数学建模.docx

1、数学建模河海大学计算机与信息学院（常州）数学建模报告题 目 投资与风险问题学生姓名 刘如通 1062310122 项阳 1062310130 邸国强 1062310112 摘要 本文主要是建立一个数学模型用来解决公司的风险与投资的关系问题，并用它来分析如何在规定的时间与固定的本金时，来综合的评估出如何投资使得在风险最小时收益为最大，有助于公司做出正确的决策。关键词： 投资，最小风险，最大收益问题重述 目前某部门现有资金200万元，考虑在今后的五年内给4个项目投资，但是要考虑到收益与风险的问题。现在他们知道项目A是从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B是从第一年到第四

2、年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；而项目C需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据部门测定对于投资这些项目每万元每次投资的风险指数如下表：项目风险指数（次/万元）A1B3C4D5.5现在部门要急需解决如下的问题才能合理的安排对4个项目的投资问题，使得收益与风险在部门的预测范围内。问题一：如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？问题二：如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资

3、金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？问题三：如何安排投资，在使得风险最小的情况下，回收的本利金最大。问题分析根据题意，分析该实际问题，可知当在正常的投资中，不考虑投资项目的利率变化与风险系数的变化时，通过建立合理的数学模型解决此实际问题。对于问题一，我们可以先不考虑投资风险的影响，只考虑如何让收益最大，立出相应的约束条件，然后在使用LINDO软件求解，即可以解得所求的问题。对于问题二，因为考虑到了风险问题，但是还加了一个要使资金的本利在330万元的基础上风险系数为最小的约束条件，所以就要把约束条件转换成一个公式添加到条件中，然后看成是单目标问题，再使用LINDO软件求解，

4、即可以解得所求的问题。对于问题三，有风险和收益两个目标，所以就要建立两个模型求解，第一个模型就是在问题二的基础上，把收益当成是一个固定的值，通过多次的改变收益的值，然后通过LINDO软件求解出相应的最小风险，最后画出风险与收益的大概曲线关系，通过曲线就可以粗略的求解出相应的值。第二个模型是在第一个模型的基础上精确的求解风险与收益的问题，只不过是把风险作为常量再通过程序来求解。假设与符号1、 假设（1），在五年内，该公司能正常的运行而且此合作项目可以继续的合作下去。（2），在五年内，投资的风险系数与每一个项目投资的利率都是固定不变的。（3），风险系数与投资的收益有一定的线性关系。2、 符号说明X

5、1： 在第一年对项目A的投资金额（万元）X2： 在第一年对项目B的投资金额（万元）X3： 在第二年对项目A的投资金额（万元）X4： 在第二年对项目B的投资金额（万元）X5： 在第二年对项目D的投资金额（万元）X6： 在第三年对项目A的投资金额（万元）X7： 在第三年对项目B的投资金额（万元）X8： 在第三年对项目C的投资金额（万元）X9： 在第四年对项目A的投资金额（万元）X10：在第四年对项目B的投资金额（万元）X11：在第五年对项目A的投资金额（万元）MA: 在不考虑投资风险的影响下，第五年年末拥有资金的本利最大金额（万元）MI: 在使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上，其投资

6、总的最小风险系数模型的建立和求解1、 模型的建立就是在解决问题一时，先不考虑风险的影响，这样就是单纯的解决如何使得投资的收益为最大，转化为单目标的函数，这样就能直接求解。但是在解决问题二时，我们要把最大收益当作为一个条件来使用，这样就可以在问题一的基础上解得问题二。对于问题三，我们建立两个数学模型，模型一就是把最大收益作为一个已知的条件，然后继续在问题一的基础上利用LINDO结算，并且做出图形来求解。模型二就是在模型一的基础上继续的优化来精确的求解出最小风险与最大收益的问题。当把风险系数作为变量，通过对最小风险系数的处理来得到最大收益与最小风险的精确关系图。从而解绝问题三。2、 模型的结果分析

7、对问题一的求解我们在先不考虑投资风险的影响下，只考虑如何让收益最大这个问题，利用所学的数学知识立出相应的表达式如下（2）：MA=1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5 （1）X1+X2X3+X4+X5 （3）200+0.1X1+0.1X3+0.25X2-X4-X5X6+X7+X8 （4）200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.25X2+0.25X4-X5-X7-X8X9+X10 （5）200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.25X2+0.25X4+0.25X7-X5-X10-X8X11 （6）X5100 （7）X880 （8）X230 （9）X430

8、 （10）X730 (11 )X1030 (12)利用LINDO软件（1）写出相应的程序（附录一）计算可得：MA=341.3500 万元对应的每年具体的投资额为： X1 = 170.000000 X3 = 57.000000 X6 = 0.000000 X9 =7.500000 X11 = 33.500000 X2 = 30.000000 X4 = 30.000000 X7 = 20.200001 X10 = 30.000000 X8 = 80.000000 X5 =100.000000 对问题二的求解在确保使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上，然后使得其投资总的风险系数为最小，在

9、问题一的基础上，我们把资金的本利在330万元的基础上的条件写成一个新的表达式加入到主体中在利用所学的数学知识所以现在立出相应的表达式如下：MI= X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5 (13)X1+X2X3+X4+X5 (15)200+0.1X1+0.1X3+0.25X2-X4-X5X6+X7+X8 (16)200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.25X2+0.25X4-X5-X7-X8X9+X10 (17)200+0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.25X2+0.25X4+0.25X7-X5-X10-X8X11 (18)

10、0.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5130 (19)X5100 (20)X880 (21)X230 (22)X430 (23)X730 (24)X1030 (25)利用LINDO软件写出相应的程序（附录二）计算可得：MI=1300.000对应的每年具体的投资额为：X1= 200.000000 X3= 73.328323 X6= 47.332832 X9=52.066116 X11=57.272728 X2=0.000000 X4=0.000000 X7=0.000000 X10= 0.0

11、00000 X8=80.000000 X5= 100.000000 对问题三的求解模型一求解：在问题二的基础之上我们认为最大收益是一个常量，然后通过不停的改变最大收益的值来得出最小风险系数与最大收益的大概关系。也就是在LINDO程序中通过改动收益值的大小，从而得出一系列的数值关系（附录三），然后通过作图可以得出最小风险系数与最大收益的关系图（见图表一），以下的图表都是在先不考虑200万本金情况下得到的，LINDO程序如下所示：MIN X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X220

12、0 X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X82000.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5=141（改动此收益的数值） X5100 X880 X230 X430 X730 X1030 END风险与收益 图表 1 图表 2收益1301311321

13、33134135136137138139140141风险13001310132013301340135013601377.41396.9711417.3021438.3961460.725风险与数据 图表 3由如上的图表可知，当在使得风险最小时，本金最大的收益为336万元，具体投资为（附录四）： X1=200.000000 X3=120.000000 X6=55.072464 X9=60.579712 X11=66.637680 X2=0.000000 X4=0.000000 X7=0.000000 X10=0.000000 X8=76.927536 X5=100.000000 模型二求解：为

14、了精确的求解最小风险与收益的问题，从模型二可得，当把最小系数看作是一个常量，然后通过不停的改变最小风险系数的值来得出最大收益与最小风险系数的精确关系。也就是在LINDO程序中通过改动最小风险系数的大小，从而得出一系列的数值关系，然后通过作图可以得出最小风险系数与最大收益的关系图（见图表四），LINDO程序如下所示：MAX 1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X2200 X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0

15、.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8200 X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5=1362.4（最小风险系数） X5100 X880 X230 X430 X730 X1030 END图表四从这张图表可以精确的得出最小风险系数与最大收益的关系。当风险系数为1362.3时，此时的收益为最大336.2213万元，并且风险系数为最小。运行结果见附录五，所以具体的投资安排为：X11=62.928440 X10=0.000000 X8=80.0

16、00000 X5=100.000000 X1=199.825653 X2=0.174351 X3=119.808212 X4=0.000000 X6=52.006973 X7=0.000000 X9=57.207672模型的评价与改进此模型是一种比较方便使用的模型，已经可以大体准确的解决所求的问题，但是还是要通过大量的数据来处理，如果能优化模型的求解直接的用现有的数据直接利用C+来编程绘出关系图就可以更精确的求解此问题。参考文献 （1），LINDO使用手册 XX文库（2），高等数学 同济大学第五版 高等教育出版社（3），LINGO软件的基本使用方法 谢金星, 薛毅编著, 清华大学出版社, 20

17、05年7月第1版（4），数模线性规划 张建勇 教学课件附录一LINDO 程序MAX 1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5 SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X2200 X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8200 X5100 X880 X230 X430 X730 X1030 END运行结果

18、 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 12 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 341.3500 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 33.500000 0.000000 X10 30.000000 0.000000 X8 80.000000 0.000000 X5 100.000000 0.000000 X1 170.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 X3 57.000000 0.000000 X4 30.000000 0.000000 X6 0.000000 0.044000 X7 20

19、.200001 0.000000 X9 7.500000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.151250 3) 0.000000 0.137500 4) 0.000000 0.165000 5) 0.000000 0.110000 6) 0.000000 1.100000 7) 0.000000 0.037500 8) 0.000000 0.025000 9) 0.000000 0.055000 10) 0.000000 0.000000 11) 9.800000 0.000000 12) 0.000000 0.04

20、0000 NO. ITERATIONS= 12附录二LINDO 程序MIN X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X2200 X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8130 X5100 X880 X230 X430 X730 X10

21、30 END运行结果LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1300.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 200.000000 0.000000 X3 73.328323 0.000000 X6 47.332832 0.000000 X9 52.066116 0.000000 X11 57.272728 0.000000 X2 0.000000 0.500000 X4 0.000000 0.500000 X7 0.000000 0.500000 X10 0.000000 0.500000 X

22、8 80.000000 0.000000 X5 100.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 46.671677 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 -10.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 30.000000 0.000000 11) 30.000000 0.000000 12) 30

23、.000000 0.000000 13) 30.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 7附录三收益最小风险系数1020304050607080901001101201301351361371381391401411002003004005006007008009001000110012001300135013601377.41396.9711417.3021438.3961460.725附录四MIN X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X2200 X6

24、+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X82000.1X1+0.1X3+0.1X6+0.1X9+0.1X11+0.25X2+0.25X4+0.25X7+0.25X10+0.4X8+0.55X5=136 X5100 X880 X230 X430 X730 X1030 END运行结果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE

25、 FUNCTION VALUE 1) 1360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 200.000000 0.000000 X3 120.000000 0.000000 X6 55.072464 0.000000 X9 60.579712 0.000000 X11 66.637680 0.000000 X2 0.000000 0.500000 X4 0.000000 0.500000 X7 0.000000 0.500000 X10 0.000000 0.500000 X8 76.927536 0.000000 X5 100.000000 0.000000 R

26、OW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 -10.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 3.072464 0.000000 10) 30.000000 0.000000 11) 30.000000 0.000000 12) 30.000000 0.000000 13) 30.000000 0.000000 NO. IT

27、ERATIONS= 5附录五MAX 1.1X11+1.25X10+1.4X8+1.55X5SUBJECT TO X1+X2200 X3+X4+X5-0.1X1+X2200 X6+X7+X8-0.1X1-0.1X3-0.25X2+X4+X5200 X9+X10-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.25X2-0.25X4+X5+X7+X8200 X11-0.1X1-0.1X3-0.1X6-0.1X9-0.25X2-0.25X4-0.25X7+X5+X10+X8200 X1+X3+X6+X9+X11+3X2+3X4+3X7+3X10+4X8+5.5X5=1390 X5100 X880 X230

28、X430 X730 X1030 END运行结果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 336.2213 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 62.928440 0.000000 X10 0.000000 0.006412 X8 80.000000 0.000000 X5 100.000000 0.000000 X1 199.825653 0.000000 X2 0.174351 0.000000 X3 119.808212 0.000000 X4 0.000000 0.002344 X6 52.

29、006973 0.000000 X7 0.000000 0.004475 X9 57.207672 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.070908 3) 0.000000 0.064461 4) 0.000000 0.058601 5) 0.000000 0.053274 6) 0.000000 1.048431 7) 0.000000 0.051569 8) 0.000000 0.041602 9) 0.000000 0.033417 10) 29.825649 0.000000 11) 30.000000 0.000000 12) 30.000000 0.000000 13) 30.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0