版高考数学理高分计划一轮狂刷练第2章 函数导数及其应用 28a Word版含答案解析.docx

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版高考数学理高分计划一轮狂刷练第2章函数导数及其应用28aWord版含答案解析

[基础送分提速狂刷练]

一、选择题

1．（2017·临汾三模）已知函数f（x）、g（x）：

则函数y＝f[g（x）]的零点是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　由题意，g（x）＝1，∴x＝1，故选B.

2．（2017·衡水调研）方程|x2－2x|＝a2＋1（a>0）的解的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.

3．若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0,1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．[1，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（2，＋∞）

答案　C

解析　当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0时，若Δ>0，f（0）·f

（1）<0，则a>1.

若Δ＝0，即a＝－

，函数的零点是x＝－2，不合题意，故选C.

4．（2017·浙江嘉兴测试）已知函数f（x）＝

x－cosx，则f（x）在[0,2π]上的零点个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　函数f（x）＝

x－cosx的零点个数为

x－cosx＝0⇒

x＝cosx的根的个数，即函数h（x）＝

x与g（x）＝cosx的图象的交点个

数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.

5．（2017·河南新乡三模）若函数f（x）＝log2（x＋a）与g（x）＝x2－（a＋1）x－4（a＋5）存在相同的零点，则a的值为（　　）

A．4或－

B．4或－2

C．5或－2D．6或－

答案　C

解析　g（x）＝x2－（a＋1）x－4（a＋5）＝（x＋4）[x－（a＋5）]，令g（x）＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f（－4）＝log2（－4＋a）＝0或f（a＋5）＝log2（2a＋5）＝0，解得a＝5或a＝－2.故选C.

6．（2017·河南十所名校联考）设函数f（x）＝

x－lnx，则函数y＝f（x）（　　）

A．在区间

，（1，e）内均有零点

B．在区间

，（1，e）内均无零点

C．在区间

内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间

内无零点，在区间（1，e）内有零点

答案　D

解析　令f（x）＝0得

x＝lnx．作出函数y＝

x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f（x）在

内无零点，在（1，e）内有零点，故选D.

7．（2017·东城区期末）已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零

点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0D．f（x1）>0，f（x2）>0

答案　B

解析　设g（x）＝

，由于函数g（x）＝

＝－

在（1，＋∞）上单调递增，函数h（x）＝2x在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）＝h（x）＋g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在（1，＋∞）上只有唯一的零点x0，且在（1，x0）上f（x1）<0，在（x0，＋∞）上f（x2）>0，故选B.

8．（2017·江西赣州一模）函数f（x），g（x）满足：

对任意x∈R，都有f（x2－2x＋3）＝g（x），若关于x的方程g（x）＋sin

x＝0只有5个根，则这5个根之和为（　　）

A．5B．6C．8D．9

答案　A

解析　由f（x2－2x＋3）＝g（x）及y＝x2－2x＋3的图象关于直线x＝1对称知g（x）的图象关于直线x＝1对称，由g（x）＋sin

x＝0，知g（x）＝－sin

x，因为y＝－sin

x的图象也关于直线x＝1对称，g（x）＋sin

x＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.

9．（2017·山东济宁模拟）定义在

上的函数f（x）满足f（x）＝

f

，且当x∈

时，f（x）＝lnx，若函数g（x）＝f（x）－ax在

上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B．[－πlnπ，0]

C.

D.

答案　B

解析　令x∈[1，π]，则

∈

，因为f（x）＝f

，且当x∈

时，f（x）＝lnx，所以f（x）＝f

＝－lnx，则f（x）＝

在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：

因为函数g（x）＝f（x）－ax在

上有零点，所以直线y＝ax与函数f（x）的图象有交点．由图得，当a取满足题意的最小值时，直线y＝ax与f（x）的图象相交于点

，此时－lnπ＝

⇒a＝－πlnπ，由图可得，实数a的取值范围是[－πlnπ，0]，故选B.

10．（2016·天津高考）已知函数

f（x）＝

（a>0，且a≠1）在R上单调递

减，且关于x的方程|f（x）|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

∪

D.

∪

答案　C

解析　要使函数f（x）在R上单调递减，

只需

解之得

≤a≤

，

因为方程|f（x）|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f（x）|的图象有两个交点，如图所示．

易知y＝|f（x）|的图象与x轴的交点的横坐标为

－1，又

≤

－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f（x）|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋（4a－3）x＋3a（x<0）的图象相切时，设切点为（x0，y0），则

整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1（舍）或a＝

.而当3a≤2，即a≤

时，直线y＝2－x与y＝|f（x）|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈

∪

.故选C.

二、填空题

11．（2017·河北模拟）若函数f（x）＝ln（x－1）－

的零点在区间（k，k＋1）（k∈Z）上，则k的值为________．

答案　3

解析　易知函数f（x）＝ln（x－1）－

在其定义域上连续，f（3）＝ln2－1<0，f（4）＝ln3－

>0，故f（3）·f（4）<0，故函数的零点在区间（3,4）上，故k＝3，故答案为3.

12．函数f（x）＝

的零点个数是________．

答案　2

解析　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－

（正根舍），所以在（－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′（x）＝2＋

>0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．又因为f

（2）＝－2＋ln2<0，f（3）＝ln3>0，所以f（x）在（0，＋∞）上有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2.

13．已知a是实数，函数f（x）＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析　由题意易知a≠0，令f（x）＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x|－

＝－

x，

分别作出函数y1＝|x|－

，y2＝－

x的图象，如图所示．

由图易知，当0<－

<1或－1<－

<0，即a<－1或a>1时，y1和y2的图象有两个不同的交点，所以当a<－1或a>1时，函数y＝f（x）有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

14．已知函数y＝f（x）（x∈R）．对函数y＝g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x）（x∈I），y＝h（x）满足：

对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）＝

关于f（x）＝3x＋b的“对称函数”，且h（x）>g（x）恒成立，则实数b的取值范围是________．

答案　（2

，＋∞）

解析　函数g（x）的定义域是[－2,2]，根据已知得

＝f（x），所以h（x）＝2f（x）－g（x）＝6x＋2b－

.h（x）>g（x）恒成立，即6x＋2b－

>

恒成立，即3x＋b>

恒成立，令y＝3x＋b，y＝

，则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4（y≥0）上方即可，由

>2，解得b>2

（舍去负值），故实数b的取值范围是（2

，＋∞）．

三、解答题

15．已知二次函数f（x）＝x2＋（2a－1）x＋1－2a.

（1）判断命题：

“对于任意的a∈R，方程f（x）＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

（2）若y＝f（x）在区间（－1,0）及

内各有一个零点，求实数a的取值范围．

解　

（1）“对于任意的a∈R，方程f（x）＝1必有实数根”是真命题．

依题意，f（x）＝1有实根，即x2＋（2a－1）x－2a＝0有实根，因为Δ＝（2a－1）2＋8a＝（2a＋1）2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋（2a－1）x－2a＝0必有实根，从而f（x）＝1必有实根．

（2）依题意，要使y＝f（x）在区间（－1,0）及

内各有一个零点，

只需

即

解得

.

故实数a的取值范围为{a

.

16．（2017·江西模拟）已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋

（x>0）．

（1）若g（x）＝m有实数根，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

解　

（1）∵x>0时，g（x）＝x＋

≥2

＝2e，

等号成立的条件是x＝e，故g（x）的值域是[2e，＋∞），

因而只需m≥2e，则y＝g（x）－m就有零点．

∴m的取值范围是[2e，＋∞）．

（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异的实根，即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，

作出g（x）＝x＋

（x>0）的大致图象．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1＝－（x－e）2＋m－1＋e2，

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．