《整式的乘法与因式分解》单元检测卷附答案.docx
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《整式的乘法与因式分解》单元检测卷附答案
人教版数学八年级上学期
《整式的乘法与因式分解》单元测试
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列运算正确的是（）
A.x2＋x2＝x4B.3a3·2a2＝6a6C.（－a2）3＝－a6D.（a－b）2＝a2－b2
2.下列分解因式正确的是（ ）
A.m4﹣8m2+64＝（m2﹣8）2
B.x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）
C.4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
D.a（x﹣y）﹣b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
3.小明做了如下四个因式分解题，你认为小明做得不完整一题是（ ）
A.x2y﹣xy2=xy（x﹣y）B.m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2
C
a3﹣a=a（a2﹣1）D.﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）
4.（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A.0B.
C.﹣
D.﹣
5.下列计算正确的是（ ）
A.（2a﹣b）（﹣2a+b）=4a2﹣b2B.（2a﹣b）2=4a2﹣2ab+b2
C.（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2D.（a+b）2=a2+b2
6.若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（ ）
A.4 B.3 C.1D.0
7.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）
A.
B.
C.
D.
8.已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2（x－3）（x＋1），则b，c的值为（ ）．
A.b＝3，c＝－1B.b＝－6，c＝2
C.b＝－6，c＝－4D.b＝－4，c＝－6
9.下列运算正确的是（ ）
A.（x3）4=x7B.﹣（﹣x）2•x3=﹣x5C.x+x2=x3D.（x+y）2=x2+y2
10.观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A.
，
B.
，4C.3，
D.3，4
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11.分解因式：
x2﹣4=_____．
12.分解因式：
2a3﹣8a=________．
13.x2﹣
x+_____=（x﹣_____）2．
14.分解因式：
ba2+b+2ab=_____．
15.因式分解：
（x+2）x﹣x﹣2=_____．
16.已知xm=2，xn=3，则x2m+n=_____．
17.多项式x2﹣9，x2+6x+9的公因式是_____．
18.若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为_____．
三．计算与分解因式（共2小题，每小题16分，共32分）
19.计算
（1）（﹣3xy）•（﹣4yz）
（2）（2x﹣1）（3x+2）
（3）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2
（4）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
20.分解因式：
（1）4xy2﹣4x2y﹣y3
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
（4）5mx2﹣10mxy+5my2
四．解答题（共4小题，21、22每小题7分；23、24每小题10分）
21.已知a、b、c是△ABC
三条边长．若a、b、c满足a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
22.如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）按要求填空：
①你认为图②中
阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：
______
方法2：
______
③观察图②，请写出代数式（m+n）2，（m-n）2，mn这三个代数式之间
等量关系：
______；
（2）根据
（1）题中的等量关系，解决如下问题：
若|m+n-6|+|mn-4|=0，求（m-n）2的值．
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．
23.
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=27，求a2+b2的值．
（2）先化简，再求值：
3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
24.观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：
1+2=
=3；1+2+3=
=6，1+2+3+4=
=10；1+2+3+4+5=
=15；…
（1）猜想：
1+2+3+4+…+n= ．
（2）利用上述规律计算：
1+2+3+4+…+200；
（3）尝试计算：
3+6+9+12+…3n
结果．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列运算正确的是（）
A.x2＋x2＝x4B.3a3·2a2＝6a6C.（－a2）3＝－a6D.（a－b）2＝a2－b2
【答案】C
【解析】
试题分析：
根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方和积的乘方，乘法公式运算法则逐一计算作出判断：
A．x2＋x2＝2x2，选项错误；
B．3a3·2a2＝6a5，选项错误；
C．（－a2）3＝－a6，选项正确；
D．（a－b）2＝a2－2ab＋b2，选项错误.
故选C.
考点：
1.合并同类项；2.单项式的乘法；3.幂的乘方和积的乘方；4.乘法公式.
2.下列分解因式正确的是（ ）
A.m4﹣8m2+64＝（m2﹣8）2
B.x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）
C.4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
D.a（x﹣y）﹣b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
【答案】C
【解析】
【分析】
原式各项分解得到结果，即可做出判断．
【详解】A.原式不能合并，错误；
B.原式=（x2+y2）（x2−y2）=（x2+y2）（x+y）（x−y），错误；
C.原式=（2a−1）2，正确；
D.原式=（x−y）（a+b），错误.
故答案选C.
【点睛】本题考查了因式分解的知识点，解题的关键是熟练的掌握因式分解的相关知识点.
3.小明做了如下四个因式分解题，你认为小明做得不完整一题是（ ）
A.x2y﹣xy2=xy（x﹣y）B.m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2
C.a3﹣a=a（a2﹣1）D.﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）
【答案】C
【解析】
【分析】
原式各项分解得到结果，即可做出判断．
【详解】A.x2y−xy2=xy（x−y），正确；
B.m2−2mn+n2=（m−n）2，正确；
C.a3−a=a（a2−1）=a（a+1）（a−1），错误；
D.−x2+y2=（y+x）（y−x），正确.
故答案选C.
【点睛】本题考查了因式分解的知识点，解题的关键是熟练的掌握因式分解的相关知识点.
4.（x2﹣mx+6）（3x﹣2）
积中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A.0B.
C.﹣
D.﹣
【答案】C
【解析】
试题解析：
（x2﹣mx+6）（3x﹣2）=3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，
∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m=0，
解得，m=
，
故选C．
5.下列计算正确的是（ ）
A.（2a﹣b）（﹣2a+b）=4a2﹣b2B.（2a﹣b）2=4a2﹣2ab+b2
C.（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2D.（a+b）2=a2+b2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式求解判定．
【详解】A.（2a﹣b）（﹣2a+b）=-（2a﹣b）2，故A选项错误；
B.（2a﹣b）2=4a2−4ab+b2，故B选项错误；
C.（2a−b）2=4a2−4ab+b2，故C选项正确；
D.（a+b）2=a2+2ab+b2，故D选项错误.
故答案选：
C.
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式.
6.若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（ ）
A.4 B.3 C.1D.0
【答案】C
【解析】
把a+b=1代入得，
=（a-b）（a+b）+2b=a-b+2b=a+b=1，故选C.
点睛：
本题考查了因式分解和整体代入，难度不大，属于基础题.
7.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．
【详解】A.a2+（-b）2=a2+b2，不能使用；
B.5m2-20mn=5m（m-4n），不能使用；
C.-x2-y2=-（x2+y2），不能使用；
D.-x2+25=（5-x）（5+x），可以使用平方差公式．
故选：
D．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）是解答本题的关键.
8.已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2（x－3）（x＋1），则b，c的值为（ ）．
A.b＝3，c＝－1B.b＝－6，c＝2
C
b＝－6，c＝－4D.b＝－4，c＝－6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用整式的乘法计算出2（x-3）（x+1）的结果,与2x2+bx+c对应找到一次项的系数和常数项即可解题.
【详解】解：
∵2（x-3）（x+1）=2（x2-2x-3）=2x2-4x-6,
又∵2x2+bx+c=2（x-3）（x+1），
∴b=-4,c=-6,
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的关系,中等难度,计算整式乘法,对应找到各项系数是解题关键.
9.下列运算正确的是（ ）
A.（x3）4=x7B.﹣（﹣x）2•x3=﹣x5C.x+x2=x3D.（x+y）2=x2+y2
【答案】B
【解析】
【分析】
A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用积的乘方及同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
【详解】A.（x3）4=x12，错误；
B.−（−x）2⋅x3=−x5，正确；
C.原式不能合并，错误；
D.（x+y）2=x2+2xy+y2，错误，
故答案选B.
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项与完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项与完全平方公式.
10.观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A.
，
B.
，4C.3，
D.3，4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得规律为
，再逐一判断即可.
【详解】根据题意得，a，b的值只要满足
即可，
A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11.分解因式：
x2﹣4=_____．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】x2﹣4
=x2-22
=（x+2）（x﹣2）,
故答案为：
（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：
两项平方项，符号相反．
12.分解因式：
2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。
因此，
。
13.x2﹣
x+_____=（x﹣_____）2．
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】
【分析】
由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．
【详解】∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为−
，等号右边正好是一个完全平方式，
∴常数项
（
÷2）2=19，
∴x2−
x+
=（x−
）2.
故答案为：
，
.
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练的掌握配方法的应用.
14.分解因式：
ba2+b+2ab=_____．
【答案】b（a+1）2
【解析】
先提公因式，再运用完全平方公式即可.
解：
故答案为：
.
15.因式分解：
（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【解析】
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【详解】（x+2）x﹣x﹣2
=（x+2）x-（x+2）
=（x+2）（x﹣1），
故答案为：
（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
16.已知xm=2，xn=3，则x2m+n=_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法公式，x2m+n=（xm）2•xn=22×3代入求值．
【详解】x2m+n=（xm）2•xn=22×3=4×3=12.
故答案为12.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法运算.
17.多项式x2﹣9，x2+6x+9的公因式是_____．
【答案】x＋3
【解析】
分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解：
∵x2-9=（x-3）（x+3），
x2+6x+9=（x+3）2，
∴多项式x2-9与多项式x2+6x+9的公因式是x+3．
18.若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为_____．
【答案】－12
【解析】
试题分析：
首先利用因式分解将代数式进行化简，然后利用整体代入的思想进行求解．
试题解析：
原式=ab（
）=ab
∵a+b=2，ab=-3，∴原式=-3×
="-12"
考点：
因式分解、整体思想求解
三．计算与分解因式（共2小题，每小题16分，共32分）
19.计算
（1）（﹣3xy）•（﹣4yz）
（2）（2x﹣1）（3x+2）
（3）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2
（4）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
【答案】
（1）12xy2z
（2）6x2+x﹣2（3）17a6b3（4）a2﹣4b2+4bc﹣c2
【解析】
【分析】
（1）直接利用单项式乘单项式的运算法则计算即可；
（2）直接利用多项式乘多项式的运算法则计算即可；
（3）先算乘法再合并同类项即可；
（4）利用平方差公式与完全平方公式计算合并即可.
【详解】
（1）（﹣3xy）•（﹣4yz）=12xy2z；
（2）（2x﹣1）（3x+2）=6x2+4x﹣3x﹣2=6x2+x﹣2；
（3）原式=﹣a6b3+2a2b•9a4b2
=﹣a6b3+18a6b3
=17a6b3
（4）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]
=a2﹣（2b﹣c）2
=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）
=a2﹣4b2+4bc﹣c2
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.
20.分解因式：
（1）4xy2﹣4x2y﹣y3
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
（4）5mx2﹣10mxy+5my2
【答案】
（1）﹣y（2x﹣y）2
（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）（3）（7a﹣b）（a﹣7b）（4）5m（x﹣y）2
【解析】
【分析】
（1）首先提取公因式-y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用提取公因式（x-y），再利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提取公因式5m再利用完全平方公式计算即可.
【详解】
（1）4xy2﹣4x2y﹣y3
=﹣y（﹣4xy+4x2+y2）
=﹣y（2x﹣y）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
=（x﹣y）（9a2﹣4b2）
=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
=[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
=（7a﹣b）（a﹣7b）．
（4）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用.
四．解答题（共4小题，21、22每小题7分；23、24每小题10分）
21.已知a、b、c是△ABC
三条边长．若a、b、c满足a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
【答案】等边三角形
【解析】
【分析】
首先利用完全平方公式把a2+
b2+5=4a+b-|c-2|，化为（a-2）2+（
b-1）2+|c-2|=0，利用非负数的性质得出a、b、c的数值，进一步判定即可．
【详解】△ABC为等边三角形．
∵a2+
b2+5=4a+b﹣|c﹣2|，
∴a2+
b2+5﹣4a﹣b+|c﹣2|=0，
∴（a﹣2）2+（
b﹣1）2+|c﹣2|=0，
∴a﹣2=0，
b﹣1=0，c﹣2=0，
∴a=b=c=2，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质与等边三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握非负数的性质与等边三角形的判定.
22.如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：
______
方法2：
______
③观察图②，请写出代数式（m+n）2，（m-n）2，mn这三个代数式之间的等量关系：
______；
（2）根据
（1）题中的等量关系，解决如下问题：
若|m+n-6|+|mn-4|=0，求（m-n）2的值．
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．
【答案】
（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2
【解析】
【分析】
（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n；
②方法1：
阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：
边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；
③根据以上相同图形的面积相等可得；
（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用
（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得；
（3）根据：
大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得．
【详解】
（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n．
②方法1：
阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
即（m﹣n）2，
方法2：
边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．
（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0，
∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0，
∴m+n=6，mn=4
∵由
（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20，
∴（m﹣n）2=20；
（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：
（2m+n）（m+n），
或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：
2m2+3mn+n2，
故可得：
（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
故答案为：
（1）m﹣n；
（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识.
23.
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=27，求a2+b2的值．
（2）先化简，再求值：
3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
【答案】
（1）15；
（2）-20a2+9a；-98.
【解析】
【分析】
（1）直接利用完全平方公式化简进而得出答案；
（2）直接去括号合并同类项，再把已知代入求出答案．
【详解】
（1）∵（a+b）2=3，（a﹣b）2=27，∴a2+2ab+b2=3①，a2﹣2ab+b2=27②，∴①+②得：
2a2+2b2=30，∴a2+b2=15；
（2）3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a
当a=﹣2时，原式=﹣98．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题的关键．
24.观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：
1+2=
=3；1+2+3=
=6，1+2+3+4=
=10；1+2+3+4+5=
=15；…
（1）猜想：
1+2+3+4+…+n= ．
（2）利用上述规律计算：
1+2+3+4+…+200；
（3）尝试计算：
3+6+9+12+…3n的结果．
【答案】
（1）
（2）20100（3）
【解析】
【分析】
（1）从1开始连续自然数的和，等于两端的数相加乘数的个数，再除以2，由此得出答案即可；
（2）利用
（1）的规律计算即可；
（3）先提取公因数3再利用
（1）的规律计算即可．
【详解】
（1）1+2+3+4+…+n=
；
故答案为：
；
（2）1+2+3+4+…+200=
=20100．
（3）3+6+9+12+…3n=3（1+2+3+4+…+n）=
．
【点睛】本题考查了规律型：
数字的变化类，解题的关键是根据数字的变化找出规律.
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