考研数学二真题解析.docx
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考研数学二真题解析
2007年考研数学二真题解析
一•选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1）当x>0•时，与,x等价的无穷小量是
（B）
A.1-ex
B.ln-
1-x
C.J-.x-1
D.1-COS、、x
（2）函数f（x）
1
（e——e）tanx在区间丨-二，二I上的第一类间断点是x=（A）
x（ex-e）
A.0
B.1
兀
C.
2
（3）如图。
连续函数y二f（x）在区间1-3^21,1.2,31上的图形分别是直径为1的上、下半
圆周，在区间〔-2,01,[0,2上图形分别是直径为2的上、下半圆周,
设F（x）二
x
0f（t）dt,则
下列结论正确的是：
3
A..F（3）F（-2）
4
C.F（-3）—：
F
（2）
4
⑷设函数f（x）在x=0处连续，
A.若limf（x）存在，则f（0）=0B.若limxTxT
C.若limf（x）
5B.F（3）F
（2）
4
5
D.F（-3）F（£）
4
下列命题错误的是（C）
f（x）+f（-x）存在,
x
f（0）=0
（5）曲线
A.0
存在,则f（0）=0D.limf（x）一f（-x）存在,
xx）0
1x
yln（1ex）,渐近线的条数为
x
B.1
（6）设函数
C.2
D.3
f（0）=0
（D）
f（x）在（0,上具有二阶导数,
且f"（X）0,令Un=
f（n）=1,2.......,n,贝忡
列结论正确的是
（D）
A.若比U2，则gf必收敛
B.若Ui
U，则山"必发散
C.若Ui:
:
:
U，则gI必收敛
D.若Ui
:
：
u，则'Un』必发散
（7）二元函数
f（x,y）在点（0,
0）处可微的一个充分条件是
（B）
A.（x,yi弭0）[f（x,y）-f（0,0）]=0
B.limfx，0-f0,0.0，且limf0，y-f0,0.0
xm0
fx,0-f0,00
0~2~2
d.四［f'x（x,0）—f；（0,0）卜0,且lym^-f'y（
-f'y（O,O）=0,
1兀七rcsiny
cdy二f（x,y）dx
0—
2
1n-arcsiny
ddy二f（x,y）dx
0—
2
（9）设向量组〉1,〉2,〉3线形无关，则下列向量组线形相关的是：
（A）
（13）设函数y，则yn0=23*
2x+3
（14）二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y叶3y=2e2x的通解y=_Gex+C2e3x-2e2x
f（u,v）是二元可微函数，z=f（丿，上）
xy
‘0100"
0010口「3
（16）设矩阵A=，则A的秩为1
0001^0000?
三、解答题：
17-24小题，共86分。
请将解答写在答题纸指定的位置上。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）设f（x）是区间0,丄上单调、可导函数，且满足f（x）f」（t）dt=x严t—sintdt
IL400sintcost
其中f」是f的反函数，求f（x）。
【详解】：
设y二f（t）,则t=fJ（y）。
则原式可化为:
x
f丄（0）yf'（y）dy
x,cost-sint,,
tdt
0sintcost
…、cosx—sinx等式两边同时求导得：
xf（x）二X
sinx+cosx
…、co-sixn
f乂戶sinxccxs
（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线y=Vxa-a-1,0乞x”：
；心！
下方、x轴上方的无界区域。
（I）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；
（n）当a为何值时，V（a）最小？
并求此最小值。
【详解】：
（I）V（a）=
.xa2■'
07yd^0«xa2a）dx]na）2
221
2a（lna）2-a2（2lna）
（II）V（a）42=0得Ina（lna-1）=0
（lna）
故lna=1
2即a=e是唯一驻点，也是最小值点，最小值V（e）=e兀
（19）求微分方程y”X•y'2二y'满足初始条件y
（1）=y'
（1）=1的特解。
【详解】:
设p叮畔，则y詈代入得:
乎（xp2
dx
）=P罟
dp
du
upup=
dp
由于
y
（1）=1
dy
dx
c2
由y（i）=1=
C2
或C2
3
（20）已知函数f（a）具有二阶导数，且
f'（0）=1,函数
二y（x）由方程
d2z
定。
设z=f（lny-sinx）,求dz
dx
【详解】:
y「xey」=1两边对x求导得y"「（ey'■xey，y）=0
ey4
故有y
1-4
e
x=0
1
2-1
I"
dxz
x=0
1
二f（Iny「sinx）（y"「cosx）2f（lny「sinx）（「y
sinx）x=0
二f（0）（11-1）2f（0）（学10）=1（T）=T
1
（21）（本题11分）
设函数f（x）,g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f（a）二g（a）,f（b）二g（b）证明：
存在（a,b）,使得f"（）=g"（）
【详解】：
证明：
设f（x）,g（x）在（a,b）内某点c：
=（a,b）同时取得最大值，则f（c）=g（c），此时的c
就是所求点使得f（）=g（）。
若两个函数取得最大值的点不同则有设
f（c）=maxf（x）,g（d）=maxg（x）故有f（c）一g（c）0,g（d）-f（d）：
：
0，由介值定理,
在（c,d）内肯定存在使得f（）=g（）由罗尔定理在区间（a,）,（,b）内分别存在一点
1,2,使得f（l）=f
（2）=0在区间「1「2）内再用罗尔定理，即存在：
（a,b），使得f"（J二g"「）
（22）（本题满分11分）
设二元函数f（x,y）=«
（2x.
1兰x+|y兰2.
1
22
xy
计算二重积分JJf（x,y）d6其中D={（x,y）||x|+|y|M2）
D
【详解】:
D如图
（1）所示，它关于x,y轴对称，f（x,y）对x,y均为偶函数，得
Hf（x,y）d；：
「=4hf（x,y）d二
DD1
其中D1是D的第一象限部分。
由于被积函数分块表示，将D1分成（如图
（2））：
Dj-D^Ud^,且
D“：
x+|y兰1,x30,yKO
D12:
1£x+|y兰2,xK0,y30
是f（x,y）df（x,y）d一亠11f（x,y）d二•而
D1D12
D12
11_x
f（x,y）d；「=0dx0xdy-
D11
1x*2（1-x）dxJ
03
丄
12
1
!
.!
.f（x,y）d；「：
11
D12【
^12.2：
d°=
D12.xy
丑
0°、
2
cos
1
cos
于呼1rdr（极坐标变换）
J-sin二r
d8
cosJsin
2de
0
2d（^
K
2
02二
^tan22tan2
F1曇=；U（悬+是）dt」畀'2一；10=〜：
2一1=2ln（21
2du
2
12du1
12~
°1-u2u°2-（u-1）
所以
12
..f（x,y）d—122ln（21）
1
f（x,y）d；「=4（石D12
（23）（本题满分11分）
捲+x2+x3=0
设线性方程组《捲+2x2+ax3=0
（1）
2
凶+4x2+ax3=0
与方程为2x2怡=a-1
（2）
有公共解，求a的值及所有公共解
【详解】：
因为方程组
（1）、
（2）有公共解，即由方程组
（1）、
（2）组成的方程组
2x2
x1
4x2
2x2
的解。
1
1
0、
1
1
0'
0
2
a
0
T
0
1
a-1
0
1
4
2a
0
0
0
-1
0
11
2
1
aj」
1
<0
0
a2+3a十4
0」
即矩阵
方程组（3）有解的充要条件为
当a=1时，方程组⑶等价于方程组
（1）即此时的公共解为方程组
（1）的解。
解方程组
（1）的
基础解系为©=（1,0,-1）T此时的公共解为：
x=k，,k=1,2,…
1
1
10"
1
1
1
0'
当a=2时，方程组（3）的系数矩阵为
1
2
20
T
0
1
1
0
此时方程组（3）
1
4
40
0
0
0
1
1
11丿
<0
0
0
0丿
的解为为=0,x2=1,x3=-1，即公共解为:
k（0,1,-1）T
（24）设3阶对称矩阵A的特征向量值-1=1,=2,=-2,>1=（1-1,1）T是A的属于'1的
一个特征向量，记B=A5-4A3E其中E为3阶单位矩阵（I）验证：
1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量（II）求矩阵B
【详解】:
（I）可以很容易验证A-^=■1--1（n=1,2,3…），于是
Ba^（A5—4A+E）^—4；+1妬=-2.1
于是是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
■（B）=（A）5-4（A）31，
所以B的全部特征值为一2,1,1.
前面已经求得为B的属于一2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为匕必2必）丁，所以有方程如下：
片-x2x3=0
于是求得B的属于1的特征向量为口2=（—1,0,1几口3=（1,1,0）T
1-11
（n）令矩阵P=£（1,0（2,口3]=-101，则P」BP=diag（—2,1,1），所以
110
I
「1
-1
1
B=P，diag2,1,1广P
—
1
0
1d卜ag（
1
1
0
1
1
-
0
1
-11
L
=
1
0
1
■
-1
1
0」
2）
1）
^1
1H3
1-3
13
-
125
0rr?
cossin2sincos
22
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