数学建模A题.docx
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数学建模A题
车道被占用对城市道路通行能力的影响
参赛队员（打印并签名）：
1、徐胜杰
2、包小红
3、冯金慧
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
刘志伟
摘要
本文研究车道被占用对城市道路通行能力的影响的问题，根据所给的附件，运用数据统计和回归拟合方法，建立了实际道路通行能力模型，运用Excel、SPSS软件进行求解和作图，进而得出了同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响差异和变化过程。
针对问题一，首先，使用数理统计方法，分别统计出不同车型的车辆；其次，将统计出来的车型数量换算成标准的小车数量；最后，根据换算后的小车数量来计算出道路的实际通行能力并用Excel作成折线图，直观描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
针对问题二，采用和问题一相同的方法，用Excel绘制实际通行能力的变化图，然后与问题一的结果相比较，并绘制出折线图，通过比较得出同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响有较大的差异。
视频2（事故发生在车道一和车道二）中统计的事故所处横断面的通行能力普遍高于视频1（事故发生在车道二和车道三）中的横断面的通行能力。
视频2横断面的通行能力高于视频1横断面的通行能力主要因为左车道的车流量高于右车道车流量。
针对问题三，采用线性回归与非线性回归模型相结合，通过SPSS分别判断车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
因此我们得到非线性函数关系式：
，即：
车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、路段上游车流量呈线性关系，与事故持续时间呈非线性关系。
经过检验，该模型和计算结果均是合理的。
针对问题四，首先考虑到绿灯的周期性，司机看见绿灯，行车通过十字路口到达下方车道的时间，绿灯期间，上游车流量在大于下方车道通行能力时，会出现排队现象，在一定时间内，拥堵车辆越来越多，排队长度越来越长，通过这个差值与时间、车长、车距可以建立数学模型来计算车辆排队长度。
根据此数学模型计算出到达排队长度140m所需时间约为4.47min。
经过检验，该模型和计算结果均是合理的。
最后，我们总结了模型的优缺点，并提出了改进方法和推广。
关键词：
通行能力数理统计SPSS软件回归分析方程数学模型
一、问题的重述
1.1问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。
如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
请研究以下问题：
1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。
请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
1.2问题分析
1、问题一的分析
道路通行能力是指在一定的道路条件，交通条件和服务水平的情况下，单位时间能够通过车道上某截面处的最大交通流量。
根据视频1统计出一定时间内通过车辆数，计算出道路的实际通行能力，并作图以观察道路通行能力的变化。
2、问题二的分析
在问题一的基础上，运用相同的方法，绘制实际通行能力的变化图。
比较两幅图的区别分析对横断面实际通行能力影响的差异。
3、问题三的分析
通过分析可以确定的是车辆长度是因变量，而其他三个量是作为自变量的来影响因变量的变化的。
采用线性回归与非线性回归模型相结合，分别判断车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4、问题四的分析
首先我们考虑到红绿灯的周期性。
其次，司机看见绿灯到启动的反应时间为，驾驶车辆通过十字路口到达车道所需时间，结合问题一中我们得到下方车道平均通行能力，可以由此建立数学模型。
三、模型的假设与符号说明
（一）模型假设
1、假设统计数据真实有效
2、假设问题中车辆都各行其道，不抢占车道
3、假设上游路段红路灯处来车分布均匀
4、假设事故期间不重复发生事故
5、假设各车辆排队时保持相等间距
6、司机反应时间均为1s
（二）符号说明
表1符号说明表
符号
说明
单位
y
事故影响的路段车辆排队长度
m
事故横断面实际通行能力
pcu/h
事故持续时间
h
路段上游车流量
pcu/h
上游车流量
pcu/h
下方车道通行能力
pcu/h
车长
m
安全距离
m
司机反应时间
s
车辆通过十字路口到达车道所需时间
s
L
排队长度
m
t
到达排队长度的时间
min
第i条车道的修正系数
四、模型的分析、建立与求解
4.1问题一
4.1.1问题一的分析
问题一要求根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
道路通行能力是指在一定的道路条件，交通条件和服务水平的情况下，单位时间能够通过车道上某截面处的最大交通流量。
首先，根据视频1从交通事故发生至撤离期间选择每个30秒左右的时间间隔来统计出通过横断面不同车型的数量；其次，将统计出来的车型数量换算成标准的小车数量；最后，根据换算后的小车数量来计算出道路的实际通行能力，并通过excel软件进行作图，以便直观的反应和观察。
4.1.2模型的建立与求解
首先，根据视频1从交通事故发生至撤离期间选择每个30秒左右的时间间隔来统计出通过横断面不同车型的数量；其次，将统计出来的车型数量换算成标准的小车数量；最后，根据换算后的小车数量来计算出道路的实际通行能力，并通过excel软件进行作图，以便直观的反应和观察。
通行能力，指单位时间内通过断面的最大车辆数TC（trafficcapacity）=n/t（n为通过车辆数，t是时间）
视频1中不同时刻点各种车型的数量与横断面道路实际通行能力状况见下表：
表2视频1中不同时刻点各种车型的数量与横断面道路实际通行能力
时间段
大车
小车
换算总和
通行能力pcu/h
42:
32-43:
05
1
10
11.5
1254
43:
06-43:
35
2
8
11
1263
43:
36-44:
06
0
12
12
1440
44:
36-44:
46
0
10
10
924
44:
47-45:
18
0
8
8
929
45:
19-45:
54
0
9
9
1012
45:
55-46:
34
1
9
10.5
1050
46:
35-47:
16
0
9
9
1012
47:
17-47:
50
0
11
11
997
47:
51-48:
32
1
10
11.5
985
48:
33-49:
05
0
9
9
981
49:
06-50:
05
0
13
13
962
50:
06-50:
39
1
8
9.5
964
50:
40-51:
12
0
12
12
1076
51:
13-51:
44
1
11
12.5
1098
51:
45-52:
24
0
11
11
990
52:
25-52:
46
0
6
6
982
52:
47-53:
21
2
6
9
925
53:
22-54:
05
1
8
9.5
878
54:
06-54:
38
0
12
12
981
54:
39-55:
10
1
7
8.5
937
55:
11-55:
43
0
9
9
982
59:
10-59:
45
2
7
10
974
59:
46-01:
22
0
10
10
1074
01:
23-01:
54
2
19
22
2475
平均：
1086pcu/h
根据上表绘出不同时点下事故处横断面的实际通行能力折线图如下：
图1视频1中不同时点下事故处横断面的实际通行能力
由图1可知：
在事故刚发生时，即在16:
42:
32-16:
43:
05，事故所处横断面的实际通行能力为1254pcu/h；
在16:
42:
32-16:
44:
06内，道路的实际通行能力随时间的增加呈上升趋势，在16:
44:
06时，通行能力达到1440pcu/h；
在16:
44:
06-16:
44:
46内，道路的实际通行能力随时间的增加呈下降趋势，在16:
44:
46时，通行能力达到924pcu/h；
在16:
44:
46-17:
01:
22内，道路的实际通行能力基本维持一个稳定的状态，在970pcu/h附近较小范围的波动；
在17:
01:
23-17:
01:
54内，道路的实际通行能力呈较大幅度上升至2475pcu/h，即在事故撤离时，道路的通行能力逐渐恢复。
4.2问题二
4.2.1问题二的分析
分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
在问题一的基础上，运用相同的方法，绘制实际通行能力的变化图。
比较两幅图的区别分析对横断面实际通行能力影响的差异。
4.2.2模型的建立与求解
在问题一的基础上，运用相同的方法，绘制实际通行能力的变化图。
在与问题一的结果进行比较，进而说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
视频2中不同时刻点各种车型的数量与横断面道路实际通行能力状况见附录二。
根据附录二绘出不同时点下事故处横断面的实际通行能力折线图如下：
图2视频2中不同时点下事故处横断面的实际通行能力
由图2可知：
在事故刚发生时，即在17:
35:
17-17:
36:
47，事故所处横断面的实际通行能力由1680pcu/h下降至960pcu/h；
在17:
36:
47-18:
02:
47内，事故所处横断面的实际通行能力在不断的上下波动；
在18:
02:
47-18:
03:
17内，道路的实际通行能力逐步上升，即在事故即将撤离时，道路的通行能力逐渐恢复。
将问题一求解结果和问题二求解结果的折线图绘制在同一坐标内，结果如下：
图3视频1、2中不同时点下事故处横断面的实际通行能力
由上图可知，同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响有较大的差异。
由图3可知，视频2（事故发生在车道一和车道二）中统计的事故所处横断面的通行能力普遍高于视频1（事故发生在车道二和车道三）中的横断面的通行能力。
视频2横断面的通行能力高于视频1横断面的通行能力主要因为左车道的车流量高于其他两根车道。
4.3问题三
4.3.1问题三的分析
分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
因为实际情况的复杂性以及不确定性，很难通过交通流问题来确定交通事故的车辆长度与道路通行能力，事故持续时间，上游车流量之间的关系，但是可以确定的是车辆长度是因变量，而其他三个量是作为自变量的来影响因变量的变化的。
采用线性回归与非线性回归模型相结合，通过spss分别判断车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.3.2模型的建立与求解
从问题一采集的数据中，我们选取部分数据整理如下：
表3车辆排队长度与通行能力、持续时间、上游车流量的数据统计表
路段车辆排队长度（m）
通行能力（pcu/h）
持续时间（min）
上游车流量（pcu/h）
111
1332
1
2484
74
1800
2
2331
83
1692
3
2380
92
1548
4
2422
120
1440
5
2520
124
1332
6
2595
120
1296
7
2654
130
1328
8
2712
120
1292
9
2668
102
1228
10
2440
65
1978
11
2357
根据表3的数据，我们采用回归分析，通过spss分别判断车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
多元线性回归的数学模型可以表示为
，式中
是4个待估计的参数，
是相互对立且服从一正态分布的随机变量，
是随机变量，
是非随机变量。
设y为事故影响的路段车辆排队长度，
为事故横断面实际通行能力，
为事故持续时间，
为路段上游车流量。
以
为因变量，
分别为自变量，假设
与
都分别成线性关系，如图：
图4y与
的线性拟合关系
图5y与
的线性拟合关系
图6y与
的线性拟合关系
图7y与
的立方关系
如上图我们得到
与
成线性关系，与
不成线性关系，所以我们假定
与
成三次关系，对数据进行拟合，得到D图，由此可以得到
与
成三次关系，所以，我们设方程为
，然后我们用SPSS软件确定该方程的系数
图8SPSS确定该方程的系数
因此我们得到交通事故所影响车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的非线性函数关系式：
所以，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、路段上游车流量呈线性关系，与事故持续时间呈非线性关系。
这个结果与视频当中观察到的情况基本相符。
4.3.3模型检验
在表3车辆排队长度与通行能力、持续时间、上游车流量的数据统计表中取出两组数据，如：
路段车辆排队长度（m）
通行能力（pcu/h）
持续时间（min）
上游车流量（pcu/h）
120
1440
5
2520
130
1328
8
2712
带入所得回归方程中检验，计算得到车辆排队长度与实际非常接近，说明该模型合理。
4.4问题四
4.4.1问题四的分析
首先我们考虑到红绿灯的周期性，上方需间隔一个相位才会来车，因此，一个周期内流量为题目所给流量的二分之一，而下方车辆则一直在通行，不存在周期问题。
其次，司机看见绿灯到启动的反应时间为，驾驶车辆通过十字路口到达车道所需时间，结合问题一中我们得到下方车道平均通行能力，每分钟上游来车减去下方来车为排队车辆，排队车辆乘以车辆长度与车距之和可得到一分钟排队长度，并以此建立数学模型，计算并得到结果。
4.4.2模型的建立与求解
查阅资料得到城市主干道三车道修正系数，我们取车道一修正系数
为1.0，车道二修正系数
为0.8，车道三修正系数
为0.6。
首先我们假设司机看见绿灯到启动的反应时间为
=1s，驾驶车辆通过十字路口到达车道所需时间
=5s，假设车长
=5m，假设排队时两车相隔安全距离
=1m，已知上游车流量
=1500pcu/h，在问题一中我们得到下方车道通行能力
平均为1478pcu/h，
设经过时间t到达排队长度L。
考虑到红绿灯的周期性，上方需间隔一个相位才会来车，因此，一个周期内流量为
的二分之一，而下方车辆则一直在通行，不存在周期问题，每分钟上游来车减去下方来车为排队车辆，排队车辆乘以车辆长度与车距之和为一分钟排队长度，我们建立数学模型如下：
根据此数学模型计算出到达排队长度140m所需时间约为4.47min。
4.4.3模型检验
在表3车辆排队长度与通行能力、持续时间、上游车流量的数据统计表中取出两组数据，如：
路段车辆排队长度（m）
通行能力（pcu/h）
持续时间（min）
上游车流量（pcu/h）
83
1692
3
2380
92
1548
4
2422
带入问题四构建的数学模型中检验，计算达到一定车辆排队长度与相应持续时间，与在视频中统计的数据相差不大，说明该模型是合理的。
五、模型的评价
（一）模型的特点
本模型具有较大创新性，通过图像分析数据，直观形象，简单明了，构建清晰的数学模型，方便计算，利于检验。
（二）模型的优点
（1）对于问题一和问题二所构建的模型，我们分别求出事故发生前、事故发生时、事故撤离后的通行能力，且得出的结果的相对误差率符合实际要求，这样更能体现建立的模型的可行性与准确性，利用图形的方式清晰的表达了道路发生故障时可流通道路的通行能力的比较，形象生动。
（2）对于问题三，我们同样采用线性回归分析和非线性回归分析相结合分析，一方面对采集的数据进行拟合，使模型相对简便化，得到与实际较符合的拟合方程模型，从而确定车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
推导出四者之间的具体数学关系，具备一定的严密性和准确性，两方面的相互结合达到我们需要的理想结果。
（3）对于问题四首先我们根据红绿灯的周期性，得到了一个周期通过红绿灯的车流量，然后我们构建数学模型，简单明了的得出了排队长度与车流量、时间等的简单关系，并得出结论。
（三）模型的缺点
（1）在统计车辆数量时，人工计数会造成不同程度误差。
（2）在数据的采集上比较单一，并且在视频1和视频2中，有部分画面自动跳转，导致统计有较大困难，这样会造成不可避免的误差。
六、模型的改进与推广
（一）改进
我们的数学模型都是建立在比较理想的条件下，而对于一些细节问题可能没法考虑，因此这与真实情况会有偏差，本模型需要改进的地方就是每次在建模前尽可能的在现实的生活中多做实验，模拟题目中的情景，统计更多的数据，这样才能与真实情况相对符合，提高模型的精度。
（二）推广
对于问题一建立的模型，我们可以对交通异常事件对道路通行能力进行预算，进而可以对道路上各条车道上的车流量比例进行修改，从而减少事故对通行能力的影响。
此种模型也适用于研究数据量较大，数据收集也比较容易的实际生活问题。
对于问题三及问题四的模型，我们可以用于事故对交通流的影响的研究以及对策分析，通过对车辆排队长度与各因素之间的关系，在事故发生后，交通警察可以采取疏散上游车流量，以及缩短交通撤离时间使得事故对交通流的影响降为最低。
七、参考文献
[1]何晓群，刘文卿，《应用回归分析》，北京：
中国人民大学出版社，2007.7。
[2]段进宇,杨佩昆，混合车辆的流通能力[J]，同济大学学报,1995
（1）:
37-42.
[3]杜强，贾丽艳，SPSS统计分析从入门到精通[M]，北京：
人民邮电出版社，2009，P257-271，P503.
[4]董文永，刘进，丁健利，朱福喜，《最优化技术与数学建模》，北京：
清华大学出版社，2010.9。
[5]姜启源，谢金星，叶俊，《数学建模》，北京：
高等教育出版社，2011年。
八、附录清单
附录一：
车辆折算系数
附录二：
视频2车辆数与横断面道路实际通行能力
九、附录
附录一：
交通量调查车型划分及车辆折算系数
车型
换算系数
小汽车
1.0
公交车
2.0
摩托车
0.5
大型货车
2.0
附录二：
视频2中不同时刻点各种车型的数量与横断面道路实际通行能力
统计时刻
实际收集数据间隔时间
事故断面处大巴车数量/辆
事故断面处小汽车/辆
折算后的车辆数
通行能力pcu/h
17:
35:
17
30
2
11
14
1680
17:
35:
47
30
1
12
13.5
1620
17:
36:
17
30
1
8
9.5
1140
17:
36:
47
30
0
8
8
960
17:
37:
17
30
1
11
12.5
1500
17:
37:
47
30
2
10
13
1560
17:
38:
17
30
1
8
9.5
1140
17:
38:
47
30
0
12
12
1440
17:
39:
17
30
1
9
10.5
1260
17:
39:
47
30
3
6
10.5
1260
17:
40:
17
30
0
8
8
960
17:
40:
47
30
2
9
12
1440
17:
41:
17
30
0
9
9
1080
17:
41:
47
30
0
10
10
1200
17:
46:
17
30
0
9
9
1080
17:
46:
47
30
2
8
11
1320
17:
47:
47
30
2
6
9
1080
17:
48:
17
30
2
8
11
1320
17:
48:
47
30
0
10
10
1200
17:
49:
17
30
1
8
9.5
1140
17:
49:
47
30
0
11
11
1320
17:
50:
17
30
1
10
11.5
1380
17:
50:
47
30
0
11
11
1320
17:
51:
17
30
0
10
10
1200
17:
52:
17
30
0
10
11.5
1380
17:
52:
47
30
1
9
10.5
1260
17:
54:
17
30
0
11
11
1320
17:
54:
47
30
1
11
12.5
1500
17:
55:
17
30
0
10
10
1200
17:
55:
47
30
2
7
10
1200
17:
56:
17
30
1
9
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