有限元基础知识归纳.docx

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有限元基础知识归纳

有限元基础知识归纳（总8页）

有限元知识点归纳

1.、有限元解的特点、原因

答：

有限元解一般偏小，即位移解下限性

原因：

单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49

（1）在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;

（2）在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；

（3）应包含完全一次多项式；

（4）应满足∑Ni=1

以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么（王勖成P131）

答：

等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：

为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：

其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：

在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散P42

答：

离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

6、数值积分，阶次选择的基本要求

答：

通常是选用高斯积分

积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。

选择时主要从两方面考虑。

一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。

1有限元法的基本原理

是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。

分析指导思想：

化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易

单元位移函数应满足什么条件

a、位移模式必须能反映单元的刚体位移

b、位移模式必须能反映单元的常量应变

c、位移模式应尽可能反映位移的连续性，相邻单元间要协调

刚度矩阵具有什么特点

A、刚度矩阵是对称矩阵

B、每个元素有明确的物理意义

C、刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的

D、刚度矩阵是一个稀疏矩阵

E、刚度矩阵是一个奇异阵

1．单元分析（平面桁架单元、平面梁单元、平面3节点三角形单元、平面4节点四边形单元、平面8节点四边形单元）

整体平衡方程中约束条件的处理

A、划行划列法：

零位移约束条件、非零位移约束条件

B、乘大数法

13.有限元分析的基本步骤

（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定

（2）等效结点力的计算

（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）

（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移

（5）应力计算

14.形函数的性质

a、形函数Ni在结点i上的值等于1，在其他结点上的值等于0

b、在单元中的任一点，三个形函数之和等于1

c、在三角形单元边界ij上一点（x,y），有形函数公式

d、形函数Ni在单元上的面积积分和边界ij上的线积分公式为

为ij边的长度

15.平面问题中的应力分量应满足哪些条件

A、平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件

B、代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答

C、代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在

6、位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断

影响有限元解的误差：

1）离散误差2）位移函数误差

•收敛准则：

1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）

——3节点三角形单元为例证明

2）位移函数必须包括单元的刚体位移（即单元应变

为0时的位移）（即常量项）

（平动和转动），

3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）,因为线性函数，内部连续。

4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）,（相邻单元在公共边界上位移值相同）。

设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：

边界上位移为

u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。

综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元

注：

上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。

满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。

5、位移函数的构造方法及基本条件

定义：

有限单元法的基本原理是分块近似，对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数

1.）广义坐标法——构造一维单元位移函数：

3节点三角形单元的位移函数

为待定系数，也称为广义坐标

2.）插值函数法——即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。

一维：

二维：

Ni可为形函数

•选择位移函数的一般原则（基本条件）：

1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；

2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。

注：

为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解

1、平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等

1.）平面应力问题：

如等厚度薄板。

弹性体在一个坐标方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度变化的外力（表面力或体积力）。

在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即

（

）。

一般

，

并不一定等于零，但可由

及

求得，在分析问题时不必考虑。

于是只需要考虑

三个应变分量即可。

2．）平面应变问题：

如长厚壁圆筒（受均匀内压或外压）重力坝

一纵向（即Z向）很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。

此外，在这一情况下，由于对称（任一横截面都可以看作对称面），所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即w=0这种问题称为平面位移问题，习惯上常称为平面应变问题。

只剩下三个应变分量

。

也只需要考虑

三个应力分量即可。

两种平面问题，几何方程，虚功方程，物理方程相同。

弹性矩阵不同。

3.）空间轴对称问题—即弹性体内任一点的位移、应力与应变只与坐标r、z有关，与

无关

•几何形状关于轴线对称；

•作用于其上的载荷关于轴线对称。

•约束条件关于轴线对称。

轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）

•轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；

•节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；

•单元边界是一回转面；

•应变分量

中出现了

，即应变不是常量；且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。

4.）力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板

，且能承受横向或垂直于板面的载荷。

如板不是平板而为曲的（指一个单元），则称为壳问题。

如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。

•常用的单元有三角形和矩形。

为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。

每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角

•薄板矩形/三角形单元是非协调单元（相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续）。

但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。

3、有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5步）

有限元法的基本思想:

•先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替（第一次近似）

•对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数（第二近似）

•基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）

•借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。

有限元分析的基本步骤:

•所研究问题的数学建模

•物体离散（第一次近似）

网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元

边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷

要求：

1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性

•单元分析（第二近似）

•整体分析与求解，整体分析的四个步骤：

1、）建立整体刚度矩阵；

2、）根据支承条件修改整体刚度矩阵；

3、）解方程组，求节点位移（消元法和迭代法）；

4、）根据节点位移求出应力。

•结果分析及后处理

10、形函数特点

即插值基函数，反映了单元的位移形态，由节点位移求单元内任意一点的位移

1）形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。

2）形函数Ni在i节点处的值等于1，

而在其他节点上的值为0。

3）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。

4）形函数的值在0—1间变化。

11、单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义

1.）对常应变三角形单元：

单元刚度阵的一般格式可表示为

则

它建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

2.）平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵

单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。

其元素

的意义为：

当第j个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自由度上所施加的力。

若按节点来说明，则刚阵中每个子块

表示：

当节点j处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i上所施加的力。

K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。

表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小

单元刚度矩阵的性质：

1）对称阵2）主对角线元素恒为正值3）奇异阵，即|K|=0，

4）所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。

由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。

由对称性可知，各行元素的总和也为零。

12、常用单元的特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布，相邻单元边界的协调性分析）（常应变单元三角形/四面体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）

1.）三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）

应变矩阵[B]反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系

•应力矩阵[S]反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系

•显然，常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。

由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。

2.）矩形单元：

4节点8自由度矩形单元。

位移函数

•该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元；且为等参单元

•应变矩阵[B]的元素是x，y的函数，应力也是随x或y线性变化的。

较常应变单元有更高的计算精度

矩形板单元：

13、等参单元定义、存在条件及特性

定义：

矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。

实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。

等参单元具有此特点。

即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。

由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。

借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。

•等参变换：

采用相同的节点数和形函数，将局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几何形状扭曲的单元，以满足任意形状离散的要求

存在条件及特性：

•等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。

•等参单元存在的充要条件是：

[J]称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当[J]的逆存在时，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。

•为了保证能进行等参变换（即总体坐标与局部坐标一一对应），通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。

•等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。

•上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂，积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。

•上述推导要求：

保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。

如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元，反之，为亚单元。

这两类单元的收敛性也可得到满足。

15、总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点

1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在某一节点处所有单元在该节点上有相同位移，

2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。

即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri，

1.）对称性。

只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。

2.）稀疏性。

矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。

节点5只与周围的六个节点（2、3、4、6、8、9）用三角形单元相连，它们是5的相关节点。

在矩阵[K]中，第5行的非零子块只有七个（即与相关节点对应的七个子块）。

3.）带形分布规律。

矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。

在半个带形区域中（包括对角线元素在内），每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。

半带宽的一般计算公式是：

半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2

利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。

同一网格中，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。

2、单元刚阵计算

在单元刚阵

中，

表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，

表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。

如：

计算

时，与节点2和3相关的单元有单元①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构在节点2的节点力

3、总体刚度矩阵组装

1.）结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m,称为节点的局部码。

在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。

得到扩大的单元刚度方程

2.）据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加=节点载荷：

3.）整理可得整体平衡方程：

，其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵