第五讲 向量与三角函数创新题型的解题技巧.docx

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第五讲向量与三角函数创新题型的解题技巧

第五讲向量与三角函数创新题型的解题技巧

【命题趋向】

综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：

1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.

2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.

3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.

4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．

5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．

【考点透视】

1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图，理解A、ω、ψ的物理意义．

6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示．

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．

8．掌握向量与三角函数综合题的解法．

常用解题思想方法

1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx?

cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。

2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3．证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

【例题解析】

考点1．三角函数的求值与化简

此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.

⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.

⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.

例1.（2007年重庆卷文）已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限且

命题目的：

本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..

解：

（Ⅰ）由

故f（x）的定义域为

（Ⅱ）由已知条件得

从而＝

＝＝

例2.（2006年安徽卷）

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求.

命题目的：

本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：

（Ⅰ），

，解得或.

.

（II），

＝

＝.

例3（2007年四川卷理）

已知<<<,

（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求.

命题目的：

本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.

解：

（Ⅰ）由，得

∴，于是

（Ⅱ）由，得

又∵，∴

由得：

所以

例4.（2006年湖南卷）已知求θ的值.

命题目的：

本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..

解：

由已知条件得.

即.解得.

由0＜θ＜π知，从而.

考点2．解三角形

此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

典型例题

例5．（2007年浙江卷理）已知的周长为，且．

（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．

命题目的：

本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.

解：

（I）由题意及正弦定理，得，

，两式相减，得．

（II）由的面积，得，

由余弦定理，得

，所以．

例6.（2006年天津卷））

如图，在中，，，．

（1）求的值；

（2）求的值.

命题目的：

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.

解答过程：

（Ⅰ）由余弦定理，得

那么，

（Ⅱ）由，且得由正弦定理，得

解得.所以，.由倍角公式

，

且，故

.

例7．（2007年福建卷文17）．在中，，．

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若边的长为，求边的长．

命题目的：

本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运算能力.

解：

（Ⅰ），．

又，．

（Ⅱ）由且，

得．，．

考点3．求三角函数的定义域、值域或最值

此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.

⑵考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

典型例题

例8.（2006年辽宁卷）已知函数,则的值域是（）

A.B.C.D.

命题目的：

本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.

例9．（2007年陕西卷文17）

设函数.其中向量.

（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）求函数的最小值.

命题目的：

本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求最值的能力.

解：

（Ⅰ），，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为．

例10.（2006年北京卷）已知函数，

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.

命题目的：

本题考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：

（Ⅰ）由得.

故的定义域为，

（Ⅱ）因为且第四象限的角，

所以

故

例11设的周期，最大值，

（1）求、、的值；

（2）.

命题目的：

方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性.

解答过程：

（1），，，又的最大值

，①，且②，

由①、②解出a=2,b=3.

（2），，

，

，或，

即（共线，故舍去），或，

.

例12.（2006年重庆卷）设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

（I）求的值；

（II）如果在区间上的最小值为，求的值.

命题目的：

本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：

（Ⅰ）,

依题意得，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,

又当时，，故，

从而在上取得最小值.

因此，由题设知.故.

例13.（2006年广东卷）已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的最大值和最小值；

（Ⅲ）若，求的值.

命题目的：

本题考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：

（Ⅰ）的最小正周期为;

（Ⅱ）的最大值为和最小值；

（Ⅲ）因为，即

即.

考点4．三角函数的图象和性质

考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

典型例题

例14.（2006年辽宁卷）已知函数.求：

（Ⅰ）求函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（Ⅱ）函数的单调增区间.

命题目的：

本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.

解答过程：

（I）解法一：

.

当，即时，取得最大值.

因此，取得最大值的自变量x的集合是.

解法二：

.

当，即时，取得最大值.

因此，取得最大值的自变量x的集合是.

（Ⅱ）解：

由题意得，即.

因此，的单调增区间是.

例15．（2007年湖南卷理16）．（本小题满分12分）

已知函数，．

（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．

（II）求函数的单调递增区间．

命题目的：

本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.

解：

（I）由题设知．

因为是函数图象的一条对称轴，所以，

即（）．

所以．

当为偶数时，，

当为奇数时，．

（II）

．

当，即（）时，

函数是增函数，

故函数的单调递增区间是（）

例16.（2006年福建卷）已知函数

（I）求函数的最小正周期和单调增区间；

（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

命题目的：

本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.

解答过程：

（I）

的最小正周期

由题意得

即　

的单调增区间为

（II）方法一：

先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象.

方法二：

把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象.

例17.（2006年西卷）已知函数

（I）求函数的最小正周期；

（II）求使函数取得最大值的集合.

命题目的：

本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.

解答过程：

（Ⅰ）f（x）=3sin（2x－π6）+1－cos2（x－π12）

=2[32sin2（x－π12）－12cos2（x－π12）]+1

=2sin[2（x－π12）－π6]+1

=2sin（2x－π3）+1.

∴T=2π2=π．

（Ⅱ）当f（x）取最大值时,sin（2x－π3）=1,有2x－π3=2kπ+π2，

即x=kπ+5π12（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+5π12,k∈Z}.

考点5．平面向量、三角函数的图象和性质

考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考的热点题型.此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

典型例题

例18.（2006年安徽卷6）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）

A．B．

C．D．

命题目的：

本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形

结合的思想解题的能力.

解答过程：

将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C.

例19.（2006年全国Ⅱ卷）已知向量

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求的最大值.

命题目的：

本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力.

解：

（Ⅰ）

由此得tan

所以

（Ⅱ）由

当

例20.（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求.

命题目的：

本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识.考查应用、分析和计算能力.

解答过程：

（Ⅰ）∵,∴,即.

.

∵,∴.∴.

（Ⅱ）由题知，整理得

∴∴.

∴或.

而使，舍去.∴.

∴.

【专题训练与高考预测】

一.选择题

1．函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．已知，且，则　　　　　　　　　（　　）

（A）（B）（C）（D）

3．如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得

∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（）.

（A）20（B）20（C）40（D）20

4．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）

（A）（B）

（C）（D）

5．已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（）

（A）（B）3或（C）（D）或

二填空题.

6．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：

，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：

①A=10；　　　②；　　　③；　　　　④k=5．

则其中所有正确结论的序号是．

7．已知:

sin3α+cos3α=1，则sinα+cosα;sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值是．

三.解答题

8．求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间．

9．求函数的最小正周期、最大值和最小值．

10．已知α为锐角,且求的值．

11．已知0<α<，tan+cot=，求sin（）的值．

12．．

13．已知的值．

14．如图，A、B是一矩OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.

（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f（α）;

（2）写出函数f（x）的取值范围．

15．已知函数y=cos2x+sinx?

cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【参考答案】

一．１．C.2．A.３．D.　４．A.５．C.　

二．６．①②④．

7．解法一：

令sinα+cosα=t，则sinα?

cosα=，

∴sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α－sinα?

cosα+cos2α）

=t?

（1－）=1，得：

t3－3t+2=0（t－1）2?

（t+2）=0，

∵t≠－2∴t=sinα+cosα=1，且sinα?

cosα==0．

∴sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2–2sin2α?

cos2α=1－2?

0=1

sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α－sin2α?

cos2α+cos4α）=1

解法二：

∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α

∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1

等号当且仅当时成立或．

∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1．

三．8．

故该函数的最小正周期是；最小值是－2；单增区间是[]，．

9．　

所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

10．　原式=

因为时,

所以原式=

因为α为锐角,由得

所以原式=

11．由已知.

从而.

12．由

于是

13．由已知得：

．

由已知条件可知

从而有

，得

14．解：

（1）∵OE=1，EF=．∴∠EOF=60°．

当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan（45°+α）．

∴f（α）=S△AOB=[tan（45°+α）－tanα]

==．

当a∈（15°,45°）时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=．

∴=S△AOB=OA?

OB?

sin45°=?

?

sin45°=

综上得：

f（α）=

（2）由

（1）得：

当α∈[0，]时，f（α）=∈[,－1]．

且当α=0时，f（α）min=；α=时，f（α）max=－1；

当α∈时,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]．

且当α=时，f（α）min=－；当α=时，f（α）max=．

所以f（x）∈[,]．

15．解：

（1）y=cos2x+sinx?

cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx?

cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x?

sin+sin2x?

cos）+=sin（2x+）+．

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）．

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像．

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像．