全称量词和特称量词.docx
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全称量词和特称量词
常用逻辑用语
全称量词与存在量词
3.1全称量词与全称命题
3.2存在量词与特称命题
I明目标、知重点：
1•通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特
称命题的真假.
填要点
1.全称量词与全称命题
在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，
表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题，叫作全称命题.
2.存在量词与特称命题
在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这
样的词叫作存在量词.
含有存在量词的命题，叫作特称命题.
探要点：
究所然
探究点一全称量词与全称命题
思考1下列语句是命题吗？
（1）与（3）,
（2）与（4）之间有什么关系？
（1）x>3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x€R,x>3;
（4）对任意一个x€Z,2x+1是整数.
答语句
（1）
（2）含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句（3）在
（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句（4）在
（2）的基础
上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因
此语句⑶（4）是命题.
小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整
体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题.
思考2如何判定一个全称命题的真假？
答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但
要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个xo,使得p（xo）不成立即可（即举反例）.例1判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数；
（2）任意x€R,x2+1>1；
（3）对每一个无理数x,x2也是无理数.
解
（1）2是素数，但2不是奇数.
所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
⑵任意x€R，总有x2>0,因而x2+1>1.
所以，全称命题“任意x€R,x2+1>1”是真命题.
（3）.2是无理数，但（，2）2=2是有理数.
所以，全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.
跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：
（1）任意x€R,x2+2>o;
（2）任意x€N,x4>1.
⑶对任意角a都有sin2a+COS2a=1.
解⑴由于任意x€R，都有x2>0,因而有x2+2>2>0，即x2+2>0,所以命题“任意x€R,
x2+2>0”是真命题.
⑵由于0€N，当x=0时，x4>1不成立，所以命题“任意x€N,x4》1”是假命题.
⑶由于任意a€R,sin2a+COS2a=1成立.所以命题“对任意角a,都有Sin2a+COS2a=1”
是真命题.
探究点二存在量词与特称命题
思考1下列语句是命题吗？
（1）与（3）,
（2）与（4）之间有什么关系？
（1）2x+1=3;
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个xo€R,使2x0+1=3;
⑷至少有一个xo€Z,使xo能被2和3整除.
答
（1）
（2）不是命题，⑶（4）是命题.语句⑶在⑴的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在
（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使⑶（4）变成了可以判断真假的语句，因此语句⑶（4）是命题.
小结“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的
词叫作存在量词•像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题.
思考2怎样判断一个特称命题的真假？
答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x=xo,使p（xo）
成立即可，否则，这一特称命题是假命题.
例2判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数xo,使x2+2xo+3=0;
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数.
解⑴由于任意x€R,x2+2x+3=（x+1）2+2>2，因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所
以，特称命题“有一个实数xo,使x0+2xo+3=0”是假命题.
（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同
一条直线.所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.
（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.
反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中
找到一个元素满足命题结论即可.
跟踪训练2判断下列命题的真假：
（1）存在xo€Z,x3<1;
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）有一个实数a,tana无意义；
（4）存在xo€R,cosxo=才.
解
（1）T—1€Z,且（-1）3=-1<1,
“存在xo€Z,x3<1”是真命题.
⑵真命题，如梯形.
n
（3）真命题，当a=2时，tana无意义.
⑷•/当x€R时，cosx€[-1,1],
n
而2>1,二不存在xo€R,
使cosxo=2，
•••原命题是假命题.
探究点三全称命题、特称命题的应用
思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？
答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.
例3
（1）已知关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2<0的解集非空，求实数a的取值范围；
⑵令p（x）：
ax2+2x+1>0,若对任意x€R,p（x）是真命题，求实数a的取值范围.
解⑴关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2<0的解集非空，（2a+1）2—4（a2+2）>0,
即4a—7>0,
解得a>4，•实数a的取值范围为7,+m.
⑵•••对任意x€R,p（x）是真命题.
•对任意x€R,ax2+2x+1>0恒成立，
当a=0时，不等式为2x+1>0不恒成立，
a>0,
当0时，若不等式恒成立，则
△=4—4a<0,
•a>1.
反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.
跟踪训练3
（1）对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）存在实数x,不等式sinx+cosx>m有解，求实数m的取值范围.
解
（1）令y=sinx+cosx,x€R,
■/y=sinx+cosx=.2sinx+^>—.2,
又t任意x€R,sinx+cosx>m恒成立,
•••只要m<—2即可.
•••所求m的取值范围是（—0,—'2）.
（2）令y=sinx+cosx,x€R,
n
■/y=sinx+cosx='2sinx+4€[—'2,'2].
又•••存在x€R,sinx+cosx>m有解，
•只要m<」2即可，
•所求m的取值范围是（一0,.2）.
当
1.下列命题中特称命题的个数是（）
1
④对于任意x€R,
"，故为全称命题；
而命题④是全称命
有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除;
总有|sinx|w1.
A.0B.1C.2D.3
答案B
解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题;
题.故有一个特称命题.
2.下列命题中，不是全称命题的是（）
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
答案D
1，正确；对于C,
解析对于A，当x=1时，9x=0,正确；对于B，当x=訓，tanx=
当xv0时，x3V0,错误；对于D，任意x€R,2x>0,正确.
4•用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：
⑴凸n边形的外角和等于2n.
（2）有一个有理数xo满足x0=3.
⑶对任意角a,都有Sina+COS2a=1.
解⑴任意x€{x|x是凸n边形},x的外角和是2n.
（2）存在xo€Q,%=3.
⑶任意a€R,sin2a+COS2a=1.
［呈重点、现规律］
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2•要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3•要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
答案B
13
解析对于任意的x€R,x2+x+1=（x+2）2+4>0恒成立.
3.给出四个命题：
①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数
x,x>0:
④对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是（）
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称命题
C.②③是特称命题
D.四个命题中有两个假命题
答案C
解析①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题.
4.下列全称命题中真命题的个数为（）
1负数没有对数；
2对任意的实数a,b，都有a2+b2>2ab；
3二次函数f（x）=x2—ax—1与x轴恒有交点；
4任意x€R,y€R，都有x2+|y|>0.
A.1B.2C.3D.4
答案C
解析①②③为真命题.
5.下列全称命题为真命题的是（）
A.所有的素数是奇数
B.任意x€R,x2+3>3
C.任意x€R,2x—1=0
D.所有的平行向量都相等答案B
6.下列命题中，真命题是.
1存在Xo€0,n，sinXo+cosxo》2；
2任意x€（3,+s）,x2>2x+1；
3存在m€R，使函数f（x）=x2+mx（x€R）是偶函数；
n
4任意x€,n,tanx>sinx.
答案②③
解析对于①,
此命题为假命题；
对于②，当x€（3,+s）时，x2—2x—1=（x—1）2—2>0,
•此命题为真命题；
对于③，当m=0时，f（x）=x2为偶函数，
•此命题为真命题；
n
对于④，当x€,n时，tanx<0•此命题为假命题.
7.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假.
（1）存在一条直线，其斜率不存在；
⑵对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解；
1
（3）存在实数xo,使得逐—xo+i=2.
解
（1）是特称命题，是真命题.
（2）是全称命题，是假命题.
（3）是特称命题，是假命题.
二、能力提升
&对任意x>3,x>a恒成立，则实数a的取值范围是.
答案（―汽3]
解析对任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,•a<3.
9.给出下列四个命题：
①a丄b?
ab=0;②矩形都不是梯形；
3存在x,y€R,x2+y2w1；
4任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.
其中全称命题是.
答案①②④
解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.
10.四个命题：
①任意x€R,x2—3x+2>0恒成立；②存在x€Q,x2=2;③存在x€R,
X2+1=0；④任意x€R,4x2>2x—1+3x2.其中真命题的个数为.
答案0
解析x2—3x+2>0,△=（—3）2—4X2>0,
•••当x>2或x<1时，x2—3x+2>0才成立，
①为假命题.
当且仅当x=±2时，x2=2,
••不存在x€Q，使得x2=2,
•②为假命题，
对任意x€R,x2+1工0,
•③为假命题，
4/—（2x—1+3x2）=x2—2x+1=（x—1）2>0,
即当x=1时，4x2=2x—1+3x2成立，
•④为假命题.
•••①②③④均为假命题.
11.判断下列命题的真假：
（1）对任意x€R,|x|>0;
⑵对任意a€R，函数y=logax是单调函数；
⑶对任意x€R,x2>—1;
⑷存在a€｛向量｝，使ab=0.
解
（1）由于0€R，当x=0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x€R,xi>0”是假命题.
⑵由于1€R，当a=1时，y=logax无意义，因此命题“对任意a€R，函数y=logax是单
调函数”是假命题.
⑶由于对任意x€R，都有x2》0,因而有x2>—1.
因此命题“对任意x€R,x2>—1”是真命题.
⑷由于0€｛向量｝，当a=0时，能使ab=0，因此命题“存在a€｛向量｝，使ab=0”是
真命题.
12.已知函数f（x）=x2—2x+5.
（1）是否存在实数m,使不等式m+f（x）>0对于任意x€R恒成立？
并说明理由；
⑵若存在实数x,使不等式m—f（x）>0成立，求实数m的取值范围.
解⑴不等式m+f（x）>0可化为m>—f（x），即m>—x2+2x—5=—（x—1）2—4.要使m>—（x—
1）2—4对于任意x€R恒成立，只需m>—4即可.故存在实数m使不等式m+f（x）>0对于任意x€R恒成立，此时m>—4.
（2）不等式m—f（x）>0可化为m>f（x）.
若存在实数x使不等式m>f（x）成立，
只需m>f（x）min.
又f（x）=（x—1）2+4,
所以f（x）min=4,所以m>4.
故所求实数m的取值范围是（4,+a）.
三、探究与拓展
13.若任意x€R，函数f（x）=mx2+x—m—a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范
围.
解①当m=0时，f（x）=x—a与x轴恒相交，所以a€R;
②当m^0时，二次函数f（x）=mx2+x—m—a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是△=1
+4m（m+a）>0恒成立，即4m2+4am+1>0恒成立.
又4m2+4am+1>0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是△=（4a）2—16<0,
解得—Ka<1.
综上所述,当m=0时,a€R；
当m^0时，a€[—1,1].
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