鸡兔同笼应用题解法1.docx
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鸡兔同笼应用题解法1
一、提出问题
大约在1500年前，《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题。
书中说：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
”意思是：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中鸡和兔各有几只？
这就是我们通常所说的鸡兔同笼问题，如何解决这个1500年前古人提出的数学问题，就是我们这节课要研究的内容。
（板书课题）
二、解决问题
出示例1：
鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有几只？
（同时出示鸡兔同笼情境图）
师：
想一想，如何来解决这个问题？
请同学们把你的想法，你的
思考过程用你喜欢的方式表达出来。
学生思考、分析、探索，接下来是讨论、交流、争辩。
（老师参与其中，启发、点拔、引导适当，师生互动。
）
10分钟后进入小组汇报、集体交流阶段。
师：
谁能说一说你们小组探究的结果，鸡、兔各有几只？
你们是怎样得出结论的？
学生汇报表达的方式：
生1：
我们利用画图凑数的方法：
①先画10个头。
②每个头下画上两条腿。
数一数，共有40条腿，比题中给出的腿数少54-20=14条腿。
③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够54条腿。
每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添14条腿就变出来7只兔．这样就得出答案，笼中有7只兔和13只鸡。
2．列表法：
生1：
我们一个一个地试，把结果列成表格，最后得出7只鸡、3只兔。
头/个
鸡/只
兔/只
腿/条
20
1
19
78
20
2
18
76
20
3
17
74
20
4
16
72
…
…
…
…
13
7
54
生2：
我们组得出的结果也是只13鸡、7只兔，但我们不是一个一个地试，这样太麻烦了，我们是5个5个地试。
头/个
鸡/只
兔/只
腿/条
20
1
19
78
20
5
15
70
20
10
10
60
20
15
5
50
20
14
6
52
20
13
7
54
生3：
因为鸡、兔共20只，我们先假设鸡、兔各10只，这样共有60条腿，比54条腿多6条，说明假设的兔多了3只，鸡少了3只，于是兔只有7只，鸡有13只。
生4：
我们是先按鸡兔各一半来算的。
头/个
鸡/只
兔/只
腿/条
20
10
10
60
20
12
8
56
20
13
7
54
师：
同学们的探索精神和方法都很好，都能用自己的方法成功地解决“鸡兔同笼问题”。
师：
谁还有其他的解法吗？
（老师让举手的其中三名学生上台板演）
生5：
假设20只都是鸡，那么兔有：
（54-20×2）÷（4-2）=7（只），鸡有20-7=13（只）。
生6：
假设20只都是兔，那么鸡有：
（4×20-54）÷（4-2）=13（只），兔有20-13=7（只）。
生7：
设鸡有X只，那么兔有（20-X）只。
2X+4（20-X）=54，X=13，
20-13=7（只）即鸡有13只，兔有7只。
师：
同学太聪明了，想出了这么多好办法，通过以上的学习，你有什么发现，有什么想法吗？
生：
解决一个问题可以有不同的方法。
……
三、想一想，做一做：
1．尝试解答课前提出的古代《孙子算经》中记载的鸡兔同笼问题。
书中说：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
2．完成书中练一练中的4道题第4道题，
小结：
师生共同总结，我们今天学习的鸡兔同笼问题，发现了可以用画图的方法解决、可以用列表的方式进行分析。
还可以用假设的方法（亦可称作置换法），可以先假设都是一种事物（换成同一种事物），再根据题中给出的条件进行修正、推算。
有的同学还用方程来解决这个问题，一个问题可以用多种方法来解决，真是条条大路通罗马呀！
希望同学们今后在学习中也能象今天一样肯于动脑，勤于思考，使我们每一个同学都越学聪明。
一,基本问题
"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只
解:
我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是
244÷2=122（只）.
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数
122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答:
有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚,所以共有鸡
（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.
说明我们设想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只）,比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚,
68÷2=34（只）.
说明设想中的"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"假设法".
现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支
解:
以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答:
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是
8×（11+19）=240.
比280少40.
40÷（19-11）=5.
就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷（19-11）=3,
就知道设想6只"鸡",要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时
解:
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.
根据前面的公式
"兔"数=（30-3×7）÷（5-3）
=4.5,
"鸡"数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
答:
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年
解:
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是
（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.
1998年,兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）×4-4=40（岁）.
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
（40-10）÷（3-1）=15（岁）.
这是2003年.
答:
公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只
解:
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答:
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.
例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人
解:
对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.
答:
做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张
5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天
6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
二,"两数之差"的问题
鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
（680-8×40）÷（8+4）=30（张）,
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
答:
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是
（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天
工程要多少天才能完成
解:
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有
（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17（天）.
答:
这项工程17天完成.
请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只
解一:
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.
鸡是
100-38=62（只）.
答:
鸡62只,兔38只.
当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是
（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是
（100-28）÷（4+2）=12（只）.
兔只数是
50-12=38（只）.
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一:
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×5×4+20=280（字）.
每首字数相差
7×4-5×4=8（字）.
因此,七言绝句有
28÷（28-20）=35（首）.
五言绝句有
35+13=48（首）.
答:
五言绝句48首,七言绝句35首.
解二:
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字）,28×10=280（字）,五言绝句的字数,反而多了
460-280=180（字）.
与题目中"少20字"相差
180+20=200（字）.
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷8=25（首）.
五言绝句有
23+25=48（首）.
七言绝句有
10+25=35（首）.
在写出"鸡兔同笼"公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣的事.
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.
例9,假设都是兔,鸡的只数是
（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"鸡兔同笼"公式比较,这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只
解:
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是
（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.
答:
这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分
解一:
如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是
8×6-2×（15-6）=30（分）.
两次相差
120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
6+10=16（分）.
（90-10）÷（6+10）=5（题）.
因此,第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11（题）.
第一次得分
5×19-1×（24-9）=90.
第二次得分
8×11-2×（15-11）=80.
答:
第一次得90分,第二次得80分.
解二:
答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是
（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·
第一次答错9-4=5（题）.
第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.
第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.
习题二
1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少
2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克
3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天
4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题
5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发
6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.
三,从"三"到"二"
"鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.
例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支
解:
从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作
（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是
（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.
铅笔和圆珠笔共
232-12=220（支）.
其中圆珠笔
220÷（4+1）=44（支）.
铅笔
220-44=176（支）.
答:
其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.
例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个
解:
因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是
（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.
从公式可算出,大球个数是
（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.
买中,小球钱数各是
（120-30×3）÷2=15（元）.
可买10个中球,15个小球.
答:
买大球30个,中球10个,小球15个.
例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法）,把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"三"转化成"二"了.
例15是为例16作准备.
例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少
解:
去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.
平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.
千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:
每小时走（6+3）÷2=4.5千米.
例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米
解:
把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头
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