8形在解答几何题中的妙用.docx

1、8形在解答几何题中的妙用“8”字型在解答几何题中的妙用 高台中学 教师 何光银如图，线段AB，CD相交于O,连接AD,CB,我们把形如此图的图形称之为”8”字形，根据三角形的内角和或三角形的外角性质和有A+B=C+D, 有些几何题如果我们能巧妙地运用该性质，能收到事半功倍的效果。下面举例说明一，利用”8”字形数量关系求不规则几何图形的多个角的度数和，题目1、如图1，求A+B+C+D+E+F的值。分析： 直接利用“8”字形的数量关系得出E+F=OBC+OCB，再利用四边形内角和定理得出答案解答：连接BC，E+F=OBC+OCB， A+B+C+D+E+F=A+D+ABC+DCB =360.题目：2

2、、如图，求A+B+C+D+E+F的度数。分析：连接ED，由“8”形的数量关系得出A+B=BED+ADE，由四边形内角和是360，即可求A+B+C+ADC+BEF+F=360解答：如图，连接ED.A+B=BED+ADEA+B+C+ADC+BEF+F=DEF+EDC+C+F.又DEF+EDC+C+F=360， A+B+C+ADC+BEF+F=360.题目3、如图,A+B+C+D+E+F+G=n90，则n=_.分析：连接AB，由“8”形的数量关系得出DAB+GBA=D+G,因为五边形ABCEF的内角和和为540，即可求A+B+C+D+E+F+G=540，从而可求出n的值为6.解答：如图 连接AB D

3、AB+GBA=D+GFAB+ABC+C+E+F=540FAD+DAB+ABG+GBC+C+E+F=FAD+GBC+C+D+E+F+G=540 n90=540 n=6巧妙连线，灵活运用“8”字形的数量关系，将不规则多边形很多角的度数和切换成形多边形的内角和，是解决问题的关键。 练习 1、如图，五角星ABCDE的五个内角之和A+B+C+D+E=_度。2、如图，求1+2+3+4+5+6+7的度数。二、利用“8”字形的数量关系解答几何题 题目4、如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,1=2=3,则DE的长等于( )A. DC B.BCC.AB D.AE+AC分析：因为1=2，由“8”字形的数量关

4、系可得出B+2=D+1得B=D，又2=3得BCA=DCE，再结合AC=CE即可证出ABCEDC（AAS），由此即可得出DE=BA，此题得解解答：1=2,B+2=D+1B=D.2=3，DCE=DCA+3，BCA=2+DCA，BCA=DCE在ABC和EDC中,ABCEDC(AAS)，DE=BA. 题目5，如图,ABC中,E为边BC延长线上一点,ABC的平分线与ACE的平分线交于点D,若A=46,则D的度数为( )A.46 B.92C.23 D.44 分析：先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据“8”字形的数量关系可得出D+2=4+A，因为1是BCD的外角，1=2=D+3=D+4，即可得A=

5、2D，此题得解。解答：“8”字形的数量关系可得出D+2=4+A，1=2，3=4 1是BCD的外角，1=2=D+3=D+4D+D+4=4+A D=A=46=23题目6、已知：如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”。试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系：_；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_个；(3)在图2中,若D=40,B=36,DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论，试求P的度数；(4)如果图2中D和B为任意角时,其他条件不变,试问P与D、B之间存

6、在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)分析：（1）利用三角形的内角和定理表示出AOD与BOC，再根据对顶角相等可得AOD=BOC，然后整理即可得解；（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；（3）根据（1）的关系式求出OCB-OAD，再根据角平分线的定义求出DAM-PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；（4）根据“8字形”用B、D表示出OCB-OAD，再用D、P表示出DAM-PCM，然后根据角平分线的定义可得DAM-PCM=（OCB-OAD），然后整理即可得证解答：略(1) 略(2)交点有点M、O、N，以M为交点有1个，为AMD与CMP，以O

7、为交点有4个，为AOD与COB，AOM与CON，AOM与COB，CON与AOD，以N为交点有1个，为ANP与CNB，所以，“8字形”图形共有6个；(3)D=40,B=36，OAD+40=OCB+36，OCBOAD=4，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，DAM=OAD,PCM=OCB，又DAM+D=PCM+P，P=DAM+DPCM= (OADOCB)+D=12(4)+40=38；(4)根据“8字形”数量关系，OAD+D=OCB+B，DAM+D=PCM+P，所以，OCBOAD=DB，PCMDAM=DP，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，DAM=OAD,PCM=OCB， (DB)=D

8、P，整理得，2P=B+D.所以，P与D、B之间的数量关系.是2P=B+D. 题目7：已知,如图,XOY=90，点A.B分别在射线OX、OY上移动，BE是ABY的平分线，BE的反向延长线与OAB的平分线相交于点C，试问ACB的大小是否发生变化?如果保持不变，请给出证明；如果随点A.B移动发生变化，请求出变化范围。分析：根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质，“8字形”数量关系求解解答：C的大小保持不变。理由：由“8字形”数量关系C+CBO=90+OAC，AC平分OAB，BE平分ABY，ABE=EBY=CBO OAC=BAC又ABE是ABC的外角ABE=EBY=CBO=C+BACC+C+BAC=90+OAC=90+BAC2C=90 C=45，故ACB的大小不发生变化,且始终保持45.1212 12