第一章渗流理论基础.docx
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第一章渗流理论基础
地下水动力学：
是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和岩溶岩石中运动规律的科学。
它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运移过程，对地下水从数量上和质量上进行定量评价和合理开发利用，以及兴利防害的理论基础。
第一章渗流理论基础
§—1渗流的基本概念
、地下水在含水岩石中的运动
1多孔介质：
具有孔隙的岩石。
含水介质一般分为三类：
孔隙介质：
含有孔隙水的岩层。
裂隙介质：
含裂隙水的岩层。
岩溶（Karst）介质：
含岩溶水的岩层。
、地下水和多孔介质的性质
1地下水的状态方程
地下水的状态方程：
实际上是地下水的体积和密度随压力变化的方程。
：
_1dV
Vdp
等温条件下，水的压缩系数为：
设初始压强po时，水的体积为
Vo,当压强变到p时，体积变为V，由上式得:
V二
VoV=V0e七pT）
用Taylor级数展开，舍去高次项，得到如下的状态方程：
V=Vo[1-3（P-P0）]
p=po[1-3（p-po）]
2多孔介质的某些性质
（1）多孔介质的孔隙性
孔隙度：
指孔隙体积和多孔介质总体积之比。
有效孔隙：
互相连通的、不为结合水所占据的那一部分孔隙。
有效孔隙度：
指有效孔隙体积和多孔介质总体积之比。
死端孔隙：
一端与其它孔隙连通，另一端是封闭的，其中的地下水是相对停滞的。
（2）多孔介质的压缩性
天然条件下，一定深度处的多孔介质，要受到上覆岩层荷重的压力。
荷重增加，将引起多孔介质的压缩。
多孔介质的压缩系数：
1dVbdV』W觀厂ddd乂趙忆dVunVL
多孔介质的压缩包括固体
上式令VbdVbd、
上式变为：
as+nap
a=（1-n）
固体骨架的压缩性比孔隙的压缩性小的多，上式变为:
a=nap
三、贮水率和贮水系数
1.水位变化对含水层厚度的影响
有效应力地下水位下降，水压力减小，有效应力增大，多孔介质被压缩。
多孔介质的压缩包括固体颗粒的压缩和孔隙的压缩。
但固体颗粒的压缩忽略不计。
即:
（1-n）Vb=常数
d〔1-nVb〉dVb-ndV,-Vbdn=0
dVb_dn
Vb=1-n
dVb_d迄
Vb.z
dzdn
d；丁=:
dp.■:
z1-n
d：
=z=z:
dp
dn=1-n:
dp
其对数等于
0。
即：
此二式厚度变化和孔隙度变化与水的压强变化的关系
2.贮水率和贮水系数
贮水率：
面积为1单位面积，厚度为1单位的含水层，当水头降低1单位时所能释出的水量。
用（1s表示。
弹性释水：
由于水头降低引起的含水层释水现象称为弹性释水。
贮水系数：
面积为1单位面积，厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变
一个单位时弹性释放或贮存的水量。
用1*表示。
—、¥方
二者关糸：
1isM
四、渗流
1渗流渗流是一种假想水流。
假想水流应有以下特点：
（1）假想水流的性质（如密度、粘滞性等）和真实地下水相同；
（2）假想水流充满含水层的整个空间；
（3）假想水流运动时，在任意岩石体积内所受的阻力等于真实水流所受的阻力;
（4）通过任断面的流量及任一点的压力或水头均和实际水流相同。
渗流区或渗流场：
假想水流所占据的空间。
2典型单元体
五、渗流速度
过水断面：
垂直于渗流方向的一个岩石截面。
渗流速度：
通过单位面积的渗流量。
v=Q/A
渗流速度与地下水的实际平均流速有如下关系:
V=nu
六、地下水的水头和水头坡度
2
H=Z—汽2g
1地下水的水头式中：
Z――位置水头；
P/y——承压水头；
二者之和为测压管水头。
U2/2g――流速水头（很小忽略不计）。
我们所说的水位就是测压管水头，这是基准面取的是海平面。
2等水头面和水力坡度
等水头面：
渗流场内水头值相同的各点连成的面。
dH-
Jn
dn
等水头线：
等水头面与某一平面的交线。
水力坡度：
大小等于梯度值，方向沿着等水头面的法线指向水头降低方向的矢量。
cH,闭，cH
Jx;Jy=;JZ
excycz
梯度的大小为：
矢量J在空间坐标系中的三个分量为：
七、地下水运动特征的分类
1.按地下水运动要素（渗流量、渗流速度、压强、水头）将地下水分为稳定流和非稳定流。
稳定流：
地下水运动要素不随时间变化。
非稳定流：
地下水运动要素随时间变化。
研究地下水的运动规律实际上是研究地下水运动要素的时空变化规律。
2.根据地下水的运动方向与空间坐标轴的关系分为一维运动、二维运动和三维运动。
地下水的一维运动：
地下水的渗透速度只沿一坐标轴的方向有分速度，其余坐标轴方
向的分速度均为零。
地下水的二维运动：
地下水的渗透速度只沿二个坐标轴的方向有分速度，仅在一个坐标
轴方向的分速度均为零。
地下水的三维运动：
地下水的渗透速度只沿空间三个坐标轴的分量均不等于零。
八、地下水流态的判断
地下水的运动有层流和紊流。
1.多孔介质判断法：
用Reynolds数
式中：
v—地下水的渗流速度；
d—含水层颗粒的平均粒径；
丫一地下水的运动粘度。
计算ReynoIds数小于临界Reynolds数时，为层流；大于时，为紊流。
临界ReynoIds数一般取150〜300。
2.裂隙流判断法（指单个裂隙）主要是确定临界水力坡度。
首先，由下式计算裂隙的相对粗糙度
a=A/b
式中：
a—裂隙的相对粗糙度；
A—裂隙的绝对粗糙度；b—裂隙的宽度。
其次，根据下表确定临界水力坡度。
最后，比较实际水力坡度和临界水力坡度，判断流态。
§—2渗流基本定律
、Darcy定律及其适用范围
dS
地下水的运动是三维，Darcy定律应该用微分形式表示：
在直角坐标系中，如以Vx、Vy、Vz表示沿三个坐标轴方向的渗流速度分量，则有:
用矢量来表示渗流速度形式如下：
v=Vxi+Vyj+Vzk
式中：
i,j,k为三个坐标轴上的单位矢量。
Darcy定律适用范围：
Darcy定律中，渗流速度v与水力坡度J呈线性关系。
做如下实验，固定某种直径d的砂粒，改变水力坡度J的大小，可得到对应的渗流速度
v,按照Darcy定律应呈线性关系，但实际上，当v增大到某一值时，开始偏离Darcy定律,
这时，根据v、d、J可确定Reynolds数（Re=vd/y）,计算出的Re一般在1—10。
因此，Darcy定律适用的范围是：
用Re=vd/丫（丫运动粘度）计算得Re小于1—10时，地下水的运动才符合Darcy定律。
说明：
地下水的运动绝大多数服从Darcy定律。
例如，对d=0.5mm的粗砂为例，地下水15度时的运动粘滞系数丫=0.1m2/d，取Re=1时，由式Re=vd/y求得：
1000
当渗透流速小于200m/d时，地下水运动为Darcy流。
一般粗砂的渗透系数K=100m/d，实际的J一般小于1/500，这里取1/500，可求得
v=0.2m/d，远远小于200m/d，服从Darcy定律。
因此，当渗流速度由低到高时，可把多孔介质中的地下水运动状态分为三种情况：
（1）当地下水低速度运动时，即Reyn01ds数小于1到10之间的某个值时，为粘滞力
占优势的层流运动，适用Darcy定律。
（2）随着流速的增大，当Reyn01ds数大致在I到100之间时，为一过渡带，由粘滞力占优势的层流运动转变为惯性力占优势的层流运动再转变为紊流运动。
（3）高Reyn01ds数时为紊流运动。
、渗透系数、渗透率和导水系数
渗透系数：
水力坡度等于1时的渗透速度。
影响渗透系数的因素：
①岩石性质（粒度、成分、颗粒排列、充填状况、裂隙性质及其发育程度）；②液体的物理性质（容重、粘滞性等）。
渗透系数K可用下式：
K=^=gk
式中：
p――液体密度；
g重力加速度；
卩一一动力粘度；
k――渗透率。
量纲［L2］，只与岩石的性质有关，与液体性质无关。
单位cm2或Darcy。
导水系数：
水力坡度等于1时，通过整个含水层厚度上的单宽流量。
用T表示。
导水系数与渗透系数的关系：
T=KM
三、非线性运动方程
Re小于1—10时，地下水流为线性流，用Darcy定律描述；Re大于1—10时，地下水
流为非线性流，用下列定律描述：
Forchheimer公式：
J=av+bv
Chezy公式
1
一般地下水流都为Darcy流。
§—3岩层透水特征分类和渗透系数张量
一、岩层透水特征分类
据岩层透水性随空间坐标的变化情况，将岩层分为均质的和非均质的两类。
均质岩层：
在渗流场中，所有点都具有相同的渗透系数。
非均质岩层：
在渗流场中，不同点具有不同的渗透系数。
非均质岩层有两种类型：
一类透水性是渐变的，另一类透水性是突变的。
根据岩层透水性和渗流方向的关系，可将岩层分为各向同性和各向异性。
则介质是各向同性
各向同性：
渗流场中某一点在各个渗透方向上具有相同的渗透系数，
的。
则介质是各向同性
各向异性：
渗流场中某一点在各个渗透方向上具有不同的渗透系数，的。
二、渗透系数张量
在各向同性介质中，渗透系数和渗流方向无关，是一个标量。
在各向异性介质中，渗透系数和渗流方向有关。
水力坡度和渗流的方向一般是不一致的（流网一节中讲到）。
这时，渗透系数是一个张量。
需要掌握的是，在各向异性介质中，有三个主渗透方向，渗透系数分别为Ki、K2、K3
汨；:
H；:
H
Vx-_Ki；Vy--K2；Vz--K3
.:
x:
y:
z
（或K"Ky、
Kz）。
三个主方向上渗透流速为：
§—4突变界面的水流折射和等效渗透系数
、越过透水性突变界面时的水流折射
v2和H2，位于界面上
介质I的渗透系数为Ki,介质n的渗透系数为K2。
界面上某一点附近的渗流速度和水头在两介质中的值依次为的任一点都应满足如下条件：
Hi=H2
tgy旦；tge二
V1nv2n
Vln=V2n
点Hi_闭2«£Hitg3:
*ViJx1:
xtgiV2K汨2
；x
tg^_Kitg日2K2
因为Hi=H2,故则得：
此式为渗流折射定律。
几点结论：
（1）当Ki=K2，则01=02,表示在均质岩层中不发生折射。
（2）当Ki丰K2，而且Ki、K2均不等于0时，如01=0，则02=0,表明水流垂直通过界面时不发生折射。
（3）当Ki丰K2，而且Ki、K2均为有限值时，如0i=90，则有02=90,表明水流平行于界面时不发生折射。
（4）当水流斜向通过界面时，介质的渗透系数K值愈大，0角也愈大，流线也愈靠近界
面。
二介质的K值相差愈大，01和02的差别也愈大，流线通过界面后的偏移程度也愈大。
二、层状岩层的等效渗透系数
有两种情况：
①平行于层面的渗透系数;
②垂直于层面的渗透系数。
1.平行于层面的等效渗透系数Kp
设每一分层的渗透系数K和厚度Mi，如图。
对于每一分层水力坡度是相等的，即
J=AH/l
qi=KjMj
每一层的单宽流量为：
通过层状含水层总流量为：
nn
q八qi八KiMi
i二i4
qi=KpM
KpM
n
二為KiMi
i吕
如果我们用一等效的均值含水层代替层状岩层，这时式中：
M—含水层的总厚度；Kp—等效渗透系数。
由此得：
Kp
i=1
等效渗透系数为:
2.垂直于层面的渗透系数该情况下，通过各层的流量相同。
但水头降落和水力坡度不同。
总的水头降落
AH等于
各分层水头降落AHi之和。
对于每一层
Miq
Kib
=11
i妊
Miq
Kib
二qjMi
"bidKi
KvbbyKiM
Mq
Kvb
所以：
Kv，那么单宽流量为:
取等效渗透系数二式相等得：
Kv
Mi
K；
Kv
Mi
Ki
因此，
此式为层状岩层垂直于层面的等效渗透系数。
说明：
⑴当某一层的Ki较小时，Mi/Ki较大，Kv变小；当Kit0时,t0，也就是说，垂直于层面的等效渗透系数主要取决于渗透系数最小的分层。
（2）平行层面的等效渗透系数总是大于垂直层面的等效渗透系数。
Mi/KT^,Kv
、流函数
1.流线和迹线
流线：
某一瞬时，渗流场中处处和渗流速度矢量相切的曲线。
迹线：
把某一质点在连续的时间过程内所占据的空间位置连成线。
2.流线的方程
dx_dy
Vxvy
Mb=dx,ab=dy因为：
△Mab与厶MAB相似，所以：
或者：
vxdy-Vydx=O
此式为流线方程。
3.流函数
设有二元函数2（x,y）,满足
vy；「vx
.x:
y
d'-二
評
.x
0
dxdy
■y
d'-
dxdy二vxdy-Vydx二0攻:
y
该函数的全微分为：
得：
积分得：
2=常数
该式表明：
同一流线，函数2=为常数，不同的流线则有不同的函数值。
数。
量纲［L2t-1］。
流函数满足的条件是
2叫流函
流函数有下列特性：
（1）对一给定的流线，流函数是常数。
不同的流线有不同的常数值。
流函数决定于流线。
（2）在平面运动中，两流线间的流量等于和这两条流线相应的两个流函数的差值。
（3）在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程；其他情况下均不满足Laplace
方程。
（4）在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出某一瞬时的流线图。
因此，只有对不可压缩的液体的稳定流动，流线才有实际意义。
二、流网及其性质
流网：
在渗流场内，取一组流线和一组等势线组成的网格。
流网的性质：
（1）在各向同性介质中，流线与等势线处处垂直，故流网为正交网格。
（2）在均质各向同性介质中，流网每一网格的边长比为常数。
（3）当流网中各相邻流线的流函数差值相等，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相等。
（4）当二个透水层不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一介质中，则变成曲边矩形。
三、流网的应用
1.水头
从流网图上可以读出渗流区内任一点的水头H。
2.水力坡度和渗流速度
J=△H/△s;v=KJ
3.流量
q=v△l
4.定性确定水文地质条件
1河流与地下水的补、排关系；
2等水头线的疏密反映导水性的大小；
3流线绕流时，遇弱透水层
4流线汇集时，遇强透水层
§—6渗流的连续性方程
在渗流区内以P点为中心取一无限小的平行六面体，其边长分别为△X、△y、△z
并且和坐标轴平行，设P点沿坐标轴的渗透速度分量为Vx、Vy、Vz,液体密度为P,则P点
处，单位时间内通过垂直于坐标轴方向单位面积的水流质量分别为PVx、PVy、pVz。
那么，
通过abed面中点
（Ax、
Rx—丁，y,z
I2丿
的单位时间单位面积的水流质量为:
用Taylor级数展开：
叫=W）+警卜計
「Vx--1：
：
Vxx：
x：
y：
t
2fx
讥-:
.x.y.t-：
-vx-—^^.：
x：
x：
y：
t
|2：
：
x2：
：
x
二-：
Vx.x：
y.z：
t
:
x
'vy
—：
x：
y.：
z：
t
略去二阶导数以上的高次项，得△t时间内由abed面流入单元体的质量为:
同理，通过a'b'c'd'面流出单元体的质量为：
沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为：
同理，可得到沿y轴和z轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为:
在△t时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：
在均衡单元体中，孔隙体积为n△x△y△乙其内液体质量为pnAxAyAz,△t时
间内，单元体内液体质量的变化为：
匚（內X）+翌耶lU毬检虬xAy&At=%nAxAyAzkt
ILx吋；z:
t
根据质量守恒定律，上二式应相等，因此，
消去At得
■业乞•丄.：
x7：
z■n，xy丿
xyzt
此式为渗流的连续性方程（研究地下水运动的基本方程）。
§—7承压水运动的基本微分方程
假设条件：
（1）水流服从Darcy定律；
⑵K不随p=p（p）的变化而变化;
（3）卩s和K也不受n变化的影响；
△x也y也z=£〔PnAxAyAz】
盘
石（％）十沢眄）异（亿）1ax卸&
⑷含水层侧向无压缩，即△x、△y为常量，只有垂直方向△z的压缩。
在连续性方程的右端项中，有三个变量，随压力p的变化而变化。
三个变量随时间的变化转化成压力随时间的变化。
液体压缩后，质量不变。
即密度
d：
：
=-:
'dV
V
和体积V变化，二者乘积不变。
d（pV）=pdV+Vdp=0得:
c1dV
由水的压缩系数:
得：
dV
V
所以，dp=p3dp
前面给出了含水层厚度△z和孔隙度n随压力p的变化关系:
d（△z）=△zadp;dn=（1-n）adp
^hn’x.yizLn'z
.:
t_；:
t
JnL：
z：
"亠'■'■'■■-z1-n
；:
t
-cnBP]
亠zn=z—：
x=y
；:
t；:
t
：
pn忌巴R：
x：
y
；：
t；:
t
xyz
式中：
a为多孔介质压缩系数。
将三式代入连续方程右端项得：
_）+）+^（PVz
II
x'y'z
iP
:
t
：
:
t
于是连续性方程变为:
将
化为：
申vg号Hg「—z疔汽计H_zg「
因为
故有:
p=y（H-z）=pg（H-z）
.:
p、；:
Hp
g
.:
t
空岂PP
.:
t'ti
.:
p「g；H
A1-；-pft
或：
将dp=p3dp代入，得：
即，
2■：
■H
-vzngx；x＜：
yf：
z
2：
H
=:
-gi.很亠ngx7z
ct
因为水的压缩性很小，3P忽略不计，
代入前式，得
）+点Wy）十£（Vzf
第二项p非常小，忽略不计，根据Darcy定律：
两边消去单元体体积△x△yA乙得：
此式为非均质各向同性介质承压水流微分方程。
1.在各向同性介质中，有:
代入上式，得因为卩s=pg（a+n3）
所以上式变为:
Vy=-Kyy
:
x
.:
H
:
y
汨
；z
-K』
222
HH：
：
H讥汨
-2*宀2*-2=—--~
:
x；y:
zK:
t
4.地下水流为二维流时，非均质各向同性介质承压水流微分方程为：
5.柱坐标：
如果能用柱坐标表示，则x=rcos0、y=rsin0，代入
1af1c2He2H比
r—|+右—+—=
r俞i冴丿r拠czKct
可化成式
6.有源汇项，用W表示。
源：
在垂向上有水流入含水层称源。
W为正。
汇：
在垂向上有水流出含水层称汇。
W为负。
有源汇项时，只需在上述方程中左边加W即可。
.:
t
如各向同性介质：
7.稳定流：
水位H不随时间变化，即,
上述微分方程的右端项等于零。
§—8越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程
越流含水层（半承压含水层）：
当承压含水层的上、下岩层（或一层）为弱透水层时，承压含水层可通过弱透水层与上、下含水层发生水力联系，该承压含水层为越流含水层。
越流：
当承压含水层与相邻含水层之间存在水头差时，地下水便会从高水头含水层通过
弱透水层流向低水头含水层，这种现象称越流。
假设条件：
（1）水流服从Darcy定律；
⑵K不随p=p（p）的变化而变化；
（3）卩s和K也不受n变化的影响；
⑷含水层侧向无压缩，即△x、△y为常量，只有垂直方向△z的压缩。
（5）当弱透水层的渗透系数K1比主含水层的渗透系数K小很多时，近似认为水基本上
是垂直地通过弱透水层，折射90。
后在主含水层中基本上是水平流动的。
（如K1与K相差较
（6）
：
Qx
:
x
量的变化率为
则
Qxx
Qx
&2沿x轴流入单元体的水量为：
沿x轴流出单元体的水量为：
cQxAx
Qxx
；:
x2
因为：
代入上式，得
Tex<
消去△x△y,
此式为非均质各向同性越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程。
对于非均质各向异性介质，有：
CcH”
1yy
+
:
H2-H’H—H「
K2—Ki
Sxl次丿£y
＜创）
m2miy
对于均质各向同性介质，有:
有源、汇项的情况下：
非均质各向同性
§—9研究潜水运动的基本微分方程
、Dupuit假设
在Dupuit假设和不考虑水的压缩性的条件下。
考虑二维问题（含水层不水平），在渗流场内取一土体。
如图。
水平宽为△x,△y。
沿x轴流
单元体的中点为P,在P点沿x方向单位时间，通过面积△yh的流量为Qx,量的变化率为
cQx
■x
.:
x
沿x轴流入单元体的水量为：
沿x轴流出单元体的水量为：
沿x轴单位时间流入流出单元体的水量差为：
同理，可得沿y轴单位时间流入流出单元体的水量差为:
单位时间内，垂直方向的补给量为:
W△x△y
-二：
x—-Q^：
yW：
x：
y
ILx为
:
t
△t时间流入流出单元体的水量差为：
土体内的水量变化引起潜水面的升降。
假设潜水面的变化速率为:
则厶t时间内，土体内水的增量为：
:
H-H
Qx=—Kh'y;Qy=—Kh'x&cy
据质量守恒原理，两个增量应相等。
即将:
1KhpxAy^t+KhQxAyAt+W^x也Qt=卩Ax^y^t
I&丿£yI®丿ct
代入上式，得
:
Kh
次I
消去△xAy△t,得:
此式为非均质各向同性潜水二维运动的微分方程。
从微分方程中可知，潜水运动的微分方程是非线性的。
对于三维流，这时考虑垂向分速度，其微分方程同承压水流微分方程。
§—10定解条件
前面我们给出了，不同类型地下水的微分方程。
除微分方程外，我们还应给出下列条件：
（1）方程中有关参数的值。
主要有：
渗透系数、导水系数、给水度、贮水率、贮水系数、越流系数，还有源、汇项等。
（2）渗流区的范围和形状。
（3）边界条件：
渗流区边界所处的条件。
（三维流是一个封闭的曲面；二维流是一条封闭
的曲线）
⑷初始条件：
在某一选定的初始时刻（t=0）渗流区内水头H的分布情况。
定解条件：
就是指边界条件和初始条件。
数学模
升级会员 