普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓爼、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦「净后，再选涂英他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={x\x2-3x-4<0},B={-4.1,3,5},则=
A.{71}
B・{1,5}
C.{3,5}
D.{1,3}
2.若z=l+2i+F，则匕1=
A.0
B・1
C・J2
D・2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的髙为边长的正方形面枳等于该四棱锥一个侧而三角形的而积，则其侧而三角形底边上的高与底而正方形的边长的比值为
4.设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的槪
率为
A-Ic-I
5・某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：
。
C）的关系，在
20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（兀」;）（心12…,20）得到下面的
由此散点图，在10C至40C之间，下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度
x的回归方程类型的是
A.y=a+bx
C.y=a+he"
D.y=“+/?
lnx
6.已知圆x2+/-6a=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.1
B・2
d-t
8・设alo&4=2,则4勺=
（W）
10•设｛©｝是等比数列，且4+6+03=1，6+6+。
4=2・则心+6+込=
11・设召，代是双曲线C:
x2-—=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且\OP\=2.3
则APf；耳的而积为
75
A.一B.3C・一D・2
22
12•已知人3,C为球O的球而上的三个点，O0｝为/^ABC的外接圆，若0q的而积为4兀,
AB=BC=AC=OO｛,则球。
的表而积为
A.64jtB・48兀C・36kD・32兀
二、填空题：
（本题共4小题，每小题5分，共20分）
2x+y-2<0,
13.若X,y满足约朿条件•A--y-1>0.则z=x+7y的最大值为
y+l>0?
14.设向虽:
“=（1,-1）,〃=（〃2+1,2〃?
一4）,若a丄贝ijm=
15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.
16.数列｛©｝满足冬+2+（-1）5”=3“一1,前16项和为540,则山=.
三、解答题：
（共70分。
解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（-）必考题：
共60分。
17.（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：
件）按标准分为A,B.C,D四个等级•加工业务约左：
对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元：
对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元一该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务•甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件•厂家为决泄由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工岀来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
18.（12分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知B=15O。
.
（1）若（匸后，b=2#，求zMBC的而积：
（2）若sinA+不sinC=¥,求C.
19.（12分）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底而的圆心，WC是底而的内接正三角形，P为DO上一点，ZAPC=9O°.
（1）证明：
平面PAB丄平而PAC：
（2）设DO=Q圆锥的侧而积为血，求三棱锥P-ABC的体积.
20.（12分）
已知函数/（x）=er-«（x+2）.
（1）当“=1时，讨论f（x）的单调性：
（2）若/（Q有两个零点，求"的取值范围.
21.（12分）
已知A、B分别为椭圆E：
二r+y，=1（“>1）的左、右顶点,G为£的上顶点，AG-=8»
if
P为直线*6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D.
（1）求E的方程：
（2）证明：
直线3过世点一
（-）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
X=cos"f,
在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为・金a为参数）•以坐标原点为极点,
y=sint
•'轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4pcos0-16psin&+3=0・
（1）当*=1时，G是什么曲线？
（2）当代=4时，求G与C,的公共点的直角坐标.
23•［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
已知函数/（x）=l3x+ll-2lx-ll.
（1）画出y=/（x）的图像:
（2）求不等式/（x）>/（%+!
）的解集.
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D
2・C
3・C
4.A
5.D
6・B
7・C
8・B
9.C
10.D
11.B
12.A
二、填空题
13.1
14.5
15.v=2x
16.7
三、解答题
17.解：
（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
40甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为—=0.4：
100
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为—=o.28.
100
（2）由数据知甲分厂加工岀来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
65x40+25x20-5x20-75x201C=15.
100
由数拯知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
70x28+30x17+0x34—70x21“
100
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18•解：
（1）由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2xy/3c2xcosl50°,
解得c=—2（舍去），c=2,从而a=2>/3-△ABC的而枳为|x2V3x2xsin150。
=.
（2）在ZkABC中，A=180°-B-C=30°-C>所以
sinA+>/3sinC=sin（30°-C）+>/3sinC=sin（30°+C）,
故sin（30°+C）=f.
而0°，故C=15°.
又Z/1PC=90%故ZAPB=90\ZBPC=90°.19.解：
（1）由题设可知，PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形，故可得△PAC^APAB.
APAC^APBC.
从而PB丄PA,PB丄PC.故PB丄平而PAC,所以平而PAB丄平面PAC.
（2）设圆锥的底面半径为儿母线长为/.
由题设可得的，l2-r2=2.
解得丿=1,1=灵,
从而AB=*.由
（1）可得Pj^+PB2=AB2^故PA=PB=PC=£.所以三棱锥P-ABC的体积为J_x1xPAxPBxP（?
=lx丄x（d）3=@.
323228
20•解：
（1）当c=l时，/（x）=〜一x—2,贝lj/a）*—l・
当x<0时，ff（x）<0:
当x>0时，r（x）>0.
所以/'（X）在（P,0）单调递减，在（0,+00）单调递增.
（2）•厂（x）=eJz.
当处0时，•厂3>0,所以f（x）在（-co,+oo）单调递增,
故f（x）至多存在1个零点，不合题意.
当d>0时，由f（x）=O可得x=lne
当xW（-<»♦Ina）时，/r（x）<0：
当兀丘（Ana.+00）时，ff（x）>0・所以f（x）在（yo,\na）单调递减，在（lnrz,+oo）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（Ina）=-a（l+lna）・
（1）若0<^0,f（x）在（v,+oo）至多存在1个零点，不合题意.
e
（ii）若贝”（Ina）<0.
e
由于/（-2）=e_2>0,所以/*（x）在（yo,hw）存在唯一零点.
由
（1）知，当x>2时，^-2>0,所以当x>4且x>21n（2a）时，
f（x）=^^-a（x+2）>e,n<2a>-（|+2）-a（x+2）=2^/>0.
故（x）在（Ina,+8）存在唯一零点，从而/（x）在（Y0,+a>）有两个零点.
综上，a的取值范围是（X+«）・
e
21.解:
（1）由题设得g,O）,B（“,O）,G（O,l）.
则AG=（
所以E的方程为++）'=】•
（2）设（7（舛」）,£）（兀*2）屮（6』）.
若心0,设直线CD的方程为*枠+〃，由题意可知一3。
<3・由于直线必的方程为y=f（x+3）,所以儿气（為+3）.
直线PB的方程为y=^（A-3）,所以”£（x2-3）.
可得3牙（人2-3）=y2（xx+3）.
由于斗+£=1，故y；=_y[pL）,可得27加，2=-<舛+3）区+3）,即（27+m2）y\y2+m（n+3）（y+y2）+（n+3）2=0.①
代入①式得（27+m2）（?
?
2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（ni2+9）=0.
解得n=—3（舍去），・
2
33
故直线CD的方程为x=zny+-，即直线CD过定点（三,0）.
22
3
若心0,贝IJ直线CD的方程为）=0,过点（-,0）.
3
综上，直线CD过左点（亍0）.
X=cos/,
22.解：
当时，G]）、=sinf消去参数，得X+b=l,故曲线G是圆心为坐标原点,
半径为1的圆.
JV=cos*t
（2）当心4时，G：
一•「消去参数，得G的直角坐标方程为仮+"=1・
y=sint.
C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0・
由严+E解得＜
4x-16y+3=0故G与q的公共点的直角坐标为（11）.
4
4
23•解:
（1）由题设知/（x）=<5x-L
y=fM的图像如图所示.
M
（2）函数y=f（x）的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=/U+l）的图像.
7
由图像可知当且仅当%<--时，y=f（x）的图像在y=/（x+l）的图像上方,
6
7
故不等式f（x）>f（x+\）的解集为（-00-4）・
O
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