数学建模.docx
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数学建模
河海大学计算机与信息学院（常州）
数学建模报告
题目投资与风险问题
学生姓名刘如通1062310122
项阳1062310130
邸国强1062310112
摘要
本文主要是建立一个数学模型用来解决公司的风险与投资的关系问题，并用它来分析如何在规定的时间与固定的本金时，来综合的评估出如何投资使得在风险最小时收益为最大，有助于公司做出正确的决策。
关键词：
投资，最小风险，最大收益
问题重述
目前某部门现有资金200万元，考虑在今后的五年内给4个项目投资，但是要考虑到收益与风险的问题。
现在他们知道项目A是从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B是从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；而项目C需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。
据部门测定对于投资这些项目每万元每次投资的风险指数如下表：
项目
风险指数（次/万元）
A
1
B
3
C
4
D
5.5
现在部门要急需解决如下的问题才能合理的安排对4个项目的投资问题，使得收益与风险在部门的预测范围内。
问题一：
如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
问题二：
如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
问题三：
如何安排投资，在使得风险最小的情况下，回收的本利金最大。
问题分析
根据题意，分析该实际问题，可知当在正常的投资中，不考虑投资项目的利率变化与风险系数的变化时，通过建立合理的数学模型解决此实际问题。
对于问题一，我们可以先不考虑投资风险的影响，只考虑如何让收益最大，立出相应的约束条件，然后在使用LINDO软件求解，即可以解得所求的问题。
对于问题二，因为考虑到了风险问题，但是还加了一个要使资金的本利在330万元的基础上风险系数为最小的约束条件，所以就要把约束条件转换成一个公式添加到条件中，然后看成是单目标问题，再使用LINDO软件求解，即可以解得所求的问题。
对于问题三，有风险和收益两个目标，所以就要建立两个模型求解，第一个模型就是在问题二的基础上，把收益当成是一个固定的值，通过多次的改变收益的值，然后通过LINDO软件求解出相应的最小风险，最后画出风险与收益的大概曲线关系，通过曲线就可以粗略的求解出相应的值。
第二个模型是在第一个模型的基础上精确的求解风险与收益的问题，只不过是把风险作为常量再通过程序来求解。
假设与符号
1、假设
（1），在五年内，该公司能正常的运行而且此合作项目可以继续的合作下去。
（2），在五年内，投资的风险系数与每一个项目投资的利率都是固定不变的。
（3），风险系数与投资的收益有一定的线性关系。
2、符号说明
X1：
在第一年对项目A的投资金额（万元）
X2：
在第一年对项目B的投资金额（万元）
X3：
在第二年对项目A的投资金额（万元）
X4：
在第二年对项目B的投资金额（万元）
X5：
在第二年对项目D的投资金额（万元）
X6：
在第三年对项目A的投资金额（万元）
X7：
在第三年对项目B的投资金额（万元）
X8：
在第三年对项目C的投资金额（万元）
X9：
在第四年对项目A的投资金额（万元）
X10：
在第四年对项目B的投资金额（万元）
X11：
在第五年对项目A的投资金额（万元）
MA:
在不考虑投资风险的影响下，第五年年末拥有资金的本利最大金额（万元）
MI:
在使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上，其投资总的最小风险系数
模型的建立和求解
1、模型的建立
就是在解决问题一时，先不考虑风险的影响，这样就是单纯的解决如何使得投资的收益为最大，转化为单目标的函数，这样就能直接求解。
但是在解决问题二时，我们要把最大收益当作为一个条件来使用，这样就可以在问题一的基础上解得问题二。
对于问题三，我们建立两个数学模型，模型一就是把最大收益作为一个已知的条件，然后继续在问题一的基础上利用LINDO结算，并且做出图形来求解。
模型二就是在模型一的基础上继续的优化来精确的求解出最小风险与最大收益的问题。
当把风险系数作为变量，通过对最小风险系数的处理来得到最大收益与最小风险的精确关系图。
从而解绝问题三。
2、模型的结果分析
对问题一的求解
我们在先不考虑投资风险的影响下，只考虑如何让收益最大这个问题，利用所学的数学知识立出相应的表达式如下
（2）：
MA=1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5
（1）
X1+X2<200
（2）
200+0.1X1-X2>X3+X4+X5（3）
200+0.1X1+0.1X3+0.25X2-X4-X5>X6+X7+X8（4）
200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.25X2+0.25X4-X5-X7-X8>X9+X10（5）
200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.25X2+0.25X4+0.25X7-X5-X10-X8>X11（6）
X5<100（7）
X8<80（8）
X2<30（9）
X4<30（10）
X7<30（11）
X10<30（12）
利用LINDO软件
（1）写出相应的程序（附录一）计算可得：
MA=341.3500万元
对应的每年具体的投资额为：
X1=170.000000X3=57.000000
X6=0.000000X9=7.500000
X11=33.500000X2=30.000000
X4=30.000000X7=20.200001
X10=30.000000X8=80.000000
X5=100.000000
对问题二的求解
在确保使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上，然后使得其投资总的风险系数为最小，在问题一的基础上，我们把资金的本利在330万元的基础上的条件写成一个新的表达式加入到主体中在利用所学的数学知识所以现在立出相应的表达式如下：
MI=X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5（13）
X1+X2<200（14）
200+0.1X1-X2>X3+X4+X5（15）
200+0.1X1+0.1X3+0.25X2-X4-X5>X6+X7+X8（16）
200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.25X2+0.25X4-X5-X7-X8>X9+X10（17）
200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.25X2+0.25X4+0.25X7-X5-X10-X8>X11（18）
0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5>130（19）
X5<100（20）
X8<80（21）
X2<30（22）
X4<30（23）
X7<30（24）
X10<30（25）
利用LINDO软件写出相应的程序（附录二）计算可得：
MI=1300.000
对应的每年具体的投资额为：
X1=200.000000X3=73.328323
X6=47.332832X9=52.066116
X11=57.272728X2=0.000000
X4=0.000000X7=0.000000
X10=0.000000X8=80.000000
X5=100.000000
对问题三的求解
模型一求解：
在问题二的基础之上我们认为最大收益是一个常量，然后通过不停的改变最大收益的值来得出最小风险系数与最大收益的大概关系。
也就是在LINDO程序中通过改动收益值的大小，从而得出一系列的数值关系（附录三），然后通过作图可以得出最小风险系数与最大收益的关系图（见图表一），以下的图表都是在先不考虑200万本金情况下得到的，LINDO程序如下所示：
MINX1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200
X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5=141（改动此收益的数值）
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
风险与收益图表1
图表2
收益
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
风险
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1377.4
1396.971
1417.302
1438.396
1460.725
风险与数据图表3
由如上的图表可知，当在使得风险最小时，本金最大的收益为336万元，具体投资为（附录四）：
X1=200.000000X3=120.000000
X6=55.072464X9=60.579712
X11=66.637680X2=0.000000
X4=0.000000X7=0.000000
X10=0.000000X8=76.927536
X5=100.000000
模型二求解：
为了精确的求解最小风险与收益的问题，从模型二可得，当把最小系数看作是一个常量，然后通过不停的改变最小风险系数的值来得出最大收益与最小风险系数的精确关系。
也就是在LINDO程序中通过改动最小风险系数的大小，从而得出一系列的数值关系，然后通过作图可以得出最小风险系数与最大收益的关系图（见图表四），LINDO程序如下所示：
MAX1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200
X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5=1362.4（最小风险系数）
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
图表四
从这张图表可以精确的得出最小风险系数与最大收益的关系。
当风险系数为1362.3时，此时的收益为最大336.2213万元，并且风险系数为最小。
运行结果见附录五，所以具体的投资安排为：
X11=62.928440X10=0.000000
X8=80.000000X5=100.000000
X1=199.825653X2=0.174351
X3=119.808212X4=0.000000
X6=52.006973X7=0.000000
X9=57.207672
模型的评价与改进
此模型是一种比较方便使用的模型，已经可以大体准确的解决所求的问题，但是还是要通过大量的数据来处理，如果能优化模型的求解直接的用现有的数据直接利用C++来编程绘出关系图就可以更精确的求解此问题。
参考文献
（1），LINDO使用手册XX文库
（2），高等数学同济大学第五版高等教育出版社
（3），LINGO软件的基本使用方法谢金星,薛毅编著,清华大学出版社,2005年7月第1版
（4），数模线性规划张建勇教学课件
附录一
LINDO程序
MAX1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200
X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
运行结果
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP12
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）341.3500
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1133.5000000.000000
X1030.0000000.000000
X880.0000000.000000
X5100.0000000.000000
X1170.0000000.000000
X230.0000000.000000
X357.0000000.000000
X430.0000000.000000
X60.0000000.044000
X720.2000010.000000
X97.5000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）0.0000000.151250
3）0.0000000.137500
4）0.0000000.165000
5）0.0000000.110000
6）0.0000001.100000
7）0.0000000.037500
8）0.0000000.025000
9）0.0000000.055000
10）0.0000000.000000
11）9.8000000.000000
12）0.0000000.040000
NO.ITERATIONS=12
附录二
LINDO程序
MINX1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5>130
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
运行结果
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP7
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）1300.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1200.0000000.000000
X373.3283230.000000
X647.3328320.000000
X952.0661160.000000
X1157.2727280.000000
X20.0000000.500000
X40.0000000.500000
X70.0000000.500000
X100.0000000.500000
X880.0000000.000000
X5100.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）0.0000000.000000
3）46.6716770.000000
4）0.0000000.000000
5）0.0000000.000000
6）0.0000000.000000
7）0.000000-10.000000
8）0.0000000.000000
9）0.0000000.000000
10）30.0000000.000000
11）30.0000000.000000
12）30.0000000.000000
13）30.0000000.000000
NO.ITERATIONS=7
附录三
收益
最小风险系数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
135
136
137
138
139
140
141
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1350
1360
1377.4
1396.971
1417.302
1438.396
1460.725
附录四
MINX1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200
X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5=136
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
运行结果
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP5
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）1360.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1200.0000000.000000
X3120.0000000.000000
X655.0724640.000000
X960.5797120.000000
X1166.6376800.000000
X20.0000000.500000
X40.0000000.500000
X70.0000000.500000
X100.0000000.500000
X876.9275360.000000
X5100.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）0.0000000.000000
3）0.0000000.000000
4）0.0000000.000000
5）0.0000000.000000
6）0.0000000.000000
7）0.000000-10.000000
8）0.0000000.000000
9）3.0724640.000000
10）30.0000000.000000
11）30.0000000.000000
12）30.0000000.000000
13）30.0000000.000000
NO.ITERATIONS=5
附录五
MAX1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5
SUBJECTTOX1+X2<200
X3+X4+X5-0.1X1+X2<200
X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5<200
X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8<200
X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8<200
X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5=1390
X5<100
X8<80
X2<30
X4<30
X7<30
X10<30END
运行结果
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）336.2213
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1162.9284400.000000
X100.0000000.006412
X880.0000000.000000
X5100.0000000.000000
X1199.8256530.000000
X20.1743510.000000
X3119.8082120.000000
X40.0000000.002344
X652.0069730.000000
X70.0000000.004475
X957.2076720.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）0.0000000.070908
3）0.0000000.064461
4）0.0000000.058601
5）0.0000000.053274
6）0.0000001.048431
7）0.0000000.051569
8）0.0000000.041602
9）0.0000000.033417
10）29.8256490.000000
11）30.0000000.000000
12）30.0000000.000000
13）30.0000000.000000
NO.ITERATIONS=0
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