分类汇编二次函数应用题.docx

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分类汇编二次函数应用题

试卷分类汇编二次函数应用题

1、某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　10　棵橘子树，橘子总个数最多．

解答：

解：

假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，

∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，

∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，

则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．

∵果园橙子的总产量为y，

∴则y=（x+100）（600﹣5x）=﹣5x2+100x+60000，

∴当x=﹣

=﹣

=10（棵）时，橘子总个数最多．故答案为：

10．

2、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m.

【答案】48

【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18，－9），

设抛物线方程为：

，将B点坐标代入，得a＝－

，所以，抛物线方程为：

，

E点纵坐标为y＝－16，代入抛物线方程，－16＝

，解得：

x＝24，所以，DE的长为48m。

3、某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

分析：

（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；

（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．

解答：

解：

（1）由题意，可设y=kx+b，

把（5，30000），（6，20000）代入得：

，

解得：

，

所以y与x之间的关系式为：

y=﹣10000x+80000；

（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）

=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）=﹣10000（x2﹣12x+32）=﹣10000=﹣10000（x﹣6）2+40000

所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．

答：

当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．

4、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

分析：

（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；

（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；

（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

解答：

解：

（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：

﹣10x2+600x﹣5000=3000，

解得：

x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：

当20≤x≤40时，w≥3000．

又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．

∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

5、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:

销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

解析：

（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.由所给函数图象得

∴函数关系式为y＝－x＋180.……………

（2）W＝（x－100）y＝（x－100）（－x＋180）

＝－x2＋280x－18000＝－（x－140）2＋1600

当售价定为140元,W最大＝1600.

∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元

6、某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？

最大为多少？

（材质及其厚度等暂忽略不计）．

解答：

解：

已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm．

由题意得：

y=x（90﹣x）×20=﹣20（x2﹣90x）=﹣20（x﹣45）2+40500

当x=45时，y有最大值，最大值为40500．

答：

当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．

7、某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：

当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润

（元）与销售单价

（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：

该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：

每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

解析：

（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000

（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250

所以，当x＝35时，w有最大

值2250，

即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大

（3）方案A：

由题可得＜x≤30，

因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，

抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，

所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，

方案B：

由题意得

，解得：

，

在对称轴右侧，w随x的增大而减小，

所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，

因为2000元＞1250元，

所以选择方案A。

8、（13年安徽省12分、22）（12分）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件）

P=50—x

销售单价q（元/件）

当1≤x≤20时，q=30+

x；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？

最大利润是多少？

9、某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

y2=

（1）用x的代数式表示t为：

t=　6﹣x　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：

y2=　5x+80　；当　4　＜x＜　6　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

分析：

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系

及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：

当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100；

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：

①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

解答：

解：

（1）由题意，得x+t=6，∴t=6﹣x；

∵

，

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y2与x的函数关系为：

y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，此时y2=100．故答案为6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480；

②当2＜x≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480；

③当4＜x＜6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600；

综上可知，w=

；

（3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；

当2＜x≤4时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时x=4时，w最大=640；

当4＜x＜6时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；

∴x=4时，w最大=640．故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

10、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：

在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）

x

销售量y（件）

　1000﹣10x　

销售玩具获得利润w（元）

　﹣10x2+1300x﹣30000　

（2）在

（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在

（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

分析：

（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；

（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．

解答：

解：

（1）

销售单价（元）

x

销售量y（件）

1000﹣10x

销售玩具获得利润w（元）

﹣10x2+1300x﹣30000

（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：

x1=50，x2=80

答：

玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，

（3）根据题意得

解之得：

44≤x≤46

w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250

∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．

∴当x=46时，W最大值=8640（元）

答：

商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．

11、某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB（单位：

米）。

现以AB所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O．已知AB=8米。

设抛物线解析式为y=ax2-4．

（1）求a的值；

（2）点C（一1，m）是抛物线上一点，点C关于原点0的对称点为点D，连接CD、BC、BD，求ABCD的面积．

分析：

（1）首先得出B点的坐标，进而利用待定系数法求出a继而得二次函数解析式

（2）首先得出C点的坐标，再由对称性得D点的坐标，由S△BCD=S△BOD+S△BOC求出

解答：

（1）解∵AB=8由抛物线的对称性可知0B=4

∴B（4，0）0=16a-4∴a=

（2）解：

过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F

∵a=

∴

令x=一1．∴m=

×（一1）2—4=

∴C（-1，

）

∵点C关于原点对称点为D∴D（1，

）．∴CE=DF=

S△BCD=S△BOD+S△BOC==

OB·DF+

OB·CE=

×4×

+

×4×

=15

∴△BCD的面积为l5平方米

12、某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）

…

55

60

70

75

…

一周的销售量y（件）

…

450

400

300

250

…

（1）直接写出y与x的函数关系式：

　y=﹣10x+1000　

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

分析：

（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；

（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；

（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．

解答：

解：

（1）设y=kx+b，

由题意得，

，

解得：

，

则函数关系式为：

y=﹣10x+1000；

（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）

=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000，

∵﹣10＜0，

∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，

∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；

（3）当购进该商品的贷款为10000元时，

y=

=250（件），此时x=75，

由

（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，

∴当x=70时，销售利润最大，

此时S=9000，

即该商家最大捐款数额是9000元．

13、今年，6月12日为端午节。

在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。

请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

（1）小华的问题解答：

解析：

（1）解：

设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得

（x-2）（500-

×10）=800.………………………（2分）

整理得：

x2-10x+24=0.

解之得：

x1=4,x2=6.………………………（3分）

∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元）.

∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.

答：

应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………（4分）

（2）解：

设每天利润为W元，定价为x元/个，得

W=（x-2）（500-

×10）

=-100x2+1000x-1600

=-100（x-5）2+900.………………………（6分）

∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8，

∴当x=4.8时，W最大，

W最大=-100×（4.8-5）2+900=896＞800.………………………（7分）

故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………（8分）