《变量与函数》教案.docx

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《变量与函数》教案

19.1.1变量与函数

第一课时

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；

2.了解表示函数关系的三种方法：

解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．

问题1如图是某地一天内的气温变化图．

看图回答：

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？

任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

（2）这一天中，最高气温是多少？

最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？

什么时段的气温在逐渐降低？

解

（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．

解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

（1）波长l和频率f数值之间有什么关系?

（2）波长l越大，频率f就________．

解

（1）l与f的乘积是一个定值，即

lf＝300000，

或者说

．

（2）波长l越大，频率f就　越小　．

问题4圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：

S＝_________．

利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．

解S＝πr2．

圆的半径越大，它的面积就越大．

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independentvariable），y是因变量（dependentvariable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法，如问题3中的

，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．

（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．

（3）图象法，如问题1中的气温曲线．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300000，问题4中的π等．

三、实践应用

例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

（3）上表反映了哪些变量之间的关系?

其中哪个是自变量?

哪个是因变量?

解

（1）平均身高是146.1cm；

（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；

（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

（1）圆的周长C与半径r的关系式；

（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

（3）n边形的内角和S与边数n的关系式．

解

（1）C＝2πr，2π是常量，r、C是变量；

（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；

（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．

四、交流反思

1.函数概念包含：

（1）两个变量；

（2）两个变量之间的对应关系．

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

3.函数关系三种表示方法：

（1）解析法；

（2）列表法；

（3）图象法．

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是

；

（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α；

（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：

y＝ax．

3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；

（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．

4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．

作业：

练习册

19.1.1变量与函数

第二课时

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

教学过程

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．

解如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式：

y＝10－x．

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：

y＝180－2x．

问题3如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：

．

二、探究归纳

思考

（1）在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？

如果有，写出它的取值范围．

（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？

当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．

问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．

问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．

解

（1）问题1，自变量x的取值范围是：

1≤x≤9；

问题2，自变量x的取值范围是：

0＜x＜90；

问题3，自变量x的取值范围是：

0≤x≤10．

（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．　　上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：

s＝60t，S＝πR2．

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．

对于函数y＝x（30－x），当自变量x＝5时，对应的函数y的值是

y＝5×（30－5）＝5×25＝125．

125叫做这个函数当x＝5时的函数值．

三、实践应用

例1求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1；　　　

（2）y＝2x2＋7；（3）

；　　　（4）

．

分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在

（1），

（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，x＝－2时，

没有意义；在（4）中，x＜2时，

没有意义．

解

（1）x取值范围是任意实数；

（2）x取值范围是任意实数；

（3）x的取值范围是x≠－2；

（4）x的取值范围是x≥2．

归纳四个小题代表三类题型．

（1），

（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；

（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；

（3）在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式．

解

（1）y＝0.50x，x可取任意正数；

（2）

，x可取任意正数；

（3）S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．

例3在上面的问题（3）中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?

解设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，y与x之间的函数关系式为

当x＝1时，

所以当MA＝1cm时，重叠部分的面积是

cm2．

例4求下列函数当x=2时的函数值：

（1）y=2x-5；　　　

（2）y=－3x2；

（3）

；　　　（4）

．

分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．

解

（1）当x=2时，y=2×2－5=－1；

（2）当x=2时，y=－3×22=－12；

（3）当x=2时，y=

=2；

（4）当x=2时，y=

=0．

四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

（1）要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：

把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm．求y和x间的关系式；

（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝－2x－5x2；（3）y＝x（x＋3）；

（3）

；（4）

．

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：

s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

（1）y＝（x+1）（x－2）；

（2）y＝2x2－3x＋2；（3）

．

作业：

练习册