020603525;
a=?
;!
a代表假设的工厂a=1代表假设工厂1为加工厂;
enddata
gc（a）=0;!
a到a的距离为零;
@for（points（i）|i#ne#a:
gc（i）=@min（roads（i,j）:
w（i,j）+gc（j）））;!
i不能为采矿点。
由此式递推可求得各采矿点与所假设的加工厂间的距离;
end
附件一的求解结果：
附件二：
在I2中编辑=（B2*$B$9+C2*$C$9+D2*$D$9+E2*$E$9+F2*$F$9+G2*$G$9+H2*$H$9）求得采矿点1作为加工厂时的总运输量。
然后用填充柄对I3..I8求解。
附件三：
点1（10,10），点2（65,10），点3（90,10），点4（100,10），点5（90，30）点6（65,30），点7（40,30）
附件四：
model:
sets:
points/x1..x7/:
x,y,t;!
x（i）,y（i）分别表示采矿点的横坐标和纵坐标，t表示个采矿点的日产量;
endsets
data:
x=106590100906540;！
假设的横坐标；
y=10101010303030;！
假设的纵坐标；
t=4116723;
enddata
min=@sum（points（i）:
t（i）*@sqrt（（x（i）-a）^2+（y（i）-b）^2））;
end
附件四的结果：
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