所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.
题型二求函数的单调区间
【例2】已知f(x)=
(1)画出这个函数的图象;
(2)求函数的单调区间.
【解】
(1)作出函数f(x)=
的图象如下:
(2)由f(x)的图象可得,单调递减区间为[-3,-2),[0,1),[3,6];单调递增区间为[-2,0),[1,3).
【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图:
作出函数的图象.
(2)结论:
上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.
【提醒】当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接.
【变式2】.求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
(1)f(x)=-
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
【解】
(1)函数f(x)=-
的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.
(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).
f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.
题型三 函数单调性的应用
【例3】
(1)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.
①若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是________;
②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为________.
(2)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为________.
【答案】
(1)①(-∞,-4] ②-4
(2)(-4,-2)
【解析】
(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.
因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1].
①由f(x)在(-∞,3]上是增函数知3≤-a-1,
解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].
②由题意得-a-1=3,a=-4.
(2)函数f(x)的对称轴方程为x=-
,要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则1<-
<2,解得-4<a<-2.
【规律方法总结】
(1)区间D是函数f(x)的定义域的子集,x1,x2是区间D中的任意两个自变量,且x1<x2,
①f(x)在区间D上单调递增,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2).
②f(x)在区间D上单调递减,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2)有关函数单调性应用的题目,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维流程如下:
【变式3】已知f(x)=
(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
【解析】:
(1)证明:
当a=-2时,f(x)=
.
任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
因为x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,
所以(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
因为a>0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0,
所以(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1,
所以0<a≤1,所以a的取值范围为(0,1].
三、课堂达标检测
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
【答案】C
【解析】由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.
2.如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为( )
A.b=3 B.b≥3
C.b≤3D.b≠3
【答案】C
【解析】函数f(x)=x2-2bx+2的图象是开口向上,且以直线x=b为对称轴的抛物线,
若函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b≤3,故选C.
3.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-xD.y=x2+2x+1
【答案】C
【解析】:
函数y=3-x在区间(0,+∞)上是减函数.
4.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( )
A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1]D.[-3,4]
【答案】C
【解析】:
由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.
5.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( )
A.y=-
B.y=x
C.y=x2D.y=1-x
【答案】D
【解析】:
选项A、B、C中的函数在(0,+∞)上都是增函数,选项D满足条件.
6.函数y=(x+4)2的递减区间是( )
A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)
C.(4,+∞)D.(-∞,4)
【答案】A
【解析】:
作出函数y=(x+4)2的图象,由图象知,y=(x+4)2的递减区间是(-∞,-4).
7.证明:
函数y=
在(-1,+∞)上是增函数.
【证明】设x1>x2>-1,则
y1-y2=
-
=
.
∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0,
∴
>0,即y1-y2>0,y1>y2,
∴y=
在(-1,+∞)上是增函数.
8.利用单调性的定义,证明函数y=
在(-1,+∞)上是减函数.
【证明】:
∀x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
因为-1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0,
所以
>0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
所以y=
在(-1,+∞)上是减函数.
四、课后提升作业
一、选择题
1.函数f(x)=
在R上( )
A.是减函数 B.是增函数
C.先减后增D.先增后减
【答案】
B
【解析】:
画出该分段函数的图象,由图象知,该函数在R上是增函数.
2.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( )
A.(-∞,0],(-∞,1]B.(-∞,0],(1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1]D.[0,+∞),[1,+∞)
【答案】C
【解析】:
分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)得:
f(x)在[0,+∞)上递增,g(x)在(-∞,1]上递增,选C.
3.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上( )
A.单调递增B.单调递减
C.先减后增D.先增后减
【答案】C
【解析】:
函数y=x2-6x+10图象的对称轴为直线x=3,此函数在区间(2,3)上单调递减,在区间(3,4)上单调递增.
4.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2)D.不能确定
【答案】D
【解析】:
由函数单调性的定义知,所取两个自变量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定.故选D.
5.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则-1A.(-3,0)B.(0,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)
【答案】B
【解析】:
由已知,得f(0)=-1,f(3)=1,∴-16.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=
在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∩(0,1)
C.(0,1)D.(0,1]
【答案】D
【解析】:
因为g(x)=
在区间[1,2]上是减函数,所以a>0.因为函数f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1].
7.下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( )
A.y=
B.y=2x-1
C.y=1-2xD.y=(2x-1)2
【答案】B
【解析】对于A,y=
在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;对于B,y=2x-1在R上单调递增;对于C,y=1-2x在R上单调递减;对于D,y=(2x-1)2在
上单调递减,在
上单调递增.故选B.
8.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( )
A.(-∞,0],(-∞,1]B.(-∞,0],(1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1]D.[0,+∞),[1,+∞)
【答案】C
【解析】分别作出f(x)与g(x)的图象得:
f(x)在[0,+∞)上递增,g(x)在(-∞,1]上递增,选C.
9.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有
>0”的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=-3x+1
C.f(x)=x2+4x+3D.f(x)=x+
【答案】C
【解析】:
>0⇔f(x)在(0,+∞)上为增函数,而f(x)=
及f(x)=-3x+1在(0,+∞)上均为减函数,故A、B错误;f(x)=x+
在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故D错误;f(x)=x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1,所以f(x)在[-2,+∞)上递增,故只有C正确.
10.若函数y=ax与y=-
在(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在(0,+∞)上( )
A.单调递增B.单调递减
C.先增后减D.先减后增
【答案】B
【解析】由于函数y=ax与y=-
在(0,+∞)上均为减函数,故a<0,b<0,故二次函数f(x)=ax2+bx的图象开口向下,且对称轴为直线x=-
<0,故函数y=ax2+bx在(0,+∞)上单调递减.
11.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有
<0,则( )
A.f(3)(2)(1)B.f
(1)(2)C.f
(2)(1)(1)(2)
【答案】A
【解析】对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有
<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,则f(x)在R上是减函数.又3>2>1,则f(3)(2)(1).故选A.
12.f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,a∈R,则( )
A.f(a)<f(2a)B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+1)<f(a)D.f(a2+a)<f(a)
【答案】C
【解析】因为a∈R,所以a-2a=-a与0的大小关系不定,无法比较f(a)与f(2a)的大小,故A错;而a2-a=a(a-1)与0的大小关系也不定,也无法比较f(a2)与f(a)的大小,故B错;又因为a2+1-a=
2+
>0,所以a2+1>a.又f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,故有f(a2+1)<f(a),故C对;易知D错.故选C.
二、填空题
13.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上是增函数,则实数a的取值范围为________.
【答案】(-∞,2]
【解析】∵函数f(x)=x2-(a-1)x+5的对称轴为x=
且在区间
上是增函数,∴
≤
,即a≤2.
14.若函数f(x)=
在(a,+∞)上单调递减,则a的取值范围是________.
【答案】[-1,+∞)
【解析】函数f(x)=
的单调递减区间为(-1,+∞),(-∞,-1),又f(x)在(a,+∞)上单调递减,所以a≥-1.
15.已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内下列函数为单调增函数的是________.
①y=a+f(x)(a为常数);
②y=a-f(x)(a为常数);
③y=
;④y=[f(x)]2.
【答案】②③
【解析】f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0时,-f(x),
均为递增函数,故选②③.
16.函数y=|x|(1-x)的单调递增区间为________.
【答案】:
【解析】:
y=|x|(1-x)=
作出其图象如图
观察图象知递增区间为
.
17.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)的实数x的取值范围为________.
【答案】:
【解析】:
由题设得
解得-1≤x<
.
18.若函数f(x)=8x2-2kx-7在[1,5]上为单调函数,则实数k的取值范围是________.
【答案】:
(-∞,8]∪[40,+∞)
【解析】:
由题意知函数f(x)=8x2-2kx-7的图象的对称轴为x=
,因为函数f(x)=8x2-2kx-7在[1,5]上为单调函数,所以
≤1或
≥5,解得k≤8或k≥40,所以实数k的取值范围是(-∞,8]∪[40,+∞).
19.若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
【答案】:
[-4,0]
【解析】:
∵f(x)=x2+a|x-2|,
∴f(x)=
又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴
∴-4≤a≤0,
∴实数a的取值范围是[-4,0].
20.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=-f(x);
②函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③对于任意的x1,x2∈[0,1],且
>0.
则f(-1),f
,f
(2)的大小顺序是________.(用“<”连接)
【答案】:
f(-1)<f
<f
(2)
【解析】:
由①知f
(1)=-f(0),f(0)=-f(-1),所以f(-1)=f
(1).
由③知
<0,所以函数f(x)在[0,1]上为减函数,
结合②知,函数f(x)在[1,2]上为增函数,
所以f
(1)<f
<f
(2),即f(-1)<f
<f
(2).
三、解答题
21.用定义判断函数f(x)=
在(-2,+∞)上的单调性.
【解】:
设-2<x1<x2,
则f(x2)-f(x1)
=
-
=
=
.
∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,
故当a<
时,f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)在(-2,+∞)是减函数.
当a>
时,f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)在(-2,+∞)是增函数.
综上得,a<
时,f(x)在(-2,+∞)是减函数;
a>
时,f(x)在(-2,+∞)是增函数.
22.已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
【解】
(1)由题意设f(x)=ax+b(a>0).
从而f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,
所以
解得
或
(不合题意,舍去).
所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1.
(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-
.
若g(x)在(1,+∞)上单调递增,则-
≤1,解得m≥-
,所以实数m的取值范围为
.
23.已知函数f(x)=x-
+
在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
【解】:
设11.
∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f(x1)-f(x2)=x1-
+
-
=(x1-x2)
<0.
∵x1-x2<0,∴1+
>0,即a>-x1x2.
∵11,∴-x1x2<-1,∴a≥-1.
∴a的取值范围是[-1,+∞).
24.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:
f(x)是R上的增函数;
(2)若f
=f(x)-f(y),f
(2)=1,解不等式f(x)-f
≤2.
【解】:
(1)证明:
设∀x1,x2∈R,且x1则x2-x1>0,即f(x2-x1)>1,
所以f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,
所以f(x1)(2)因为f
=f(x)-f(y),
所以f(y)+f
=f(x).
在上式中取x=4,y=2,则有f
(2)+f
(2)=f(4),
因为f
(2)=1,所以f(4)=2.
于是不等式f(x)-f
≤2等价于f[x(x-3)]≤f(4)(x≠3).又由
(1),知f(x)是R上的增函数,
所以
解得-1≤x<3或3所以原不等式的解集为[-1,3)∪(3,4].