8形在解答几何题中的妙用.docx

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8形在解答几何题中的妙用

“8”字型在解答几何题中的妙用

高台中学教师何光银

如图，线段AB，CD相交于O,连接AD,CB,我们把形如此图的图形称之为”8”字形，根据三角形的内角和或三角形的外角性质和有∠A+∠B=∠C+∠D,

有些几何题如果我们能巧妙地运用

该性质，能收到事半功倍的效果。

下面举例说明

一，利用”8”字形数量关系求不规则几何图形的多个角的度数和，

题目1、如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值。

分析：

直接利用“8”字形的数量关系得出∠E+∠F=∠OBC+∠OCB，再利用四边形内角和定理得出答案．

解答：

连接BC，

∵∠E+∠F=∠OBC+∠OCB，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=∠A+∠D+∠ABC+∠DCB

=360∘.

题目：

2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

分析：

连接ED，由“8”形的数量关系得出∠A+∠B=∠BED+∠ADE，由四边形内角和是360°，

即可求∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360°．

解答：

如图，连接ED.

∵∠A+∠B=∠BED+∠ADE

∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F

=∠DEF+∠EDC+∠C+∠F.

又∵∠DEF+∠EDC+∠C+∠F=360∘，

∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360∘.

题目3、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n⋅90∘，则n=___.

分析：

连接AB，由“8”形的数量关系得出∠DAB+∠GBA=∠D+∠G,因为五边形ABCEF的内角和和为540°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°，从而可求出n的值为6.

解答：

如图连接AB

∵∠DAB+∠GBA=∠D+∠G

∴∠FAB+∠ABC+∠C+∠E+∠F=540°

∠FAD+∠DAB+∠ABG+∠GBC+∠C+∠E+∠F

=∠FAD++∠GBC+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=540°

∴n⋅90∘=540°

∴n=6

巧妙连线，灵活运用“8”字形的数量关系，将不规则多边形很多角的度数和切换成形多边形的内角和，是解决问题的关键。

练习

1、如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___度。

2、如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数。

二、利用“8”字形的数量关系解答几何题

题目4、如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于（）

A. DCB. BC

C. ABD. AE+AC

分析：

因为∠1=∠2，由“8”字形的数量关系可得出∠B+∠2=∠D+∠1得∠B=∠D，又∠2=∠3得∠BCA=∠DCE，再结合AC=CE即可证出△ABC≌△EDC（AAS），由此即可得出DE=BA，此题得解．

解答：

∵∠1=∠2,∠B+∠2=∠D+∠1

∴∠B=∠D.

∵∠2=∠3，∠DCE=∠DCA+∠3，∠BCA=∠2+∠DCA，

∴∠BCA=∠DCE

在△ABC和△EDC中,

∴△ABC≌△EDC（AAS），

∴DE=BA.

题目5，如图,△ABC中,E为边BC延长线上一点,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,若∠A=46∘,则∠D的度数为（）

A. 46∘B. 92∘

C. 23∘D. 44∘

分析：

先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据

“8”字形的数量关系可得出∠D+∠2=∠4+∠A，因为∠1是△BCD的外角，∠1=∠2=∠D+∠3=∠D+∠4，即可得∠A=2∠D，此题得解。

解答：

“8”字形的数量关系可得出∠D+∠2=∠4+∠A，

∵∠1=∠2，∠3=∠4∠1是△BCD的外角，

∴∠1=∠2=∠D+∠3=∠D+∠4

∴∠D+∠D+∠4=∠4+∠A

∴∠D=

∠A=

×46 °=23°

题目6、已知：

如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”。

试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

___；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：

___个；

（3）在图2中,若∠D=40∘,∠B=36∘,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用

（1）的结论，试求∠P的度数；

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.（直接写出结论即可）

分析：

（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；

（3）根据

（1）的关系式求出∠OCB-∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；

（4）根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠DAM-∠PCM=

（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得证

解答：

略

（1）略

（2）交点有点M、O、N，

以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，

以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，

以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，

所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠D=40∘,∠B=36∘，

∴∠OAD+40∘=∠OCB+36∘，

∴∠OCB−∠OAD=4∘，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM=

∠OAD,∠PCM=

∠OCB，

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

∴∠P=∠DAM+∠D−∠PCM=

（∠OAD−∠OCB）+∠D=12×（−4∘）+40∘=38∘；

（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

所以，∠OCB−∠OAD=∠D−∠B，∠PCM−∠DAM=∠D−∠P，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM=

∠OAD,∠PCM=

∠OCB，

∴

（∠D−∠B）=∠D−∠P，

整理得，2∠P=∠B+∠D.

所以，∠P与∠D、∠B之间的数量关系.是2∠P=∠B+∠D.

题目7：

已知,如图,∠XOY=90∘，点A. B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化?

如果保持不变，请给出证明；如果随点A. B移动发生变化，请求出变化范围。

分析：

根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质，“8字形”数量关系求解．

解答：

∠C的大小保持不变。

理由：

由“8字形”数量关系

∠C+∠CBO=90°+∠OAC，

∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=∠EBY=CBO∠OAC=∠BAC

又∵∠ABE是△ABC的外角

∴∠ABE=∠EBY=∠CBO=∠C+∠BAC

∴∠C+∠C+∠BAC=90°+∠OAC=90∘+∠BAC

∴2∠C=90°

∴∠C=45°，

故∠ACB的大小不发生变化,且始终保持45°.

1

2

．

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2

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2