届高三数学高考真题与模拟题分类汇编 算法初步复数推理与证明.docx

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届高三数学高考真题与模拟题分类汇编算法初步复数推理与证明

2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编

　算法初步、复数、推理与证明

第Ⅰ卷　（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1．[2016·北京朝阳区模拟]i为虚数单位，复数

＝（　　）

A．1－iB．－1－iC．－1＋iD．1＋i

答案　D

解析　分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数：

＝

＝1＋i.故选D.

2．[2016·西安八校联考]已知复数z＝1＋ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且

·z＝5，则a＝（　　）

A．2B．－2C.

D．－

答案　B

解析　∵z＝1＋ai（a∈R）在复平面上表示的点在第四象限，∴a<0.

又

·z＝（1－ai）（1＋ai）＝1＋a2＝5，

∴a＝±2，而a<0，∴a＝－2，故选B.

3．[2016·衡水高三大联考]欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝cosθ＋isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r（cosθ＋isinθ），都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2e

，z2＝e

，则复数z＝

在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　D

解析　因为z1＝2e

＝2

＝1＋

i，

z2＝e

＝cos

＋isin

＝i，所以z＝

＝

＝

＝

－i.复数z在复平面内对应的点为Z（

，－1），点Z在第四象限，故选D.

4．[2016·云南师大附中月考]观察下列各式：

55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，…，则52015的末四位数字为（　　）

A．3125B．5625C．0625D．8125

答案　D

解析　由题意55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625,511＝48828125得规律，故选D.

5．[2017·山西太原模拟]我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：

“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？

”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

答案　B

解析　第一次循环，得S＝0＋1＋1＝2<10，不满足条件，继续循环；

第二次循环，得n＝2，a＝

，A＝2，S＝2＋

＋2＝

<10，不满足条件，继续循环；

第三次循环，得n＝3，a＝

，A＝4，S＝

＋

＋4＝

<10，不满足条件，继续循环；

第四次循环，得n＝4，a＝

，A＝8，S＝

＋

＋8＝

>10，结束循环，输出n＝4，故选B.

6．[2016·长春质监]按图所示的程序框图，若输入a＝110011，则输出的b＝（　　）

A．51B．49C．47D．45

答案　A

解析　经计算得b＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.

7．[2016·安徽十校联考]在平面直角坐标系xOy中，满足x2＋y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为

；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2＋y2＋z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为

×

π×13＝

，故选B.

8．[2017·河北正定月考]已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k＋1）≥（k＋1）2成立，下列命题成立的是（　　）

A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立

B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）

C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k<7，均有f（k）

D．若f（4）＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立

答案　D

解析　对于A，当k＝1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对于B，应有f（k）≥k2成立；对于C，只能得出：

对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：

对于任意的k<7，均有f（k）16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．

9．[2016·北京西城区期末]某市乘坐出租车的收费办法如下：

不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：

千米）为行驶里程，y（单位：

元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（　　）

A．y＝2

＋4B．y＝2

＋5

C．y＝2

＋4D．y＝2

＋5

答案　D

解析　由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；

当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：

当x>4时，所收费用y＝12＋

×2＋1＝2

＋5，故选D.

10．[2016·山西考前质监]运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则判断框中可填写的条件是（　　）

A．i>6?

B．i>7?

C．i>8?

D．i>9?

答案　D

解析　i＝1，y＝0.

圈数

x＝sin

π

y＝y＋x

i＝i＋1

（x，y）

i满足条件P

①

x＝1

y＝1

i＝2

不满足P

②

x＝0

y＝1

i＝3

（0,1）

不满足P

③

x＝－1

y＝0

i＝4

（－1,0）

不满足P

④

x＝0

y＝0

i＝5

不满足P

⑤

x＝1

y＝1

i＝6

不满足P

⑥

x＝0

y＝1

i＝7

（0,1）

不满足P

⑦

x＝－1

y＝0

i＝8

（－1,0）

不满足P

⑧

x＝0

y＝0

i＝9

不满足P

⑨

x＝1

y＝1

i＝10

满足P

∴i>9，故选D.

11．[2017·福建福州模拟]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：

设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为

和

（a，b，c，d∈N*），则

是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令

<π<

，则第一次用“调日法”后得

是π的更为精确的过剩近似值，即

<π<

，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　A

解析　由题意：

第一次用“调日法”后得

是π的更为精确的过剩近似值，即

<π<

，第二次用“调日法”后得

是π的更为精确的不足近似值，即

<π<

，第三次用“调日法”后得

是π的更为精确的过剩近似值，即

<π<

，第四次用“调日法”后得

＝

是π的更为精确的过剩近似值，即

<π<

，故选A.

12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

答案　B

解析　若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B.

第Ⅱ卷　（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．[2016·河南重点高中质检]若复数

（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b＝________.

答案　0

解析　∵

＝

＝

＋

i，

若实部与虚部互为相反数，则4＋b＋b－4＝0，∴b＝0.

14.[2017·衡水中学模拟]如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：

数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为________．

答案　194

解析　由题意得，前19行最后一个数字为1＋2＋3＋…＋19＝

×19＝190，而第20行是从左往右数的，故第20行从左往右第4个数字是194.

15．[2016·湖南东部六校联考]对于问题：

“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（－1,2），解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：

解：

由ax2＋bx＋c>0的解集为（－1,2），得a（－x）2＋b（－x）＋c>0的解集为（－2,1），即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为（－2,1）．

参考上述解法，若关于x的不等式

＋

<0的解集为

∪

，则关于x的不等式

＋

<0的解集为________．

答案　（－3，－1）∪（1,2）

解析　不等式

＋

<0，可化为

＋

<0，故得－1<

<－

或

<

<1，解得－3

＋

<0的解集为（－3，－1）∪（1,2）．

16．[2017·河南百校联考]在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如32＋42＝52,52＋122＝132,62＋82＝102,72＋242＝252,82＋152＝172等等．后人在此基础上进一步探索，得到如下规律：

若a，b，c是一组勾股数，且a

；当a是大于4的偶数时c可以用a表示为c＝________.

答案　

＋1

解析　当a是大于1的奇数时，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，当a是大于4的偶数时，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数，所以a是大于4的偶数时b＝

2－1，c＝

2＋1.

三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．[2016·洛阳期中]（本小题满分10分）

（1）已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋

＝1，求z；

（2）已知复数z＝

－（1＋5i）m－3（2＋i）为纯虚数，求实数m的值．

解　

（1）设z＝a＋bi（a、b∈R），

由题意得

解得a＝

，b＝±

.

∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，

∴b＝－

，∴z＝

－

i.（5分）

（2）z＝

－（1＋5i）m－3（2＋i）＝（m2－m－6）＋（2m2－5m－3）i，

依题意得m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.