小波与信号处理.docx

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小波与信号处理

第七章小波与信号处理

WAVELET&SIGNALPROCESSINGWITHAPPLICATIONS

小波是应用数学的一个新领域

80年代法国地质石油工程师J.Morlet提出Wavelet的概念，通过物理直观概念和信号处理的实际需要建立了经验的反演公式。

但当时的数学家并未认可-1807年Fourier热力学工程师－FourierKingdom

1986年数学家Mayer偶然构造出一个真正的小波基函数，并与Mallat合作建立了构造小波基函数的统一方法－多尺度分析方法及Mallat金字塔算法，小波才得到真正的发展。

Daubechies-比利时女数学家－小波十讲－Daubechies小波

近代科学400年来－从复杂事物中寻找简单规律－几乎忘记了非线性用局部线性化来取代非线性，用片面的美掩盖了整体的美。

一叶障目不见泰山。

自然世界的本性，丰富多彩、神奇多样化都来源于非线性－分形、Fractals-Choas。

1963年气象学家洛伦兹用计算机仿真大气模型，仅忽略了一些看起来微不足道的参数，但结果却大相径庭。

－科学别忘记了非线性

小波经过近十年的研究，数学体系已经建立，理论基础扎实，应用广泛。

小波分析，时间频率局部变换，多尺度分析，解决了传统的傅立叶变换难以解决的许多难题－数学显微镜，信号分析，数据压缩、模式识别、特征提取。

AGeneralCommentonInformationRepresentation——APrelude

informationF（u）

Today'scomputingdevicesarelargelylimitedtoprocessf（u）typeofinformation.

Wherefrepresentstheinformation,anduisageneralindexatwhichtheinformationisdescribed.

examplesifindexu:

timet（speech,music,etc.）

positionx（stillimage,etc.）

（time,position）（t,x）（video,etc.）

otherphysicalparameters...

indexu:

continuousversusdiscrete

indexuversusinformationf:

whichoneismoreimportant

Acharacterofusefulinformation:

redundancy.

TheNoteswerepreparedbasedonthefollowingreferences:

1.J.S.walker,"Fourieranalysisandwaveletanalysis."NoticesofAMS,vol.44,NO.6,pp.558-670,June/July1997.

2.C.Mulcahy,"plottingandschemingwithwavelets."Math.Magazine,b9,Dec.1996.

3.G.strangandT.Nguyen,WaveletsandFilterBanks,Wellesley-CambridgePress,1996.

4.W.-S.Lu,ELEC639ACourseNotesonWavelets,DeptofElec.&Comp.Engn.,Univ.ofVictoria,Jan1997.

§7-1.什么是小波WhatAreWavelets?

Awaveletisafunction（t）whoseaverageisZero,i.e.,

Examples:

WaveletsthatareusefulinDSPandotherapplicationsoftenpossessadditionalfeatures:

Generate（viadilationandtranslation）orthonormalorbiorthonormal（basis）systemsinL2

Localbothintimeandfrequencydomain

FastDecomposition/ReconstructionAlgorithms

Vanishingmoments

§7-2.SignalRepresentation:

FourierSystems

7.2.1SystemFeatures

AnOrthonormalSyteminL2（R）generatedwithone（Mother）function:

ejt

OffersFrequencyAnalysisofSignalsandDSPsystem

FastAlgorithms（FFT,DFT,DCT,2D-DFT,……）

InfiniteResolutioninFrequencydomain

ZeroResolutioninTimedomain

不能表示突变信号，局部时间变化的信号

7.2.2Application:

SignalApproximation（LossyCommpression）

Considerdiscretesignal

where

TheDFTof{fk}isgivenby

Anapproximationof{fk}istheinverseDFTof

"CompressionRate"=M/N

ThefigurebelowshowsaplotoftheoriginalsignalF（t）,andthreeapproximatesofF（t）withN=512,256,and128.NoticetheGibbsoscillationsforN=256and128.

7.2.3Application:

SignalDenoising

Considera"Modulated"Signal

representingthebitsequence1011011

Supposethesignalistransmittedthroughachannelthataddsacertainamountofnoisewhosefrequencyrangeisboundedby200HZ.Thenoise-contaminatedsignalcanthenberecoveredusingabandpassfilteringtechnique:

STFT短时傅氏变换（Gabor变换）

☆在频域和时域均有局部化功能;

☆但是、其时频窗口的大小是固定的，窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的的各种过程。

☆此外、其离散形式没有正交展开形式，难以实现高效算法。

短时傅氏变换，只是向时频分析走出了重要的一步。

Guass窗

参考书“子波变换与子波分析”赵松年

窗口函数

易见、当两个频率分量之差为2时，STFT可以分辨出来

而当两个频率分量之差为1时，STFT就不能分辨了。

§7-3SignalRepresentation:

TheHaarWavelet

7.3.1HaarScalingFunctionandHaarwavelet

TheHaarscalingfunctionisdefinedby

尺度函数

property:

TheHaarwaveletisdefinedby

property:

小波函数

7.3.2HaarScalingFunctionSeenFromSignalApproximation

Consideracontinuous-timesignalf（t）anditsapprox.

where（t）theHaarScalingfunction

Weseef0（t）asafinite-resolutionrepresentationoff（t）inthespaceV0spannedby{（t-k）,kZ}

Note:

V0=thesetofallfunctionsthatarepiecewiseconstanton[k,k+1）,kZ

and

Twoproblems:

（a）Whatiff0（t）asanapproximatelyisnotaccurateenough?

（b）Whatiff0（t）istooaccurate?

WecanmovefromV0uptospaceswithhigherresolutioninthecaseof（a）.

Orinthecaseof（b）wemovetospaceswithlowerresolution.

Case（a）Anaturalwaytoobtainmoreaccuraterepresentationoff（t）istoincreasethenumberofsamples.Forexample,ifthesamplingrateisdoubled,thenweobtain

Where

HereweseeaspaceV1:

isorthonormal

Case（b）Wecanforinstanceusehalfofthesamplingratetorepresentthesignaliff0（t）is“tooaccurate”:

Where

NotethespaceV-1

Acomparisionof:

§7-3Haarwaveletseenfromsignalreconstruction

LetusconsiderfasignaloffinitelengthNinspaceV1:

Weapproximatef（t）withasignal

;lengthof

Astheaveragingisakindoflowpassfiltering,detailsoffarelostin

.Thelostinformationcanbedescribedas

Note:

lengthof

Thissuggestsasignaldecompositionscheme:

Lowpassfilteringplusdownsamplingby2

AndHighpassfilteringplusdownsamplingby2

Featuresofthedecomposition:

{informationamountoff}={infoamountofa0}+{infoamountofd0}

fcanbeperfectlyrecoveredbyd0anda0

d0isusuallySMALL

Usethisdecompositionasabuildingblock,weobtaina（asymmetric）treestructureforsignalanalysisandCOMMPRESSION:

Foradiscretesignalatlength2k,klevelsatdecompositionmaybeusedtoobtaind0,d-1,...d-k+1,a-k+1,suchthat

Theirtotallength=thelengthoff;

Manyofd0areSMALL

{d0,d-1,...d-k+1,a-k+1}canbeusedtoREconstructf.

SignalCompression/FunctionApproximation

★Mathematiciansseetheuseofthedecomposition/reconstructioninfunctionapproximationwithfewerterms:

★Engineersseetheuseofthedecomposition/reconstructioninsigalcoding（compression）

Theoriginalsignalis

andoneleveldecomposition

usingtheHaarwavelet;5-leveldecompositionusingtheHarrwavelet.

Noticethesmallernumberofwaveletcoefficientsinthe5-leveldecomposition.

Wenoelookattheabovedecompositionanalytically:

where

Thefigurebelowshowswhathappensintheinterval[n,n+2）:

7.3.4Connectionofscalingfunctionsatdifferentresolutionlelvels

Basicequationfor

:

Use（DE）onecaneasilyconnect

to

7.3.5ConnectionatWavelettoScalingFunction

Bydefinitionwecanverify

ThisistheWAVELETEQUATIONfortheHaarwavelet.

Together,theDEandWEareofcriticalimportanceforthedevelopmentofapowerfulMULTIRESOLUTIONANALYSIS（MRA）ofsignals,andforgeneratingmanyimprovedwaveletsthatareofmoreuseinDSPandotherapplications.

73.6DEandWE:

AFilter-BankInterpretation

Thenormalizedscalingfunctions（inV0andV1）are

andthenormalizedwaveletinW0is

TheDE&WEintermsof

are

Thecoefficients{1/2,1/2}inDEinterpretedastheimpulseresponseoftelowpass（average）filter

Thecoefficients{1/2,1/2}inWEcanbeviewedastheimpulsereponseofthehighpass（difference）filter

ThefigurebelowshowstheamplituderesponsesofF0（z）（lowpass）andF1（z）（highpass）.

NoticethatF0（ej）=0at=（0.5innormalizedfrequentcy）.Thisisimportantaswecanshowthat

#ofzerosofF0（z）at=isequalto

#ofvanishingmomentsoftheassociatedwavelet.

相当于低通滤波器的零点。

Haar小波仅此一个零点，故不是很有用；

零点越多越有用，如信号压缩的倍数越高。

Daubechies在她的论文中给出了，在给定零点条件下，阶数最少的滤波器。

Haar小波的实际应用意义并不大；

但是，这里作为例子，用来帮助理解小波的原理是很有益的。