九年级数学上册比例线段.docx
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九年级数学上册比例线段
比例线段
学习目标：
1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用.
2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值.
3.了解黄金分割的意义.
学习重点：
比例线段的概念及性质.
学习难点：
黄金分割的运用.
一、知识链接
1.已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______.
2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？
怎样表示比例？
说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？
二、新知预习
3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？
理由是什么？
如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例.
可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段.
三、自学自测
1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；
（2）a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
一、要点探究
探究点1：
成比例线段
例1：
下列四组线段中，是成比例线段的是（）
A.3cm，4cm，5cm，6cmB.4cm，8cm，3cm，5cm
C.5cm，15cm，2cm，6cmD.8cm，4cm，1cm，3cm
【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：
（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；
（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【对训练】
1.已知：
四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.
（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
2.在比例尺为1：
50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是m.
思路分析：
根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解.
探究点2：
比例的性质
（一）比例的基本性质
问题1：
如果a,b,c,d四个数满足,那么ad和bc相等吗？
并说明理由
答：
________.理由如下：
∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.
∴在等式两边同时乘以bd，得____________.
即若，则ad=bc.
问题2：
试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？
如何证明？
逆命题是：
如果ad=bc,那么_______.
请仿照问题1证明：
【归纳】比例的基本性质：
如果ad=bc,那么________（b,d≠0）.
例2：
已知a＋3b2b＝72，求ab的值.
解：
解法1：
由比例的基本性质，
_________.
∴a＝____b，∴ab＝____.
解法2：
（倒数法）由a＋3b2b＝72，得________＝7，
∴____________，∴ab＝_______.
【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
（二）等比的性质
（1）我们知道，由
（2）试猜想：
并证明你的猜想.
【对训练】
1.已知a：
b：
c＝3：
4：
5，求2a－3b＋ca＋b的值.
2.已知ab＝cd＝ef＝2，且b＋d＋f≠0，求a－2c＋3eb－2d＋3f的值.
3.若a，b，c都是不等于零的数，且a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，求k的值.
探究点3：
黄金分割
问题：
1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC、BC的程度，然后计算，它们的值相等吗？
2.已知线段AB的长度为1个单位，段AB上找一点C，使较短的线段BC与较长的线段AC的比等于AC与原线段的比，即使成立，求此时线段AC的长.
3.你能段上画出点C的大概位置吗？
这样的点有几个？
【归纳】段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，AC/AB称为黄金分割点.
例3：
已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝5－1，求原线段AB的长.
【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
【对训练】
1.已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：
（1）AC－BC；
（2）AC·BC.
2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
二、课堂小结
比例线段内容运用策略
线段的比在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，判断四条线段是否成比例，首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
比例的性
质①如果，那么________;②如果ad=bc，那么________;③等比的性质：
____________.把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
黄金分割①一条线段的的黄金分割点有___个；②黄金分割比为__________.如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC=______AB，BC=_______AB.
1.下列各组数中一定成比例的是（）
A.2，3，4，5.B.-1，2，-2，4.
C.-2,1,2，0.D.a，2b，c，2d.
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下面所给的比例式正确的是（）
A.m：
n=p：
qB.m：
p=n：
q.
C.m：
q=n：
pD.m：
p=q：
n.
3.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝（）
A．5－1B．3－5C．5－12D．5－1或3－5
4.已知线段x＝12cm，y＝4cm.线段x和y的比例中项为a，则a＝________cm.
5.已知三条线段的长度分别为1cm，2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．
6.已知a3＝b4＝c5≠0.
（1）若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；
（2）求2a－3b＋ca的值．
7..如图，已知线段AB.
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD＝12AB.
（2）连结AD，在DA上截取DE＝DB.
（3）在AB上截取AC＝AE.
请你根据以上作法，证明点C是线段AB的黄金分割点．
当堂检测参考答案：
1.B2.D3.D4.43
5.所给的线段长为xcm，则有
①x1＝22，x＝22；②1x＝22，x＝2；
③12＝2x，x＝22故再给出的一条线段长应为22cm或2cm或22cm.
6.
（1）设a3＝b4＝c5＝k（k≠0），
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，
解得k＝2.
所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.
（2）由
（1）得a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以2a－3b＋ca＝－k3k＝－13.
7.设AB＝2x，则BD＝DE＝x，根据勾股定理，得AD＝AB2＋BD2＝（2x）2＋x2＝5x，则AC＝AE＝5x－x＝（5－1）x.
∵ACAB＝5－12，
∴点C是线段AB的黄金分割点．
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【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
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