全称量词和特称量词.docx

1、全称量词和特称量词常用逻辑用语全称量词与存在量词3. 1 全称量词与全称命题3. 2存在量词与特称命题I明目标、知重点：1通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义 .2.会判断全称命题和特称命题的真假.填要点 1 .全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题，叫作全称命题.2.存在量词与特称命题在命题中，“有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有表示个别或一部分的含义， 这样的词叫作存在量词.含有存在量词的命题，叫作特称命题.探要点：究所然探究点一全称量词与全称命题思考1

2、下列语句是命题吗？ (1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？(1)x3 ；(2)2x+ 1是整数；(3)对所有的x R, x3;(4)对任意一个x Z,2x+ 1是整数.答 语句(1)(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假， 因而不是 命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量 x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量 x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句 (4)是命题.小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“ 一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.像这样

3、含有全称量词的命题，叫作全称命题.思考2如何判定一个全称命题的真假？答 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个xo,使得p(xo)不成立即可(即举反例). 例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意 x R , x2+ 1 1；(3)对每一个无理数 x, x2也是无理数.解(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称命题 “所有的素数是奇数”是假命题.任意x R，总有x2 0,因而x2+ 1 1.所以，全称命题 “任意x R, x2+ 1 1”是真命题.(3) .2是无理数，但(，2)2

4、= 2是有理数.所以，全称命题“对每一个无理数x, x2也是无理数”是假命题.反思与感悟 判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意 x R , x2+ 2o ; (2)任意 x N , x4 1.对任意角 a都有sin2 a+ COS2 a= 1.解 由于任意x R，都有x2 0,因而有x2 + 2 20，即x2+ 20,所以命题“任意x R ,x2 + 20”是真命题.由于0 N，当x = 0时，x4 1不成立，所以命题 “任意x N, x41”是假命题.由于任意a R , sin2 a+ COS2 a= 1成立.所以命题 “

5、对任意角a,都有Sin2 a+ COS2 a= 1 ”是真命题.探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？ (1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+ 1= 3;(2)x能被2和3整除；(3)存在一个 xo R,使 2x0 + 1 = 3;至少有一个xo Z,使xo能被2和3整除.答(1)(2)不是命题， (4)是命题.语句 在的基础上，用短语“存在一个”对变量 x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量 x的取值进行限定，从 而使(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句 (4)是命题.小结 “有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有

6、表示个别或一部分的含义， 这样的词叫作存在量词像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题.思考2怎样判断一个特称命题的真假？答 要判断一个特称命题是真命题， 只要在限定集合 M中，至少能找到一个x= xo,使p(xo)成立即可，否则，这一特称命题是假命题.例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数 xo,使 x2 + 2xo+ 3= 0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.解 由于任意x R ,x2+ 2x+ 3 = (x + 1)2+ 22，因此使x2 + 2x+ 3= 0的实数x不存在.所以，特称命题“有一个实数xo,使x0+ 2xo+ 3 = 0”是假命题

7、.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以，特称命题 “存在两个相交平面垂直于同一条直线 ”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数 ”是真 命题.反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题， 判断一个特称命题为真， 只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)存在 xo Z , x31 ;(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数 a, tan a无意义；(4)存在 xo R , cos xo=才.解 (1) T 1 Z,且(-1)3=- 11

8、,“存在xo Z , x31 ,二不存在xo R,使 cos xo= 2，原命题是假命题.探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是 给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.例3 (1)已知关于x的不等式x2 + (2a + 1)x+ a2 + 20,若对任意x R , p(x)是真命题，求实数 a的取值范围.解 关于 x 的不等式 x2 + (2a + 1)x+ a2+ 2 0,即 4a 70,解得a4，实数a的取值范围为7, + m .对任意x R, p(x)是真命题

9、.对任意x R , ax2 + 2x+ 10恒成立，当a= 0时，不等式为2x+ 10不恒成立，a0,当0时，若不等式恒成立，则= 4 4a1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3 (1)对于任意实数x,不等式sin x + cos xm恒成立，求实数 m的取值范围；(2)存在实数x,不等式sin x+ cos xm有解，求实数 m的取值范围.解 (1)令 y= sin x+ cos x, x R,/y= sin x+ cos x= .2sin x + . 2,又t任意x R , sin x+ cos xm恒成立,只要mm 有解，只要m 0,正确.

10、4 用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：凸n边形的外角和等于2 n.(2)有一个有理数xo满足x0= 3.对任意角 a,都有Sin a+ COS2 a= 1.解任意x x|x是凸n边形 , x的外角和是2 n.(2)存在 xo Q , % = 3.任意 a R , sin2 a+ COS2 a= 1.呈重点、现规律1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有 些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例 说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3要确定一个特称命题是

11、真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得 到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.C.有的素数是偶数D .有的有理数没有倒数答案 B1 3解析 对于任意的x R , x2 + x+ 1 = (x + 2)2+ 40恒成立.3. 给出四个命题：末位数是偶数的整数能被 2整除；有的菱形是正方形；存在实数x, x0 :对于任意实数 x,2x+ 1是奇数.下列说法正确的是 ( )A .四个命题都是真命题B .是全称命题C .是特称命题D.四个命题中有两个假命题答案 C解析 为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题.4. 下列全称命题中真命题的个数为 ( )1负数没有对数；2

12、对任意的实数 a, b，都有a2 + b22ab；3二次函数f(x)= x2 ax 1与x轴恒有交点；4任意 x R, y R，都有 x2 + |y|0.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 C解析为真命题.5. 下列全称命题为真命题的是 ( )A .所有的素数是奇数B .任意 x R, x2 + 3 3C.任意 x R,2x1= 0D .所有的平行向量都相等 答案 B6. 下列命题中，真命题是 .1存在 Xo 0, n，sin Xo+ cos xo2；2任意 x (3,+s ), x22x+ 1；3存在m R，使函数f(x)= x2 + mx(x R)是偶函数；n4任意 x , n ,

13、 tan xsin x.答案解析对于,此命题为假命题；对于，当 x (3 ,+s)时，x2 2x 1 = (x 1)2 20,此命题为真命题；对于，当m= 0时，f(x) = x2为偶函数，此命题为真命题；n对于，当 x , n 时，tan x03, xa恒成立，则实数 a的取值范围是 .答案(汽3解析 对任意x3, xa恒成立，即大于 3的数恒大于a, a0恒成立；存在 x Q , x2 = 2;存在x R ,X2 + 1 = 0；任意x R,4x22x 1 + 3x2.其中真命题的个数为 .答案 0解析 x2 3x+ 20, = ( 3)2 4X 20,当 x2 或 x0 才成立，为假命题

14、.当且仅当x= 2时，x2= 2, 不存在x Q，使得x2= 2,为假命题，对任意x R, x2+ 1工0,为假命题，4/ (2x 1 + 3x2)= x2 2x+ 1 = (x 1)2 0,即当 x= 1 时，4x2= 2x 1+ 3x2 成立，为假命题. 均为假命题.11.判断下列命题的真假：(1)对任意 x R, |x|0;对任意a R，函数y= log ax是单调函数；对任意x R, x2 1;存在a 向量，使a b= 0.解(1)由于0 R，当x= 0时，|x|0不成立，因此命题 “对任意x R, xi0”是假命题.由于1 R，当a = 1时，y= logax无意义，因此命题 “对任

15、意a R，函数y = logax是单调函数”是假命题.由于对任意x R，都有x20,因而有x2 1.因此命题“对任意x R , x2 1 ”是真命题.由于0 向量，当a= 0时，能使ab= 0，因此命题“存在a 向量，使ab = 0”是真命题.12.已知函数 f(x)= x2 2x+ 5.(1)是否存在实数 m,使不等式 m+ f(x)0对于任意x R恒成立？并说明理由；若存在实数x,使不等式m f(x)0成立，求实数 m的取值范围.解 不等式 m+ f(x)0 可化为 m f(x)，即 m x2 + 2x 5 = (x 1)2 4.要使 m (x 1)2 4对于任意x R恒成立，只需 m 4

16、即可.故存在实数 m使不等式m+ f(x)0对于任 意x R恒成立，此时 m 4.(2)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x).若存在实数x使不等式mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)= (x 1)2 + 4,所以 f(x)min = 4,所以 m4.故所求实数m的取值范围是(4,+ a).三、探究与拓展13.若任意x R，函数f(x)= mx2 + x m a的图像和x轴恒有公共点，求实数 a的取值范围.解 当m= 0时，f(x)= x a与x轴恒相交，所以 a R;当m0时，二次函数f(x) = mx2 + x m a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是 = 1+ 4m(m+ a) 0 恒成立，即 4m2+ 4am+ 1 0 恒成立.又4m2 + 4am + 1 0是一个关于 m的二次不等式，恒成立的充要条件是 = (4a)2 16 0,解得K a 1.综上所述,当 m=0 时, a R；当 m 0 时，a 1,1.