实验二 DFTFFT的应用利用FFT实现快速卷积.docx
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实验二DFTFFT的应用利用FFT实现快速卷积
实验二DFT/FFT的应用-利用FFT实现快速卷积
[实验目的]
1．深刻理解DFT/FFT的概念和性质，进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。
2．掌握DFT/FFT的应用。
理解FFT在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用FFT进行数字信号处理。
[实验内容及要求]
1．给定两个序列
，
。
首先直接在时域计算两者的线性卷积；然后用FFT快速计算二者的线性卷积，验证结果。
（1）线性卷积
程序代码：
figure
（1）;
N1=4;N2=4;
xn=[2,1,1,2];
hn=[1,-1,-1,1];
N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度
yn=conv（xn,hn）;%线性卷积
x=0:
N-1;
stem（x,yn）;title（'线性卷积'）;
运行结果：
（2）FFT卷积快速卷积
程序代码：
figure
（1）;
n=0:
1:
3;
m=0:
1:
3;
N1=length（n）;%xn的序列长度
N2=length（m）;%hn的序列长度
xn=[2,1,1,2];
hn=[1,-1,-1,1];
N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度
XK=fft（xn,N）;%xn的离散傅里叶变换
HK=fft（hn,N）;%hn的离散傅里叶变换
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;%逆变换
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn）;title（'FFT卷积'）;
运行结果：
结果分析：
对比
（1）和
（2）直接线性卷积和FFT快速卷积的结果可以验证，用FFT线性卷积的结果是与直接卷积的结果相同的，FFT可以实现快速卷积，提高运算速度。
2.数字滤波器的冲激响应为
可自定，本实验取
，输入序列x（n）可选下列几种情况：
，
可取16
，
，
（3）实验前，预先编制一个应用FFT实现数字滤波器的通用程序。
通用程序：
functionyn=xian（xn,n,N1）
N1=16;
N2=17;
N=N1+N2-1;
n=0:
1:
15;
m=0:
1:
16;
hn=（-0.5）.^m;
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn）;
end
（4）上机独立调试，并打印或记录试验结果。
①调用程序，在命令行输入：
yn=xian（[ones（1,N1）],n,16）
运行结果：
②调用程序，在命令行输入：
yn=xian（[cos（2*pi*n/N1）],n,16）
运行结果：
③调用程序，在命令行输入：
yn=xian（[（1/3）.^n],n,16）
运行结果：
（5）将实验结果与预先笔算的结果比较，验证其正确性。
将实验结果与预先笔算的结果对比结果是相同的，验证了程序的正确性。
3．设
，
a．计算线性卷积
程序代码：
figure
（1）;
N1=4;N2=5;
xn=[1,2,2,1];
hn=[1,2,3,4,5];
N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度
yn=conv（xn,hn）;%线性卷积
x=0:
N-1;
subplot（211）;stem（x,yn）;title（'线性卷积'）;
n=0:
1:
3;
m=0:
1:
4;
N1=length（n）;
N2=length（m）;
xn=[1,2,2,1,];
hn=[1,2,3,4,5];
N=N1+N2-1;
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
subplot（212）;stem（x,yn）;title（'FFT卷积'）;
运行结果：
b．分别用FFT计算它们的5点、6点、8点和10点圆周卷积。
（1）5点圆周卷积代码：
n=0:
1:
4;
m=0:
1:
3;
N=length（n）;
M=length（m）;
x=[1,2,2,1];
xn=[x（1:
M）,zeros（1,N-M）];%补0到序列长度为5
hn=[1,2,3,4,5];
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn）;title（'5点圆周卷积'）;
运行结果：
（2）6点圆周卷积代码：
n=0:
1:
5;m=0:
1:
3;z=0:
1:
4;
Z=length（z）;
N=length（n）;
M=length（m）;
x=[1,2,2,1];
xn=[x（1:
M）,zeros（1,N-M）];%补0到序列长度为6
h=[1,2,3,4,5];
hn=[h（1:
Z）,zeros（1,N-Z）];%补0到序列长度为6
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn）;title（'6点圆周卷积'）;
运行结果：
（3）8点圆周卷积代码：
n=0:
1:
7;
m=0:
1:
3;
z=0:
1:
4;
Z=length（z）;
N=length（n）;
M=length（m）;
x=[1,2,2,1];
xn=[x（1:
M）,zeros（1,N-M）];%补0到序列长度为8
h=[1,2,3,4,5];
hn=[h（1:
Z）,zeros（1,N-Z）];%补0到序列长度为8
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn,'.'）;title（'8点圆周卷积'）;
运行结果：
（4）10点圆周卷积代码：
n=0:
1:
9;
m=0:
1:
3;
z=0:
1:
4;
Z=length（z）;
N=length（n）;
M=length（m）;
x=[1,2,2,1];
xn=[x（1:
M）,zeros（1,N-M）];%补0到序列长度为10
h=[1,2,3,4,5];
hn=[h（1:
Z）,zeros（1,N-Z）];%补0到序列长度为10
XK=fft（xn,N）;
HK=fft（hn,N）;
YK=XK.*HK;
yn=ifft（YK,N）;
ifall（imag（xn）==0）&&（all（imag（hn）==0））%实序列的循环卷积仍为实序列
yn=real（yn）;
end
x=0:
N-1;
stem（x,yn,'.'）;title（'10点圆周卷积'）;
分析实验结果，思考以下问题：
什么条件下圆周卷积与线性卷积是相同的？
对比试验结果可以知道，当圆周卷积的序列长度L满足：
L≧N+M-1（M,N分别为两个序列的长度）时，圆周卷积的结果和线性卷积是相同的。
如果不满足条件结果会怎样？
如果不满足条件的话，x（n）的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来，发生混淆失真。
圆周卷积的结果就与线性卷积不同了。
4．编写一个MATLAB函数，用一个N点离散傅里叶变换同时计算两个N点实序列的离散傅里叶变换，并将该函数用于求1中x（n）和h（n）的离散傅里叶变换，将结果与直接使用两个N点离散傅里叶变换计算出来的结果进行比较。
（1）MATLAB函数：
function[XK,HK]=juan（xn,hn,N）
k=0:
N-1;
yn=xn+1i*hn;%一个作为实部，一个做虚部
YK=fft（yn,N）;%求离散傅里叶变换
YK2=conj（YK）;%取共轭
YK0=fliplr（YK2（2:
N））;%反序
YK1=[YK2
（1）YK0];
XK=（YK+YK1）/2;%求XK
HK=-1i*（YK-YK1）/2;%求HK
subplot（211）;stem（k,XK）;title（'xnFFT'）;
subplot（212）;stem（k,HK）;title（'hnFFT'）;
end
实验过程：
调用函数，在命令行输入：
[XK,HK]=juan（[2,1,1,2],[1,-1,-1,1],4）
运行结果：
（2）直接求两个N点的离散傅里叶变换
程序代码：
N=4;
k=0:
N-1;
xn=[2,1,1,2];
hn=[1,-1,-1,1];
XK1=fft（xn,N）;%求xn的离散傅里叶变换
HK1=fft（hn,N）;%求hn的离散傅里叶变换
subplot（211）;stem（k,XK1）;title（'xn1FFT'）;
subplot（212）;stem（k,HK1）;title（'hn1FFT'）;
运行结果：
结果分析：
对比用MATLAB函数和直接求两个N点的DFT的结果可以知道，两种方法的结果是相同的，因此可以用一个N点的离散傅里叶变换同时计算两个N点实序列的离散傅里叶变换。
遇到的问题及解决办法：
在编写MATLAB函数时，虚数的表示应写成“1i”而不是“j”，序列的反序要用到fliplr函数，conj取共轭。
要求：
列出实验程序清单，包括必要步骤的程序说明。
记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。
分析实验结果。
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