精编数学新导学笔记人教A全国通用版选修23讲义第二章随机变量及其分布211.docx

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精编数学新导学笔记人教A全国通用版选修23讲义第二章随机变量及其分布211

§2.1　离散型随机变量及其分布列

2.1.1　离散型随机变量

学习目标

　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．

知识点一　随机变量

思考1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？

答案　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．

思考2　在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？

答案　x＝0,1,2,3，…，10.

梳理　

（1）定义

在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

（2）随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

知识点二　随机变量与函数的关系

相同点

随机变量和函数都是一种一一对应关系

区别

随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应

联系

随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域

知识点三　离散型随机变量

1．定义：

所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

2．特征：

（1）可用数字表示．

（2）试验之前可以判断其出现的所有值．

（3）在试验之前不能确定取何值．

（4）试验结果能一一列出．

1．离散型随机变量的取值是任意的实数．（　×　）

2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（　√　）

3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．（　×　）

类型一　随机变量的概念

例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？

并说明理由．

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量；

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数；

（3）明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

（4）明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

解　

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（4）济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．

反思与感悟　随机变量的辨析方法

（1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

（2）随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

跟踪训练1　掷均匀硬币一次，随机变量为（　　）

A．掷硬币的次数

B．出现正面向上的次数

C．出现正面向上的次数或反面向上的次数

D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

答案　B

解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.

类型二　离散型随机变量的判定

例2　下面给出四个随机变量：

①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；

②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；

③某网站未来1小时内的点击量；

④一天内的温度η.

其中是离散型随机变量的为（　　）

A．①②B．③④C．①③D．②④

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　离散型随机变量的概念

答案　C

解析　①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.

反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量

（1）依据具体情境分析变量是否为随机变量．

（2）由条件求解随机变量的值域．

（3）判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

跟踪训练2　①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③体积为1000cm3的球的半径长；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（　　）

A．①②③④B．①②④

C．①③④D．②③④

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　离散型随机变量的概念

答案　B

解析　由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．

类型三　用随机变量表示随机试验的结果

例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

（2）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

解　

（1）设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前（i－1）次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3.

X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球．

反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（1）从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；

（2）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

解　

（1）ξ可取0,1,2,3，

ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；

ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；

ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；

ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.

（2）ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．

1．下列变量中，不是随机变量的是（　　）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

答案　B

解析　B中水沸腾时的温度是一个确定的值．

2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A．取到产品的件数B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

答案　C

解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

3．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）

A．某人早晨在车站等出租车的时间

B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度

C．射击十次，命中目标的次数

D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　离散型随机变量的概念

答案　C

4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　17

解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．

5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

解　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．

1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．

2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：

（1）可用数来表示；

（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值．

一、选择题

1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

答案　A

解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．

2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为（　　）

A．0≤X≤5，x∈N

B．－5≤X≤0，x∈Z

C．－1≤X≤6，x∈N

D．－5≤X≤5，x∈Z

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　D

解析　两次掷出点数均可取1～6所有整数，

所以X∈[－5,5]，x∈Z.

3．下列变量中，离散型随机变量的个数为（　　）

①在2012张已编号（从1号到2012号）的卡片中取一张，被取出的号码为ξ；

②在2012张已编号（从1号到2012号）的卡片中任取三张，被取出的号码和为X；

③某加工厂加工的某种铜管，外径与规定的外径尺寸之差Y；

④投掷一枚骰子，正面向上的点数为ξ.

A．1B．2C．3D．4

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　离散型随机变量的概念

答案　C

解析　③中Y取值在某一区间内，不是离散型随机变量．

4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是（　　）

A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

答案　C

解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.

5．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示的试验的结果为（　　）

A．第一枚为5点，第二枚为1点

B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C．第一枚为6点，第二枚为1点

D．第一枚为4点，第二枚为1点

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

答案　C

6．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（　　）

A．Y＝5B．Y＝4

C．Y＝3D．Y＝2

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　B

7．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　）

A．6B．5C．4D．2

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　B

解析　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.

8．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（　　）

A．24B．20C．4D．18

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　A

解析　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A

＝24种．

9．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为（　　）

A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品

B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品

C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品

D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

答案　D

解析　由题意，得ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选D.

二、填空题

10．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．（填序号）

①某宾馆每天入住的旅客数量X；

②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；

④虎门大桥一天经过的车辆数X.

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　离散型随机变量的概念

答案　②

11．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为________．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　1,2,3,4,5,6,7

解析　由于取到是白球时，取球停止，所以取球次数可以是1,2,3，…，7.

12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

答案　21

解析　ξ＝8表示在3个篮球中，一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C

种方法，即21种．

三、解答题

13．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分．设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

解　ξ的可能取值为0,1,2.

ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；

ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；

ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．

四、探究与拓展

14．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：

每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

答案　－300，－100,100,300

解析　∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.

15．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的取值

解　

（1）

ξ

0

1

2

3

结果

取得3个黑球

取得1个白球2个黑球

取得2个白球1个黑球

取得3个白球

（2）由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：

5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.

故η的可能取值为{6,11,16,21}，显然η为离散型随机变量．