1、321 函数的单调性解析版高一数学同步讲义新教材人教A版必修第一册32.1 函数的单调性 一、知识点归纳一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI:(1)如果x1,x2D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(2)如果x1,x2D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(3)如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D
2、叫做yf(x)的单调区间二、题型分析题型一 用定义法证明(判断)函数的单调性【例1】已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)在(1,)上的单调性,并加以证明【解】(1)由x210得x1,故函数f(x)的定义域为x|x1(2)函数f(x)在(1,)上为减函数,理由如下:x1,x2(1,),且x1x2,则f(x1)f(x2).因为x10,x10,x2x10,x2x10,所以f(x1)f(x2),故函数f(x)在(1,)上为减函数【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差变形:作差f(x1)f(x2),
3、并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子(3)定号:确定f(x1)f(x2)的符号(4)结论:根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性【提醒】作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式【变式1】试用函数单调性的定义证明:f(x)在(1,)上是减函数【证明】f(x)2,设x1x21,则f(x1)f(x2),因为x1x21,所以x2x10,x210,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,)上是减函数题型二 求函数的单调区间 【例2】已知f(x)(1)画出这个函数的图象;(2)求函数的单调区间【解】(1)作出函数f(x)的图象如下:(2)由f(
4、x)的图象可得,单调递减区间为3,2),0,1),3,6;单调递增区间为2,0),1,3)【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤(1)作图:作出函数的图象(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间【提醒】当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“”连接【变式2】 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x);(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.【解】(1)函数f(x)的单调区间为(,0),(0,),其在(,0),(0,)上都是增函数(2)当x1时,f(x)是增函数,当xx21,则y1y2.x1x21,x1
5、x20,x110,x210,0,即y1y20,y1y2,y在(1,)上是增函数8.利用单调性的定义,证明函数y在(1,)上是减函数【证明】:x1,x2(1,),且x1x2,则f(x1)f(x2).因为1x1x2,所以x2x10,x110,x210,所以0,即f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)所以y在(1,)上是减函数四、课后提升作业一、选择题1函数f(x)在R上()A是减函数 B是增函数C先减后增 D先增后减【答案】B【解析】:画出该分段函数的图象,由图象知,该函数在R上是增函数2函数f(x)|x|,g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(,0,(,1 B(,0,(1,)C0,),
6、(,1 D0,),1,)【答案】C【解析】:分别作出f(x) 与g(x)的图象(图略)得:f(x)在0,)上递增,g(x)在(,1上递增,选C.3函数yx26x10在区间(2,4)上()A单调递增 B单调递减C先减后增 D先增后减【答案】C【解析】:函数yx26x10图象的对称轴为直线x3,此函数在区间(2,3)上单调递减,在区间(3,4)上单调递增4设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1(a,b),x2(c,d),x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定【答案】D【解析】:由函数单调性的定义知,所取两个自变
7、量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定故选D.5已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图象上的两点,则1f(x)1的解集是()A(3,0) B(0,3)C(,13,) D(,01,)【答案】B【解析】:由已知,得f(0)1,f(3)1,1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)f(x)在R上单调递增,0x0”的是()Af(x) Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x【答案】C【解析】:0f(x)在(0,)上为增函数,而f(x)及f(x)3x
8、1在(0,)上均为减函数,故A、B错误;f(x)x在(0,1)上递减,在1,)上递增,故D错误;f(x)x24x3x24x41(x2)21,所以f(x)在2,)上递增,故只有C正确10若函数yax与y在(0,)上都是减函数,则函数yax2bx在(0,)上()A单调递增 B单调递减C先增后减 D先减后增【答案】B【解析】由于函数yax与y在(0,)上均为减函数,故a0,b0,故二次函数f(x)ax2bx的图象开口向下,且对称轴为直线x0,故函数yax2bx在(0,)上单调递减11定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2R(x1x2),有0,则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f
9、(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)【答案】A【解析】对任意x1,x2R(x1x2),有21,则f(3)f(2)0,在其定义域内下列函数为单调增函数的是_yaf(x)(a为常数);yaf(x)(a为常数);y;yf(x)2.【答案】【解析】f(x)在定义域内是减函数,且f(x)0时,f(x),均为递增函数,故选.16函数y|x|(1x)的单调递增区间为_【答案】:【解析】:y|x|(1x)作出其图象如图观察图象知递增区间为.17已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数,则满足f(x)f的实数x的取值范围为_【答案】:【解析】:由题设得解得1x0)从而f(f(x)a(
10、axb)ba2xabb16x5,所以解得或(不合题意,舍去)所以f(x)的解析式为f(x)4x1.(2)g(x)f(x)(xm)(4x1)(xm)4x2(4m1)xm,g(x)图象的对称轴为直线x.若g(x)在(1,)上单调递增,则1,解得m,所以实数m的取值范围为.23已知函数f(x)x在(1,)上是增函数,求实数a的取值范围【解】:设1x11.函数f(x)在(1,)上是增函数,f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20,即ax1x2.1x11,x1x20时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若ff(x)f(y),f(2)1,解不等式f(x)f2.【解】:(1)证明:设x1,x2R,且x10,即f(x2x1)1,所以f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10,所以f(x1)f(x2),所以f(x)是R上的增函数(2)因为ff(x)f(y),所以f(y)ff(x)在上式中取x4,y2,则有f(2)f(2)f(4),因为f(2)1,所以f(4)2.于是不等式f(x)f2等价于fx(x3)f(4)(x3)又由(1),知f(x)是R上的增函数,所以解得1x3或3x4,所以原不等式的解集为1,3)(3,4
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