河北省中考数学试题及参考答案word解析版.docx
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河北省中考数学试题及参考答案word解析版
2001年河北省中考数学试题及参考答案
一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）用科学记数法表示12700的结果是 ．
2．（2分）分母有理化
= ．
3．（2分）分解因式：
x2﹣xy+xz﹣yz= ．
4．（2分）如果∠A=35°18′，那么∠A的余角等于 ．
5．（2分）用换元法解分式方程
时，若设
，则原方程化成的关于y的整式方程是 ．
6．（2分）若三角形的三边长分别为3、4、5，则其外接圆直径的长等于 ．
7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为 ．
8．（2分）点A（a，b）、B（a﹣1，c）均在函数
的图象上．若a＜0，则b c（填“＞”、“＜”或”=”）．
9．（2分）在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB= 度．
10．（2分）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题．每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确．要求学生把正确答案选出来．每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么，他至少选对了 道题．
二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）计算（2﹣1）2结果等于（ ）
A．2B．4C．
D．
12．（2分）有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）
A．
B．4C．
D．2
13．（2分）若x1，x2是一元二次方程3x2+x﹣1=0的两个根，则
的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
14．（2分）已知三角形三条边的长分别是2、3和a，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜3B．0＜a＜5C．a＞2D．1＜a＜5
15．（2分）在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．根的情况无法确定
16．（2分）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=
，AC=3，则CD的长为（ ）
A．1B．4C．3D．2
17．（2分）某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，则这所中学现在的初中在校生和高中在校生人数分别是（ ）
A．1400人和2800人B．1900人和2300人C．2800人和1400人D．2300人和1900人
18．（2分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2B．y=x2+3x+2C．y=x2﹣2x+3D．y=x2﹣3x+2
19．（2分）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）
A．bc﹣ab+ac+c2B．ab﹣bc﹣ac+c2C．a2+ab+bc﹣acD．b2﹣bc+a2﹣ab
20．（2分）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程
的两根之差为
，则等腰三角形的一个底角是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
三、解答题（本大题共8小题，满分80分）
21．（7分）先化简，再求值：
，其中
．
22．（7分）已知：
P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：
△ADM∽△MCP．
23．（7分）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸AB=15cm，OM=8cm，并且MB：
MA=1：
4．求工件半径的长．
24．（8分）某班同学参加环保知识竞赛，将学生的成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图（如图）图中从左到右各小组的小长方形的高的比为1：
3：
6：
4：
2，最右边一组的频数是6，结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（1）该班共有多少名同学参赛？
（2）成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少？
（3）求成绩在60分以上（不含60分）的学生占全班参赛人数的百分率．
25．（12分）甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车的位置，我们用数轴Ox表示这条公路，原点O为零千米路标（如图），
并作如下约定：
①速度v＞0．表示汽车向数轴正方向行驶；
速度v＜0，表示汽车向数轴负方向行驶；
速度v=0，表示汽车静止．
②汽车位置在数轴上的坐标s＞0，表示汽车位于零千米路标的右侧；
汽车位置在数轴上的坐标s＜0，表示汽车位于零千米路标的左侧；
汽车位置在数轴上的坐标s=0，表示汽车恰好位于零千米路标处．
遵照上述约定，将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况，以一次函数图象的形式画在了同一直角坐标系中，如图
请解答下列问题：
（1）就这两个一次函数图象所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格．
行驶方向
速度的大小（km/h）
出发前的位置
甲车
乙车
（2）甲乙两车能否相遇如能相遇，求相遇时的时刻及在公路上的位置；如不能相遇，请说理由．
26．（12分）在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．
某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当
时，有
（如图）
（2）当
时，有
（如图）
（3）当
时，有
（如图）
在图中，当
时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示
的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）
27．（13分）某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：
单价为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多销售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y与x的二次函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）将
（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．写出顶点坐标，并在图中画出草图；观察图象，指出单价定为多少时日均获利最多是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
28．（14分）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；
（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；
（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．
参考答案与解析
一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）用科学记数法表示12700的结果是 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：
用科学记数法表示12700的结果是1.27×104．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：
a是只有一位整数的数；
（2）确定n：
当原数的绝对值≥1时，n为非负整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
2．（2分）分母有理化
= ．
【考点】分母有理化．
【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
【解答】解：
原式
，
【点评】要正确使用平方差公式，去掉分母中的根号．
3．（2分）分解因式：
x2﹣xy+xz﹣yz= ．
【考点】56：
因式分解﹣分组分解法．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．
【解答】解：
x2﹣xy+xz﹣yz，
=（x2﹣xy）+（xz﹣yz），
=x（x﹣y）+z（x﹣y），
=（x﹣y）（x+z）．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．
4．（2分）如果∠A=35°18′，那么∠A的余角等于 ．
【考点】余角和补角．
【分析】根据余角的定义计算．
【解答】解：
如果∠A=35°18′，那么∠A的余角等于90°﹣35°18′=54°42′．
故填54°42′．
【点评】本题考查余角的定义，和为90°的两角互为余角．
5．（2分）用换元法解分式方程
时，若设
，则原方程化成的关于y的整式方程是 ．
【考点】换元法解分式方程．
【分析】观察方程的两个分式具备的关系，若设
，则原方程另一个分式为
，可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母即可．
【解答】解：
，则
，代入原方程得：
y+
+3=0，
方程两边同乘以y整理得：
y2+3y+2=0．
【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
6．（2分）若三角形的三边长分别为3、4、5，则其外接圆直径的长等于 ．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．则其外接圆的直径等于斜边的一半．
【解答】解：
∵三角形的三边长分别为3、4、5，
32+42=52，
∴根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，
∴根据直角三角形的性质，熟记其外接圆的直径等于斜边长，得R=5，
故填5．
【点评】能够根据勾股定理的逆定理发现这是一个直角三角形，根据直角三角形的性质，熟记其外接圆的半径等于斜边的一半．
7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为 ．
【考点】切线的性质．
【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据条件可证∠ABD=90°，BD=AB=2，由勾股定理得
，故可求得OD=OA=
，可求出⊙O的面积．
【解答】解：
连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠BAC=∠BDA=45°，∠ABD=90°
∴BD=AB=2，
；
∵OD=OA=
，
∴⊙O的面积=π（
）2=2π．
【点评】本题比较简单，考查的是圆周角定理及等腰直角三角形的性质，属较简单题目．
8．（2分）点A（a，b）、B（a﹣1，c）均在函数
的图象上．若a＜0，则b c（填“＞”、“＜”或”=”）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的增减性，k＞0，当a＜0时，两坐标位于第三象限的图象上，y随x的增大而减小，由此判断a、b的大小．
【解答】解：
∵函数
的图象位于一、三象限，
又∵a＜0，
∴a﹣1＜0，A（a，b），B（a﹣1，c）均在第三象限的分支上，在这个分支上y随x的增大而减小，
∵a＞a﹣1，
∴b＜c．
故答案为b＜c．
【点评】本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．
9．（2分）在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB= 度．
【考点】三角形内角和定理；IJ：
角平分线的定义．
【分析】根据余角、补角的定义计算．
【解答】解：
设锐角∠A大小为x，则锐角∠ABC的邻补角为90°+x；
可得∠ADB=180°﹣（
+90°﹣x+45°+
）=45°．
【点评】本题考查余角、补角的定义及角平分线性质的运用；α的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α．
10．（2分）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题．每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确．要求学生把正确答案选出来．每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么，他至少选对了 道题．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】将选对题所得的总分减去不选或选错扣的总分，应大于等于60分，列出不等式进行求解即可．
【解答】解：
设他至少选对了x道题，则不选或选错的题为25﹣x道，依题意，得：
4x﹣2（25﹣x）≥60，
解得：
x≥
，
∵x为正整数，
∴x=19，即他至少选对19道题．
【点评】在运用不等式进行解题时，应注意为未知量的限制条件．
二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）计算（2﹣1）2结果等于（ ）
A．2B．4C．
D．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂的定义和乘方进行解答．
【解答】解：
（2﹣1）2=
，
故选C．
【点评】解答此题要熟知：
数的负指数幂等于数的正指数幂的倒数．
12．（2分）有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）
A．
B．4C．
D．2
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．
【解答】解：
经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，
则∠B=60度，∠O=30度，
在直角△OBC中，根据三角函数得到OB=4．
故选B．
【点评】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．
13．（2分）若x1，x2是一元二次方程3x2+x﹣1=0的两个根，则
的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】根与系数的关系．
【分析】欲求
的值，先把此代数式变形为
的形式，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入数值计算即可．
【解答】解：
∵x1、x2是方程3x2+x﹣1=0的两个实数根，
∴x1+x2=
，x1•x2=
．
∴
，
故选C
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．（2分）已知三角形三条边的长分别是2、3和a，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜3B．0＜a＜5C．a＞2D．1＜a＜5
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【解答】解：
3﹣2＜a＜3+2，即l＜a＜5．故选D．
【点评】考查了三角形的三边关系．
15．（2分）在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．根的情况无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：
∵若a与c异号，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点评】总结：
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．（2分）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=
，AC=3，则CD的长为（ ）
A．1B．4C．3D．2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】依题意，易证△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例解答即可．
【解答】解：
∵在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，BC与AC是对应边，CD与BC是对应边，
∵BC=
，AC=3，
∴△BCD与△ACB的相似比是
，CD=
BC=2．
故选：
D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边的比相等．
17．（2分）某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，则这所中学现在的初中在校生和高中在校生人数分别是（ ）
A．1400人和2800人B．1900人和2300人C．2800人和1400人D．2300人和1900人
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．
本题有两个定量：
现有学生人数，一年后全校学生增加的人数．
根据定量可以找到两个等量关系：
现在初中在校人数+现在高中在校人数=4200；一年后初中在校增加的人数加一年后高中在校增加的人数=一年后全校学生增加的人数．
【解答】解：
设这所中学现在的初中在校生为x人，高中在校生人数为y人．
则
，
解得
，
故选：
A．
【点评】解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题中，现在初中在校人数+现在高中在校人数=4200这个等量关系很容易找出：
但还需找出最简单的，最不容易出差错的一年后初中在校增加的人数加一年后高中在校增加的人数=一年后全校学生增加的人数这个等量关系．
18．（2分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A．y=2x2+x+2B．y=x2+3x+2C．y=x2﹣2x+3D．y=x2﹣3x+2
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．
【解答】解：
设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：
，解之得
，
所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．
故本题选D．
【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．
19．（2分）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）
A．bc﹣ab+ac+c2B．ab﹣bc﹣ac+c2C．a2+ab+bc﹣acD．b2﹣bc+a2﹣ab
【考点】整式的混合运算；矩形的性质．
【分析】根据题中图形，空白部分面积实际上是一个长为（a﹣c），宽为（b﹣c）的新矩形，按照面积公式计算即可．
【解答】解：
本题中空白部分的面积=矩形ABCD的面积﹣阴影部分的面积．
矩形ABCD的面积为：
a×b=ab；
阴影部分的面积为：
a×c+b×c﹣c×c=ac+bc﹣c2；
那么空白部分的面积就应该为：
ab﹣ac﹣bc+c2；
故选B．
【点评】本题要注意图片给出的信息，要特别注意阴影中重叠部分的面积不要丢掉．
20．（2分）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程
的两根之差为
，则等腰三角形的一个底角是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【考点】根与系数的关系；等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把两根之差变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，得到a、b的关系后，再根据特殊角的三角函数值求得底角的度数．
【解答】解：
由根与系数的关系可知：
x1+x2=
，x1•x2=
，
又知（x1﹣x2）=
，
则（x1﹣x2）2=2，
即（x1+x2）2﹣4x1•x2=2，
∴
，
解得
，
∴底角的余弦cosC=
，
∴底角为30°．
故选B．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，特殊角的三角函数值．
三、解答题（本大题共8小题，满分80分）
21．（7分）先化简，再求值：
，其中
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】本题可先将两分式进行通分，然后把x的值代入化简后的式子求值即可．
【解答】解：
原式
当
时，原式
．
【点评】分式先化简再求值的问题，难度不大．
22．（7分）已知：
P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：
△ADM∽△MCP．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．
【分析】欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是正方形，M为CD中点，
∴CM=MD=
AD．
∵BP=3PC，
∴PC=
BC=
AD=
CM．
∴
．
∵∠PCM=∠ADM=90°，
∴△MCP∽△ADM．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
23．（7分）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸AB=15cm，OM=8cm，并且MB：
MA=1：
4．求工件半径的长．
【考点】勾股定理；相交弦定理．
【分析】如图两方向延长OM，交圆于C、D两点根据已知条件首先可以求出AM，MB的长度，设工件的半径为R，利用相交弦定理就可以求出工件的半径．
【解答】解：
如图，两方向延长OM，交圆于C、D两点，
∵MB：
MA=1：
4，而AB=15
∴AM=12，MB=3
根据相交弦定理得到CM•DM=AM•BM
设工件的半径为R，那么CM=R+8，DM=R﹣8
∴（R+8）•（R﹣8）=3×12
∴R=10
所以工件的半径为10cm．
【点评】此题比较简单，把图形补为相交弦的图形，利用相交弦定理就可以求出工件半径．
24．（8分）某班同学参加环保知识竞赛，将学生的成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图（如图）图中从左到右各小组的小长方形的高的比为1：
3：
6：
4：
2，最右边一组的频数是6，结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（1）该班共有多少名同学参赛？
（2）成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少？
（3）求成绩在60分以上（不含60分）的学生占全班参赛人数的百分率．
【考点】频数（率）分布直方图．
【分析】
（1）该班的总人数=最右边一组的频数÷最右边一组的频率；
（2）频率直方图中小
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