所以f（x）在（1，＋∞）上是减函数．
题型二求函数的单调区间
【例2】已知f（x）＝
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数的单调区间．
【解】
（1）作出函数f（x）＝
的图象如下：
（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为[－3，－2），[0,1），[3,6]；单调递增区间为[－2,0），[1,3）．
【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤
（1）作图：
作出函数的图象．
（2）结论：
上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．
【提醒】当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．
【变式2】．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－
；
（2）f（x）＝
（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.
【解】
（1）函数f（x）＝－
的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．
（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1,0），[0,1），[1，＋∞）．
f（x）在（－∞，－1]，[0,1）上是增函数，在（－1,0），[1，＋∞）上是减函数．
题型三 函数单调性的应用
【例3】
（1）已知函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3.
①若函数f（x）在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
②若函数f（x）的单调递增区间是（－∞，3]，则实数a的值为________．
（2）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________．
【答案】
（1）①（－∞，－4] ②－4
（2）（－4，－2）
【解析】
（1）f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3＝－（x＋a＋1）2＋（a＋1）2＋3.
因此函数的单调递增区间为（－∞，－a－1]．
①由f（x）在（－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为（－∞，－4]．
②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
（2）函数f（x）的对称轴方程为x＝－
，要使函数f（x）在区间[1,2]上不单调，则1＜－
＜2，解得－4＜a＜－2.
【规律方法总结】
（1）区间D是函数f（x）的定义域的子集，x1，x2是区间D中的任意两个自变量，且x1＜x2，
①f（x）在区间D上单调递增，则x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）．
②f（x）在区间D上单调递减，则x1＜x2⇔f（x1）＞f（x2）．
（2）有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程如下：
【变式3】已知f（x）＝
（x≠a）．
（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；
（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．
【解析】：
（1）证明：
当a＝－2时，f（x）＝
.
任取x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
因为x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，
所以（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增．
（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f（x1）－f（x2）＞0，
所以（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1，
所以0＜a≤1，所以a的取值范围为（0,1]．
三、课堂达标检测
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（ ）
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【答案】C
【解析】由图可知，f（x）在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.
2．如果函数f（x）＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞）上是增函数，则b的取值范围为（ ）
A．b＝3 B．b≥3
C．b≤3D．b≠3
【答案】C
【解析】函数f（x）＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f（x）＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞）上是增函数，则b≤3，故选C.
3.下列函数在区间（0，＋∞）上不是增函数的是（ ）
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－xD．y＝x2＋2x＋1
【答案】C
【解析】：
函数y＝3－x在区间（0，＋∞）上是减函数．
4.函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（ ）
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]D．[－3,4]
【答案】C
【解析】：
由图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3,1]，选C.
5．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（ ）
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x2D．y＝1－x
【答案】D
【解析】：
选项A、B、C中的函数在（0，＋∞）上都是增函数，选项D满足条件．
6．函数y＝（x＋4）2的递减区间是（ ）
A．（－∞，－4）B．（－4，＋∞）
C．（4，＋∞）D．（－∞，4）
【答案】A
【解析】：
作出函数y＝（x＋4）2的图象，由图象知，y＝（x＋4）2的递减区间是（－∞，－4）．
7．证明：
函数y＝
在（－1，＋∞）上是增函数．
【证明】设x1>x2>－1，则
y1－y2＝
－
＝
.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴
>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝
在（－1，＋∞）上是增函数．
8.利用单调性的定义，证明函数y＝
在（－1，＋∞）上是减函数．
【证明】：
∀x1，x2∈（－1，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以
＞0，即f（x1）－f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）．
所以y＝
在（－1，＋∞）上是减函数．
四、课后提升作业
一、选择题
1．函数f（x）＝
在R上（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增D．先增后减
【答案】
B
【解析】：
画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数．
2．函数f（x）＝|x|，g（x）＝x（2－x）的递增区间依次是（ ）
A．（－∞，0]，（－∞，1]B．（－∞，0]，（1，＋∞）
C．[0，＋∞），（－∞，1]D．[0，＋∞），[1，＋∞）
【答案】C
【解析】：
分别作出f（x）与g（x）的图象（图略）得：
f（x）在[0，＋∞）上递增，g（x）在（－∞，1]上递增，选C.
3．函数y＝x2－6x＋10在区间（2,4）上（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先减后增D．先增后减
【答案】C
【解析】：
函数y＝x2－6x＋10图象的对称轴为直线x＝3，此函数在区间（2,3）上单调递减，在区间（3,4）上单调递增．
4．设（a，b），（c，d）都是f（x）的单调递增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1A．f（x1）f（x2）
C．f（x1）＝f（x2）D．不能确定
【答案】D
【解析】：
由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f（x1）与f（x2）的大小关系不能确定．故选D.
5．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3,1）是其图象上的两点，则－1A．（－3,0）B．（0,3）
C．（－∞，－1]∪[3，＋∞）D．（－∞，0]∪[1，＋∞）
【答案】B
【解析】：
由已知，得f（0）＝－1，f（3）＝1，∴－16．若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（－1,0）∪（0,1）B．（－1,0）∩（0,1）
C．（0,1）D．（0,1]
【答案】D
【解析】：
因为g（x）＝
在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0.因为函数f（x）＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是（0,1]．
7.下列函数中，在（0,2）上是增函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝2x－1
C．y＝1－2xD．y＝（2x－1）2
【答案】B
【解析】对于A，y＝
在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝（2x－1）2在
上单调递减，在
上单调递增．故选B.
8．函数f（x）＝|x|，g（x）＝x（2－x）的递增区间依次是（ ）
A．（－∞，0]，（－∞，1]B．（－∞，0]，（1，＋∞）
C．[0，＋∞），（－∞，1]D．[0，＋∞），[1，＋∞）
【答案】C
【解析】分别作出f（x）与g（x）的图象得：
f（x）在[0，＋∞）上递增，g（x）在（－∞，1]上递增，选C.
9.下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有
>0”的是（ ）
A．f（x）＝
B．f（x）＝－3x＋1
C．f（x）＝x2＋4x＋3D．f（x）＝x＋
【答案】C
【解析】：
>0⇔f（x）在（0，＋∞）上为增函数，而f（x）＝
及f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上均为减函数，故A、B错误；f（x）＝x＋
在（0,1）上递减，在[1，＋∞）上递增，故D错误；f（x）＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝（x＋2）2－1，所以f（x）在[－2，＋∞）上递增，故只有C正确．
10．若函数y＝ax与y＝－
在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先增后减D．先减后增
【答案】B
【解析】由于函数y＝ax与y＝－
在（0，＋∞）上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f（x）＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－
<0，故函数y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上单调递减．
11．定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有
<0，则（ ）
A．f（3）（2）（1）B．f
（1）（2）C．f
（2）（1）（1）（2）
【答案】A
【解析】对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有
<0，则x2－x1与f（x2）－f（x1）异号，则f（x）在R上是减函数．又3>2>1，则f（3）（2）（1）．故选A.
12．f（x）为（－∞，＋∞）上的减函数，a∈R，则（ ）
A．f（a）＜f（2a）B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2＋1）＜f（a）D．f（a2＋a）＜f（a）
【答案】C
【解析】因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f（a）与f（2a）的大小，故A错；而a2－a＝a（a－1）与0的大小关系也不定，也无法比较f（a2）与f（a）的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝
2＋
＞0，所以a2＋1＞a.又f（x）为（－∞，＋∞）上的减函数，故有f（a2＋1）＜f（a），故C对；易知D错．故选C.
二、填空题
13.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间
上是增函数，则实数a的取值范围为________．
【答案】（－∞，2]
【解析】∵函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的对称轴为x＝
且在区间
上是增函数，∴
≤
，即a≤2.
14．若函数f（x）＝
在（a，＋∞）上单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞）
【解析】函数f（x）＝
的单调递减区间为（－1，＋∞），（－∞，－1），又f（x）在（a，＋∞）上单调递减，所以a≥－1.
15．已知f（x）在定义域内是减函数，且f（x）>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f（x）（a为常数）；
②y＝a－f（x）（a为常数）；
③y＝
；④y＝[f（x）]2.
【答案】②③
【解析】f（x）在定义域内是减函数，且f（x）>0时，－f（x），
均为递增函数，故选②③.
16．函数y＝|x|（1－x）的单调递增区间为________．
【答案】：
【解析】：
y＝|x|（1－x）＝
作出其图象如图
观察图象知递增区间为
.
17．已知函数f（x）为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f（x）的实数x的取值范围为________．
【答案】：
【解析】：
由题设得
解得－1≤x<
.
18．若函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】：
（－∞，8]∪[40，＋∞）
【解析】：
由题意知函数f（x）＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝
，因为函数f（x）＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以
≤1或
≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是（－∞，8]∪[40，＋∞）．
19．若函数f（x）＝x2＋a|x－2|在（0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【答案】：
[－4,0]
【解析】：
∵f（x）＝x2＋a|x－2|，
∴f（x）＝
又∵f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∴
∴－4≤a≤0，
∴实数a的取值范围是[－4,0]．
20．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f（x＋1）＝－f（x）；
②函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且
＞0.
则f（－1），f
，f
（2）的大小顺序是________．（用“＜”连接）
【答案】：
f（－1）＜f
＜f
（2）
【解析】：
由①知f
（1）＝－f（0），f（0）＝－f（－1），所以f（－1）＝f
（1）．
由③知
＜0，所以函数f（x）在[0,1]上为减函数，
结合②知，函数f（x）在[1,2]上为增函数，
所以f
（1）＜f
＜f
（2），即f（－1）＜f
＜f
（2）．
三、解答题
21．用定义判断函数f（x）＝
在（－2，＋∞）上的单调性．
【解】：
设－2＜x1＜x2，
则f（x2）－f（x1）
＝
－
＝
＝
.
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
故当a＜
时，f（x2）－f（x1）＜0，
∴f（x）在（－2，＋∞）是减函数．
当a＞
时，f（x2）－f（x1）＞0，
∴f（x）在（－2，＋∞）是增函数．
综上得，a＜
时，f（x）在（－2，＋∞）是减函数；
a＞
时，f（x）在（－2，＋∞）是增函数．
22.已知一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）（x＋m），且f（f（x））＝16x＋5.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）在（1，＋∞）上单调递增，求实数m的取值范围．
【解】
（1）由题意设f（x）＝ax＋b（a>0）．
从而f（f（x））＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得
或
（不合题意，舍去）．
所以f（x）的解析式为f（x）＝4x＋1.
（2）g（x）＝f（x）（x＋m）＝（4x＋1）（x＋m）＝4x2＋（4m＋1）x＋m，g（x）图象的对称轴为直线x＝－
.
若g（x）在（1，＋∞）上单调递增，则－
≤1，解得m≥－
，所以实数m的取值范围为
.
23．已知函数f（x）＝x－
＋
在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
【解】：
设11.
∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，
∴f（x1）－f（x2）＝x1－
＋
－
＝（x1－x2）
<0.
∵x1－x2<0，∴1＋
>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞）．
24．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，且当x>0时，f（x）>1.
（1）求证：
f（x）是R上的增函数；
（2）若f
＝f（x）－f（y），f
（2）＝1，解不等式f（x）－f
≤2.
【解】：
（1）证明：
设∀x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f（x2－x1）>1，
所以f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1>0，
所以f（x1）（2）因为f
＝f（x）－f（y），
所以f（y）＋f
＝f（x）．
在上式中取x＝4，y＝2，则有f
（2）＋f
（2）＝f（4），
因为f
（2）＝1，所以f（4）＝2.
于是不等式f（x）－f
≤2等价于f[x（x－3）]≤f（4）（x≠3）．又由
（1），知f（x）是R上的增函数，
所以
解得－1≤x<3或3所以原不等式的解集为[－1,3）∪（3,4]．
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