10函数与方程及函数的应用零点定理.docx

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10函数与方程及函数的应用零点定理

练习

1．（2010年浙江温州质检）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

x

1.99

3

4

5.1

6.12

y

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________

①y＝2x－2　　　　　　　②y＝（

）x

③y＝log2x④y＝

（x2－1）

2．（2010年安徽省江南十校模拟）函数f（x）＝2x＋x－7的零点所在的区间是________．

①（0,1）　②（1,2）　③（2,3）　④（3,4）

3．已知函数f（x）＝x＋log2x，则f（x）在[

，2]内的零点的个数是______．

4．（2010年珠海质检）某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t（单位：

分钟）与细胞数n（单位：

个）的部分数据如下：

t

0

20

60

140

n

1

2

8

128

根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟．

5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝

n（n＋1）（2n＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

6．（2010年苏、锡、常、镇四市调研）某市出租车收费标准如下：

起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

7.（2010年绍兴第一次质检）一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、B、C、D为圆心，以b（0

）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段（圆弧端点在正方形边上的连线）构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．

8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg，火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v＝2000·ln（1＋M/m）．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.

9．（2010年浙江省宁波市十校高三联考）定义域为R的函数f（x）＝

若关于x的函数h（x）＝f2（x）＋bf（x）＋

有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．

10.（2010年黑龙江哈尔滨模拟）某商场在促销期间规定：

商场内所有商品按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额（元）的范围

[200,400）

[400,500）

[500,700）

[700,900）

…

获得奖券的金额（元）

30

60

100

130

…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：

购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：

400×0.2＋30＝110（元）．设购买商品的优惠率＝

.试问：

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在[500,800）（元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小于

的优惠率？

11．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润（1－

）万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

12．（2010年扬州调研）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0

（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

（2）若年销售量T关于x的函数为T＝3240（－x2＋2x＋

），则当x为何值时，本年度的年利润最大？

最大利润为多少？

练习答案

1．（2010年浙江温州质检）某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

x

1.99

3

4

5.1

6.12

y

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________

①y＝2x－2　　　　　　　②y＝（

）x

③y＝log2x④y＝

（x2－1）

解析：

代入点（2,1.5），（3,4）检验．

答案：

④

2．（2010年安徽省江南十校模拟）函数f（x）＝2x＋x－7的零点所在的区间是________．

①（0,1）　②（1,2）　③（2,3）　④（3,4）

解析：

因为f（0）＝－6<0，f

（1）＝2＋1－7＝－4<0，f

（2）＝22＋2－7＝－1<0，f（3）＝23＋3－7＝4>0，所以函数的零点在区间（2,3）内．

答案：

③

3．已知函数f（x）＝x＋log2x，则f（x）在[

，2]内的零点的个数是______．

解析：

易知g（x）＝x与h（x）＝log2x均为增函数，故函数f（x）为增函数，且f

（2）·f（

）<0，故函数有且只有一个零点．

答案：

1

4．（2010年珠海质检）某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t（单位：

分钟）与细胞数n（单位：

个）的部分数据如下：

t

0

20

60

140

n

1

2

8

128

根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟．

解析：

由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2

，令n＝1000，得2

＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分钟．

答案：

200

5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝

n（n＋1）（2n＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

解析：

由题知第一年产量为a1＝

×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f（n）－f（n－1）＝

n·（n＋1）（2n＋1）－

n·（n－1）（2n－1）＝3n2（n∈N*），令3n2≤150，得1≤n≤5

⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．

答案：

7

6．（2010年苏、锡、常、镇四市调研）某市出租车收费标准如下：

起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

解析：

设乘客每次乘坐出租车需付费用为f（x）元，由题意可得：

f（x）＝

令f（x）＝22.6，解得x＝9.

答案：

9

7.（2010年绍兴第一次质检）一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、B、C、D为圆心，以b（0

）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段（圆弧端点在正方形边上的连线）构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．

解析：

由题意实线部分的总长度为l＝4（3－2b）＋2πb＝（2π－8）b＋12，l关于b的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为

，代入上式得l最小＝（2π－8）×

＋12＝3π.

答案：

3π

8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg，火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v＝2000·ln（1＋M/m）．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.

解析：

由题意得2000ln（1＋

）≤12000，

∴

≤e6－1.

答案：

e6－1

9．（2010年浙江省宁波市十校高三联考）定义域为R的函数f（x）＝

若关于x的函数h（x）＝f2（x）＋bf（x）＋

有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．

解析：

假设关于t的方程t2＋bt＋

＝0不存在t＝1的根，则使h（x）＝0的f（x）的值也不为1，而显然方程f（x）＝k且k≠1的根最多有两个，而h（x）是关于f（x）的二次函数，因此方程h（x）＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t2＋bt＋

＝0，即得b＝－

，所以h（x）＝f2（x）－

f（x）＋

＝

（f（x）－1）（2f（x）－1），而方程f（x）－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f（x）－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.

答案：

15

10.（2010年黑龙江哈尔滨模拟）某商场在促销期间规定：

商场内所有商品按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额（元）的范围

[200,400）

[400,500）

[500,700）

[700,900）

…

获得奖券的金额（元）

30

60

100

130

…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：

购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：

400×0.2＋30＝110（元）．设购买商品的优惠率＝

.试问：

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在[500,800）（元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小于

的优惠率？

解：

（1）

＝

，即顾客得到的优惠率是

.

（2）设商品的标价为x元，则500≤x<800.

则消费金额满足400≤0.8x<640.

当400≤0.8x<500，即500≤x<625时，由

≥

解得x≤450，不合题意；

当500≤0.8x<640.即625≤x<800时，由

≥

解得625≤x≤725.

因此，当顾客购买标价在[625,725]（元）内的商品时，可得到不小于

的优惠率．

11．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润（1－

）万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

解：

设重组后，该企业年利润为y万元．依题意得

y＝（2000－x）（3.5＋1－

）－0.5x

＝－5（x＋

）＋9000.81，

∴y＝－5（x＋

）＋9000.81（0

y＝－5（x＋

）＋9000.81≤－5×2

＋9000.81

＝8820.81，

∴当且仅当x＝

，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．

即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．

12．（2010年扬州调研）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0

（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

（2）若年销售量T关于x的函数为T＝3240（－x2＋2x＋

），则当x为何值时，本年度的年利润最大？

最大利润为多少？

解：

（1）由题意得：

上年度的利润为（13－10）×5000＝15000万元；

本年度每辆车的投入成本为10×（1＋x）万元；

本年度每辆车的出厂价为13×（1＋0.7x）万元；

本年度年销售量为5000×（1＋0.4x）辆．

因此本年度的利润为

y＝[13×（1＋0.7x）－10×（1＋x）]×5000×（1＋0.4x）

＝（3－0.9x）×5000×（1＋0.4x）

＝－1800x2＋1500x＋15000（0

由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0

.

为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0

.

（2）本年度的利润为

f（x）＝[13×（1＋0.7x）－10×（1＋x）]×3240×（－x2＋2x＋

）＝3240×（0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5），

则f′（x）＝3240×（2.7x2－9.6x＋4.5）

＝972（9x－5）（x－3）．

令f′（x）＝0，解得x＝

或x＝3（舍去）．

当x∈（0，

）时，f′（x）>0，f（x）是增函数；

当x∈（

，1）时，f′（x）<0，f（x）是减函数．

∴当x＝

时，f（x）取得最大值，f（x）max＝f（

）＝20000.

即当x＝

时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元.