普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓爼、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦净后，再选涂英他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给岀的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = xx2-3x-40, B = -4.1,3,5,则 =A. 71B1,5C. 3,

2、5D. 1,32.若z = l+2i+F，则匕 1 =A. 0B1CJ2D23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的 髙为边长的正方形面枳等于该四棱锥一个侧而三角形的而积，则其侧而三角形底边上的 高与底而正方形的边长的比值为4.设O为正方形ABCD的中心，在O, A, B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的槪率为A- I c- I5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x （单位：。C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（兀;）（心12,20）得到下面的由此散点图，在10C至40C之间，下而四个回归方程类型

3、中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A. y = a + bxC. y = a + heD. y = “ + /?lnx6.已知圆x2+/-6a=0,过点（1, 2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A. 1B2d-t8设alo&4 = 2,则4勺= (W)10设是等比数列，且4+6+03=1，6+6+。4=2则心+6+込=11设召，代是双曲线C:x2- = 1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且OP=2. 3则APf；耳的而积为7 5A. 一 B. 3 C 一 D 22212已知人3, C为球O的球而上的三个点，O 0为/ABC的外接圆，若0 q的而积为4兀,AB = BC

4、= AC = OO,则球。的表而积为A. 64jt B 48兀 C 36k D 32兀二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）2x + y-2 0.则z=x+7y的最大值为 y + l0?14.设向虽:“ =(1,-1), = (2 + 1,2?一4),若a 丄贝ijm = 15. 曲线y = lnx + x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .16.数列满足冬+2+（-1）5”=3“一1,前16项和为540,则山= .三、解答题：（共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（-）

5、必考题：共60分。17.（12 分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A, B. C, D四个等 级加工业务约左：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50 元，20元：对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元一该厂有甲、乙两个分厂可 承接加工业务甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件厂家为决 泄由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产 品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1） 分别估计甲

6、、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2） 分别求甲、乙两分厂加工岀来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂 家应选哪个分厂承接加工业务？18.（12 分）ABC的内角A, B, C的对边分别为“，b, c.已知B=15O。.（1） 若（匸后，b=2#，求zMBC的而积：（2） 若 sinA+不sinC= ,求 C.19.（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底而的圆心，WC是底而的内接正三角形，P为DO 上一点，ZAPC=9O .（1） 证明：平面PAB丄平而PAC：（2） 设DO=Q 圆锥的侧而积为血，求三棱锥P-ABC的体积.20.（12 分）已知函数 /（x） =

7、er-（x + 2）.（1） 当“ =1时，讨论f（x）的单调性：（2） 若/（Q有两个零点，求的取值范围.21.（12 分）已知A、B分别为椭圆E：二r + y，=1 （“1）的左、右顶点,G为的上顶点，AG - = 8 ifP为直线*6上的动点，PA与E的另一交点为C, PB与E的另一交点、为D.（1） 求E的方程：（2） 证明：直线3过世点一（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程（10分）X = cos f,在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为 金a为参数）以坐标原点为极点,y = sin t轴正

8、半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4pcos0-16psin& + 3 = 0（1） 当* = 1时，G是什么曲线？（2） 当代=4时，求G与C,的公共点的直角坐标.23 选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数 /(x)=l3x+ll-2lx-ll.(1)画出y=/(x)的图像:(2)求不等式/(x)/(%+!)的解集.文科数学试题参考答案一、选择题1. D2C3C4. A5. D6B7C8B9. C10. D11. B12. A二、填空题13. 114. 515. v=2x16. 7三、解答题17.解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，40 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的

9、概率的估计值为 = 0.4：100乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 = o.28.100（2）由数据知甲分厂加工岀来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65x40 + 25x20-5x20-75x20 1C =15.100由数拯知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70x28 + 30x17 + 0x34 70x21 “100比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18解：（1）由题设

10、及余弦定理得 28 = 3c2 +c2-2xy/3c2 xcosl50 ,解得c = 2 （舍去），c = 2,从而a = 2/3 - ABC 的而枳为 |x2V3x2x sin 150。= .(2)在ZkABC中，A = 180-B-C = 30-C 所以sin A + /3sinC = sin(30 - C) + /3 sin C = sin(30 + C),故 sin(30 + C) = f.而0C30,所以30+C = 45。，故C = 15.又Z/1PC =90% 故ZAPB=90 ZBPC=90. 19.解：(1)由题设可知，PA=PB= PC. 由于ABC是正三角形，故可得 PA

11、CAPAB.APACAPBC.从而PB丄PA, PB丄PC.故PB丄平而PAC,所以平而PAB丄平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为儿母线长为/.由题设可得的，l2-r2=2.解得丿=1, 1=灵,从而 AB = * .由(1)可得 Pj+PB2 =AB2 故 PA = PB = PC = . 所以三棱锥P-ABC的体积为J_x1xPAxPBxP(? = lx丄x(d)3= .32 3 2 2 820解：(1)当c=l时，/(x) =一x2,贝lj/a)*l当x0时，ff(x)0时，r(x)0.所以/(X)在(P, 0)单调递减，在(0, +00)单调递增.(2) 厂(x)=eJz.当处0时，

12、厂30,所以f (x)在(-co, +oo)单调递增,故f(x)至多存在1个零点，不合题意.当d0时，由f(x)=O可得x=lne当xW (- Ina)时，/r(x)0 所以f (x)在(yo, na)单调递减，在(lnrz, +oo) 单调递增，故当x=lna时，f (x)取得最小值，最小值为f (Ina) =-a (l+lna)(1)若00, f(x)在(v, +oo)至多存在1个零点，不合题意.e(ii)若贝” (Ina) 0,所以/* (x)在(yo, hw)存在唯一零点.由(1)知，当x2时，-20,所以当x4且x21n (2a)时，f(x) = -a(x + 2)e,n-(| +

13、2)-a(x + 2) = 2/0.故(x)在(Ina, +8)存在唯一零点，从而/ (x)在(Y0, +a)有两个零点.综上，a的取值范围是(X +)e21.解:(1)由题设得 g,O),B(“,O),G(O,l).则 AG = (/J), 西= (a,-l)由 = 8 得/一1=8，即 “ =3 所以E的方程为+)=】(2)设(7(舛),)(兀*2)屮(6).若心0,设直线CD的方程为*枠+ ，由题意可知一3。3 由于直线必的方程为y = f(x + 3),所以儿气(為+3).直线PB的方程为y = (A -3),所以” (x2 -3).可得 3牙(人2 -3) = y2(xx + 3).

14、由于斗 + =1，故 y；=_ypL),可得 27加，2=-舛+3)区+3), 即(27 + m2)yy2 + m(n + 3)(y + y2) + (n + 3)2 = 0 .代入式得(27 + m2)(?2 -9)-2m(n + 3)mn + (n + 3)2(ni2 +9) =0.解得n = 3 (舍去)，23 3故直线CD的方程为x = zny + -，即直线CD过定点(三,0).2 23若心0,贝IJ直线CD的方程为)=0,过点(-,0).3综上，直线CD过左点(亍0).X = cos/,22.解：当时，G)、= sinf消去参数，得X + b = l,故曲线G是圆心为坐标原点,半径为1的圆.JV = cos* t(2)当心4时，G： 一 消去参数，得G的直角坐标方程为仮+ = 1y = sin t.C2的直角坐标方程为4x-16y + 3 = 0由严+E解得4x-16y+ 3 = 0 故G与q的公共点的直角坐标为(11).4423 解:(1)由题设知 /(x) = 5x-Ly = fM的图像如图所示.M(2)函数y = f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y = /U+l)的图像.7由图像可知当且仅当%f(x + )的解集为(-00-4)O