初中数学 第11章三角形 教案及试题.docx

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初中数学第11章三角形教案及试题

第十一章三角形

基础知识通关

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形按边分类：

三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

3.三边关系：

三角形任意两边的和第三边，任意两边的差第三边。

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

4.高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：

三角形的一个内角的与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.三角形的重心：

三角形三条的交点。

11.1.3三角形的稳定性

8.三角形的稳定性：

三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，当三角形三条边的长度均确定时，三角形的面积、形状完全被确定。

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

9.三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于。

10.三角形内角和定理推论：

（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

11.2.2三角形的外角

11.三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角和等于。

12.三角形外角的性质：

三角形的外角等于与它的两个内角的和。

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

13.多边形中的相关概念

多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的外角：

多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

凸多边形：

画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形。

凹多边形：

画出多边形的任意一条边所在直线，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形。

14.正多边形：

在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.3.2多边形的内角和

15.多边形内角和公式：

n边形的内角和等于。

16.多边形的外角和：

多边形的外角和为。

本章重点：

三角形的内角和定理、外角和定理

本章难点：

三边关系、多边形的内角和

单元检测

一．选择题（共10小题）

1．图中三角形的个数是（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

第1题图第3题图第6题图

2．下列长度的三条线段：

①3，8，4②4，9，6③15，20，8④9，15，8，其中不能构成三角形的是（）

A．①B．②C．③D．④

3.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．三角形的高线、中线、角平分线都是（）

A．直线B．线段

C．射线D．以上情况都有

5．下列说法：

①由三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形；

②三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形；

③直角三角形只有一条高；

④三角形三条中线交于一点，叫做三角形的重心．其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．46．在△ABC，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）

A．80B．70C．65D．60

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2．则∠BPC的度数为（）

A．70B．108C．110D．125

8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠B的度数是（）

A．30°B．35°C．40°D．50

9.下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）

A．

B．

C．

D．

10.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（）

A．10B．9C．8D．6

二．填空题（共10小题）

11.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是．

第11题图第12题图第13题图

12．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1+∠2+∠3＝度．

13.如图

①AD是△ABC的角平分线，则∠＝∠＝

∠，

②AE是△ABC的中线，则＝＝

，

③AF是△ABC的高线，则∠＝∠＝90°．

14.若三角形三条边长分别是1、a、3（其中a为整数），则a＝．

15.

如图，△ABC中，CD是高，CE是角平分线，且∠A＝60°，∠B＝38°，则∠DCE的度数是．

第15题图第16题图第17题图

16.如图，在△ABC中，EF∥BC，∠ACG是△ABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D，若

∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝．

17.正八边形的每个外角都等于度．

18.

如图，图形中x的值为．

第18题图第20题图

19.如果正多边形的一个外角为40°，那么它是正边形．

20.如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE．如果∠1+∠2＝230°，那么

∠C＝°．

三．解答题（共5小题）

21.已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．

（1）直接写出c及x的取值范围；

（2）若x是小于18的偶数

①求c的长；

②判断△ABC的形状．

22.如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，

（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是；

（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．

23.已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，CD和AE交于点F．

（1）若∠B＝40°，则∠CFE＝°，∠CEF＝°；

（2）

结合

（1）中的结果，探究∠CFE和∠CEF的关系，并说明理由．

24．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．

25.用两种方法证明“四边形的外角和等于360°”．

如图，∠DAE、∠ABF、∠BCG、∠CDH是四边形ABCD的四个外角．求证：

∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝360°．

四．附加题（共2小题）

26.已知，如图，AB与CD交于点O

（1）如图1，若∠A＝∠B，求证：

∠A+∠C＝∠B+∠D

（2）如图2，若∠A≠∠B，

（1）中的结论是否仍然成立？

请判断并证明你的结论（注：

不能用三角形内角和定理）

（3）如图3，若∠B＝65°，∠C＝25°，AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，请你

（2）中结论求出∠P的度数，请直接写出结果∠P＝．

27.

阅读理解：

请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．

（Ⅰ）问题引入：

如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A＝70°,则∠BOC＝度；若∠A＝α，则∠BOC＝（用含α的代数式表示）；

（Ⅱ）类比探究：

如图②，在△ABC中，∠CBO＝

∠ABC，∠BCO＝

∠ACB，∠A＝α．试探究：

∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．

（Ⅲ）知识拓展：

如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，

∠CBO＝

∠DBC，∠BCO＝

∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．

3.大于小于

4.垂线

5.对边中点

6.平分线

7.中线9.180°11.360°

12.不相邻

15.（n-2）×180°

16.360°

一．选择题（共10小题）

基础知识通关答案

单元检测答案

1.【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，根据图示得出三角形个数即可．

【解答】解：

图中三角形有△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC，故选：

C．

【知识点】1

2.【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各组数据进行判断即可．

【解答】解：

①3+4＝7＜8，不能构成三角形；

②4+6＝10＞9，能构成三角形；

③15+8＝23＞20，能构成三角形；

④9+8＝17＞15，能构成三角形．故选：

A．

【知识点】3

3.【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．

【解答】解：

三角形根据边分类，

∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：

D．

【知识点】2

4.【分析】根据三角形高线、中线、角平分线的定义作出判断．

【解答】解：

三角形的高线、角平分线和中线都是线段，故选：

B．

【知识点】4，5，6

5.【分析】根据三角形的定义、三角形的分类、直角三角形的判定、三角形的高线，三角形重心的定义分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：

①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故错误；

②三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故错误；

③直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故错误；

④三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，故正确；故选：

A．

【知识点】1，2，4，5，7

6.【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题．

【解答】解：

由题意：

x+65＝x+x﹣5，

∴x＝70，故选：

B．

【知识点】12

7.【分析】先根据∠1＝∠2得出∠2+∠BCP＝∠ACB，由三角形内角和定理即得出结论．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2

∴∠2+∠BCP＝∠ACB＝70°

∴∠BPC＝180°﹣∠2﹣∠BCP＝180°﹣70°＝110°故选：

C．

【知识点】9

8.【分析】直接根据直角三角形两锐角互余解答即可．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°

∴∠B＝30°故选：

A

【知识点】9，10

9.【分析】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．

【解答】解：

图形不是凸多边形的是A

故选：

A

【知识点】13

10.【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．

【解答】解：

∵正多边形的一个内角是135°

∴该正多边形的一个外角为45°

∵多边形的外角之和为360°

∴边数＝

＝8

∴这个正多边形的边数是8

故选：

C．

【知识点】13，16

二．填空题（共10小题）

11.【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．

【解答】解：

这种方法应用的数学知识是：

三角形的稳定性，故答案为：

三角形具有稳定性．

【知识点】8

12.【分析】利用三角形的外角和等于360°解答．

【解答】解：

∵三角形的外角和为360°

∴∠1+∠2+∠3＝360°

【知识点】11

13.【分析】根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．

【解答】解：

①AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝

∠BAC

②AE是△ABC的中线，则BE＝EC＝

BC

③AF是△ABC的高线，则∠AFB＝∠AFC＝90°

故答案为：

BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC

【知识点】4，5，6

14.【分析】根据三角形三边关系：

①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．

【解答】解：

∵三角形的两边长分别为1和3

∴第三边长a的取值范围是：

3﹣1＜a＜3+1即：

2＜a＜4

∴a的值为3

故答案为：

3

【知识点】3

15.【分析】在△ABC中和Rt△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB和∠BCD的度数，由CE平分∠ACB可得出∠BCE的度数，再结合∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE即可求出结论．

【解答】解：

在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝38°

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝82°

在Rt△BCD中，∠B＝38°，∠BDC＝90°

∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝52°

∵CE平分∠ACB

∴∠BCE＝

∠ACB＝41°

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝52°﹣41°＝11°故答案为：

11°．

【知识点】6，9，10

16.【分析】利用三角形的外角的性质求出∠DAC，可得∠BAC＝80°，求出∠B，利用平行线的性质即可解决问题．

【解答】解：

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC＝∠DAB

∵∠1＝∠2+∠DAC，∠1＝150°，∠2＝110°

∴∠DAC＝40°

∴∠BAC＝80°

∵∠1＝∠BAC+∠B

∴∠B＝70°

∵EF∥BC

∴∠3＝∠B＝70°故答案为70°

【知识点】6，12

17.【分析】正八边形每一个内角度数相等，每一个外角度数也相等，利用正八边形的外角和等于

360度即可求出答案．

【解答】解：

360°÷8＝45°．

【知识点】14，16

18.【分析】根据五边形的内角和等于540°计算即可．

【解答】解：

x°+（x+30）°+80°+x°+（x﹣10）°＝（5﹣2）×180°，解得x＝110．故答案为：

110．

【知识点】15

19.【分析】任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．

【解答】解：

360÷40＝9．故它是正九边形．故答案为：

九．

【知识点】16

20.【分析】根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数．

【解答】解：

∵四边形ABDE的内角和为360°，且∠1+∠2＝230°

∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°

∵△ABD的内角和为180°

∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣130°＝50°故答案为：

50

【知识点】9,15

三．解答题（共5小题）

21.【分析】

（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；

（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；

②利用等腰三角形的判定方法得出即可．

【解答】解：

（1）

∵a＝4，b＝6

∴2＜c＜10．

故周长x的范围为12＜x＜20．

（2）①

∵周长为小于18的偶数

∴x＝16或x＝14

当x为16时，c＝6；当x为14时，c＝4．

②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形．

【知识点】2，3

22.【分析】

（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；

（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：

（1）

∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5

∴1＜DC＜9

∵CD的长为奇数

∴CD的值为3或5或7

故答案为：

3或5或7；

（2）

∵AE∥BD，∠BDE＝125°

∴∠AEC＝55°又∵∠A＝55°

∴∠C＝70°．

【知识点】3，9

23.【分析】

（1）根据∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，可得∠ACD＝∠B，再根据AE是角平分线，可得∠BAE＝∠CAF，再根据∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，即可得到∠CFE和∠CEF的度数；

（2）根据∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，可得∠ACD＝∠B，再根据AE是角平分线，可得∠BAE＝∠CAF，再根据∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，即可得到

∠CFE＝CAF+∠ACD，∠CEF＝∠B+∠BAE，进而得出∠CFE＝∠CEF．

【解答】解：

（1）

∵∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝40°

∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°

∴∠ACD＝∠B＝40°，∠BAC＝50°又∵AE是角平分线

∴∠BAE＝∠CAF＝25°

∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角

∴∠CFE＝CAF+∠ACD＝65°，∠CEF＝∠B+∠BAE＝65°故答案为：

65；65；

（2）∠CFE和∠CEF相等，理由如下：

∵∠ACB＝90°，CD是高

∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°

∴∠ACD＝∠B又∵AE是角平分线

∴∠BAE＝∠CAF

∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角

∴∠CFE＝CAF+∠ACD，∠CEF＝∠B+∠BAE

∴∠CFE＝∠CEF

【知识点】6，7，12

24.【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．

【解答】解：

如图，连接AD．

∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠EDA

∴∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C

又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°

【知识点】12，15

25.【分析】连接AC,BD,由三角形外角和性质得∠EAD＝∠ADB+∠ABD,∠ABF＝∠CAB+∠ACB，

∠BCG＝∠CDB+∠CBD，∠CDH＝∠DAC+∠DCA，代入所求式子，利用三角形内角和是

180°即可求解．

【解答】法一：

解：

连接AC，BD

∵∠EAD＝∠ADB+∠ABD

∠ABF＝∠CAB+∠ACB

∠BCG＝∠CDB+∠CBD

∠CDH＝∠DAC+∠DCA

∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH

＝∠ADB+∠ABD+∠CAB+∠ACB+∠CDB+∠CBD+∠DAC+∠DCA

＝（∠ADB+∠ABD+∠DAC+∠CAB）+（∠ACB+∠DCA+∠CDB+∠CBD）

＝180°+180°＝360°

法二：

由平角的度数为180度，有：

∠EAD+∠BAD=180°，∠EBF+∠ABC=180°

∠FCG+∠BCD=180°，∠GDH+∠CDA=180°

∵四边形ABCD的内角和为（4-2）×180°=360°

∴∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°

∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH

=180°×4-（∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB）=360°

【知识点】9，12，15，16

四、附加题（共2小题）

26.【分析】

（1）依据平行线的性质，即可得到∠C＝∠D，即可得到∠A+∠C＝∠B+∠D；

（2）过A作AE∥BD，即可得出∠D+∠B＝∠OAE+∠OEA，再根据∠AEO是△ACE的外角，即可得出∠CAO+∠C＝∠B+∠D；

（3）由

（2）中结论可得，∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BDP+∠B＝∠BAP+∠P，进而得出

∠CAP+∠C+∠BDP+∠B＝∠CDP+∠P+∠BAP+∠P，再根据AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，即可得到∠C+∠B＝∠P+∠P，进而得到∠P＝

（∠C+∠B）＝

×90°＝45°．

【解答】解：

（1）

∵∠A＝∠B

∴AC∥BD

∴∠C＝∠D

∴∠A+∠C＝∠B+∠D

（2）

如图，过A作AE∥BD，则∠OAE＝∠B，∠OEA＝∠D

∴∠D+∠B＝∠OAE+∠OEA又∵∠AEO是△ACE的外角

∴∠AEO＝∠C+∠CAE

∴∠D+∠B＝∠OAE+∠C+∠CAE即∠CAO+∠C＝∠B+∠D

（3）由

（2）中结论可得：

∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BDP+∠B＝∠BAP+∠P两式相加，可得

∠CAP+∠C+∠BDP+∠B＝∠CDP+∠P+∠BAP+∠P

∵AP平分∠BAC，DP平分∠BDC

∴∠CAP＝∠BAP，∠CDP＝∠BDP

∴∠C+∠B＝∠P+∠P

∴∠P＝（∠C+∠B）＝×90°＝45°．

故答案为：

45°．

【知识点】6，12

27.【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义可求得

∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；

（Ⅱ）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到

∠AOC与∠B+∠D之间的关系；

（Ⅲ）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC＝

﹣

α．

【解答】解：

（Ⅰ）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°

∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点

∴∠OBC+∠OCB＝

（∠ABC+∠ACB）＝55°

∴∠BOC＝125°

∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α

∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点

∴∠OBC+∠OCB＝

（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣

α

∴∠BOC＝90°+

α

（Ⅱ）∠BOC＝120°+

α．理由如下：

∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝120°+

α

（3）∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）

＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）

＝180°﹣（180°+∠A）

＝

•180°﹣

【知识点】6，10