三角函数倍角公式.docx

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三角函数倍角公式

三角函数倍角公式

复习重点:

二倍角公式

二倍角的正弦公式：

sin2A＝2sinAcosA

二倍角的余弦公式：

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

二倍角的正切公式：

tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga

对公式的再认识：

（1）适用范围：

二倍角的正切公式有限制条件：

A≠kπ＋

且A≠

＋

（k∈Z）；

（2）公式特征：

二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。

（3）公式的灵活运用：

正用、逆用、变形用。

复习难点:

倍角公式的应用

复习内容:

小结：

倍角公式：

sin2A＝2sinAcosA

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

tan2A＝

化“1”公式（升幂公式）

1＋sin2A＝（sinA＋cosA）2，

1－sin2A＝（sinA－cosA）2

1＋cos2A＝2cos2A

1－cos2A＝2sin2A

降幂公式

cos2A＝

sin2A＝

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

　　由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.

　　倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即

，

进一步得到半角公式:

　降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于

所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:

.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan

也可表示sinα,cosα,tanα，即:

，

，

这组公式叫做“万能”公式.

　　教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

　　例1．推导三倍角的正弦、余弦公式

　　解:

sin3α=sin（2α+α）

　　cos3α=cos（2α+α）

　　例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.

　　解:

∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

　　∵cos18°≠0　　∴2sin18°=4cos218°-3　∴2sin18°=4-4sin218°-3

　　∴4sin218°+2sin18°-1=0

　　∴

.本题还可根据二倍角公式推出cos36°.

　　即

.

　　例3．化简求值:

（1）csc10°-

sec10°

（2）tan20°+cot20°-2sec50°

　　解:

（1）csc10°-

sec10°

（2）tan20°+cot20°-2sec50°

　　例4．求:

sin220°+cos250°+sin30°sin70°

　　解:

sin220°+cos250°+sin30°sin70°

　　例5．已知:

.求:

cos4θ+sin4θ的值.

　　解:

∵

　　∴

即

，

　　即

，∴cos4θ+sin4θ

　　例6．求cos36°·cos72°的值.

　　解:

cos36°·cos72°

　　例7．求:

的值.

　　解:

　　上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足

（1）余弦相乘，

（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

　　例8．已知:

2cosθ=1+sinθ，求

.

　　方法一:

∵2cosθ=1+sinθ，∴

　　∴

或

，∴

　　∴

∴

或

=2.

　　方法二:

∵2cosθ=1+sinθ，∴

　　∴

　　∴

或

∴

或

=2.

　　例9．已知:

，求:

tanα的值.

　　解:

∵

，∴

，

　　∵0≤α≤π,　　∴

∴

（1）当

时,　

，

　　则有

∴

，∴

，∴

，

　　∴

.

（2）当

，则有

，

　　∴

，　　∴

，∴

.

　　注意:

1与sinα在一起时，1往往被看作

，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.

　　例10．已知:

sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,cosθ为等比数列.求证:

2cos2α=cos2β.

　　证明:

∵

，∴

　　∴4sin2α=1+2sin2β　　∴2-4sin2α=2-1-2sin2β　　∴2cos2α=cos2β.

　　课后练习:

　　1．若

，则（）.

　　A、P

Q　　B、P

Q　　C、P=Q　　D、P∩Q=

　　2．若A为ΔABC的内角，

，则cos2A=（）.

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、

　　3．若

，则sin2θ=（）.

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、

　　4．若

，则sinθ=（）.

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、-

　　5．若

，则

=（）.

　　A、

　　B、

　　C、1　　D、-1

　　6．若

，则cosα=________.

　　7.若θ为第二象限角，且

，则

=_____.8．已知sinA+cosA=2sinB.求证:

cos2B=cos2

.

　　参考答案

　　1.C　　2.B　　3.C　　4.C　　5.B　　6.

　　7.6