321 函数的单调性解析版高一数学同步讲义新教材人教A版必修第一册.docx

1、321 函数的单调性解析版高一数学同步讲义新教材人教A版必修第一册32.1 函数的单调性 一、知识点归纳一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(2)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(3)如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D

2、叫做yf(x)的单调区间二、题型分析题型一 用定义法证明(判断)函数的单调性【例1】已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明【解】(1)由x210得x1，故函数f(x)的定义域为x|x1(2)函数f(x)在(1，)上为减函数，理由如下：x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x10，x10，x2x10，x2x10，所以f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1，)上为减函数【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，

3、并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性【提醒】作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式【变式1】试用函数单调性的定义证明：f(x)在(1，)上是减函数【证明】f(x)2，设x1x21，则f(x1)f(x2)，因为x1x21，所以x2x10，x210，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上是减函数题型二 求函数的单调区间 【例2】已知f(x)(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的单调区间【解】(1)作出函数f(x)的图象如下：(2)由f(

4、x)的图象可得，单调递减区间为3，2)，0,1)，3,6；单调递增区间为2,0)，1,3)【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间【提醒】当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“”连接【变式2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.【解】(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当xx21，则y1y2.x1x21，x1

5、x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函数8.利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数【证明】：x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为1x1x2，所以x2x10，x110，x210，所以0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以y在(1，)上是减函数四、课后提升作业一、选择题1函数f(x)在R上()A是减函数 B是增函数C先减后增 D先增后减【答案】B【解析】：画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数2函数f(x)|x|，g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，(1，)C0，)，

6、(，1 D0，)，1，)【答案】C【解析】：分别作出f(x) 与g(x)的图象(图略)得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，选C.3函数yx26x10在区间(2,4)上()A单调递增 B单调递减C先减后增 D先增后减【答案】C【解析】：函数yx26x10图象的对称轴为直线x3，此函数在区间(2,3)上单调递减，在区间(3,4)上单调递增4设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定【答案】D【解析】：由函数单调性的定义知，所取两个自变

7、量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定故选D.5已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图象上的两点，则1f(x)1的解集是()A(3,0) B(0,3)C(，13，) D(，01，)【答案】B【解析】：由已知，得f(0)1，f(3)1，1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)f(x)在R上单调递增，0x0”的是()Af(x) Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x【答案】C【解析】：0f(x)在(0，)上为增函数，而f(x)及f(x)3x

8、1在(0，)上均为减函数，故A、B错误；f(x)x在(0,1)上递减，在1，)上递增，故D错误；f(x)x24x3x24x41(x2)21，所以f(x)在2，)上递增，故只有C正确10若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则函数yax2bx在(0，)上()A单调递增 B单调递减C先增后减 D先减后增【答案】B【解析】由于函数yax与y在(0，)上均为减函数，故a0，b0，故二次函数f(x)ax2bx的图象开口向下，且对称轴为直线x0，故函数yax2bx在(0，)上单调递减11定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2R(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f

9、(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)【答案】A【解析】对任意x1，x2R(x1x2)，有21，则f(3)f(2)0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是_yaf(x)(a为常数)；yaf(x)(a为常数)；y；yf(x)2.【答案】【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)0时，f(x)，均为递增函数，故选.16函数y|x|(1x)的单调递增区间为_【答案】：【解析】：y|x|(1x)作出其图象如图观察图象知递增区间为.17已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_【答案】：【解析】：由题设得解得1x0)从而f(f(x)a(

10、axb)ba2xabb16x5，所以解得或(不合题意，舍去)所以f(x)的解析式为f(x)4x1.(2)g(x)f(x)(xm)(4x1)(xm)4x2(4m1)xm，g(x)图象的对称轴为直线x.若g(x)在(1，)上单调递增，则1，解得m，所以实数m的取值范围为.23已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围【解】：设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x20时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若ff(x)f(y)，f(2)1，解不等式f(x)f2.【解】：(1)证明：设x1，x2R，且x10，即f(x2x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的增函数(2)因为ff(x)f(y)，所以f(y)ff(x)在上式中取x4，y2，则有f(2)f(2)f(4)，因为f(2)1，所以f(4)2.于是不等式f(x)f2等价于fx(x3)f(4)(x3)又由(1)，知f(x)是R上的增函数，所以解得1x3或3x4，所以原不等式的解集为1,3)(3,4